aliasing(1)

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW
ĆWICZENIE NR 2
Częstotliwość próbkowania, aliasing
1. Teoria
W dziedzinie cyfrowego przetwarzania sygnałów bardzo częsta spotykamy się z
próbkowaniem równomiernym, czyli procesem reprezentowania sygnału o czasie
rzeczywistym za pomocą ciągu próbek pobieranych w dyskretnych chwilach czasu. W
praktyce próbkowanie przeprowadza się poprzez podanie sygnału ciągłego na wejście
przetwornika analogowo cyfrowego(A/C), którego sygnał wejściowy jest ciągiem wartości
cyfrowych. Jednym z podstawowych parametrów procesu próbkowania jest częstotliwość
próbkowania (fpr), która informuje nas o liczbie
próbek sygnału
pobieranych w jednostce
czasu. Częstotliwość próbkowania wynika z wartości odstępu czasu między kolejnymi
próbkami, czyli odstęp próbkowania (∆t).
fpr=1/∆t
Ilustrację graficzną tego zagadnienia przedstawiono na rysunku 1.
Rys 1 Częstotliwość i odstęp próbkowania
Za jednostkę częstotliwości próbkowania przyjęto liczbę próbek (S- ang. sample) pobieranych
w czasie jednej sekundy (s)
[S/s]
Próbkowanie sygnału możemy prowadzić z dowolną częstotliwością ograniczoną
możliwościami posiadanego przez nas sprzętu. Powstaje jednak pytanie, jaką szybkością musi
być próbkowany dany sygnał, aby dokładnie została odwzorowana zawarta w nim informacja.
W dziedzinie częstotliwości istnieje niejednoznaczność związana z próbkami sygnału o czasie
dyskretnym, która nie istnieje w świecie sygnałów ciągłych. Zagadnienie to można
zilustrować następującym przykładem. Posiadamy ciąg wartości liczbowych x(1)=0, x(2)=
0,866, x(3)=0, 866 x(4)=0, x(5)=-0,866, x(6)=0, o którym wiadomo, że reprezentuje pewien
przebieg sinusoidalny ( rys. 2a). Jeżeli będziemy chcieli narysować teraz narysować ten
przebieg to okaże się, że możemy to zrobić na wiele różnych sposobów używając sinusoid o
różnych częstotliwościach (rys. 2b). W przypadku wyników próbkowania taki zbiór punktów
interpretowalibyśmy jako sinusoidą o najniższej możliwej częstotliwości.
Rys 2 Niejednoznaczność cyfrowego przedstawienia sygnału
Z przedstawionego wyżej przykładu wynika, że próbkowanie ze zbyt niską częstotliwością
prowadzi do mylnej interpretacji częstotliwości sygnału odtworzonego jako niższa niż
rzeczywista. To „ukrywanie” się sygnału za „pseudonimem” (alias) nazywamy aliasingiem.
Zgodnie z twierdzeniem Shanona, w celu uniknięcia aliasingu, sygnał musi być próbkowany z
częstotliwością większą niż dwukrotność najwyższej częstotliwości występującej w sygnale.
Rys. 3. Przykład aliasingu
Maksymalna częstotliwość sygnału, która może być właściwie (bez aliasingu)
zinterpretowana przy określonej częstotliwości próbkowania nosi nazwę częstotliwości
Nyquista i jest równa połowie częstotliwości próbkowania. Sygnały o częstotliwości wyższej
ukażą się zniekształcone w postaci „aliasów” o częstotliwościach pomiędzy 0 a
częstotliwością Nyquista. Tę zniekształconą częstotliwość można wyznaczyć jako wartość
bezwzględną różnicy między rzeczywistą częstotliwością sygnału, a najbliższą
wielokrotnością częstotliwości próbkowania. Przykłady pokazano na rysunku 3. W celu
uniknięcia aliasingu, należy zastosować częstotliwość próbkowania, co najmniej dwukrotnie
wyższą, niż najwyższa interesująca nas częstotliwość występująca w sygnale. Co zrobić
jednak, gdy w sygnale występują (lub mogą występować) składowe o wyższych
częstotliwościach? Należy zastosować filtr dolnoprzepustowy, eliminujący składowe o
wyższych częstotliwościach niż tzw. częstotliwość odcięcia filtru. Mówiąc ściśle, tak
moglibyśmy postąpić dysponując filtrem idealnym, który odcina dokładnie wszystkie
składowe „od razu”. Filtry rzeczywiste jednak mają pewne pasmo przejściowe, w którym
osłabienie sygnału rośnie wraz z oddalaniem się od częstotliwości odcięcia. Szybkość tego
osłabiania zależy od zastosowanego filtru. Żeby tymczasem nie wnikać w szczegóły
powiedzmy tyko dla uproszczenia, że jako ogólne zalecenie można przyjąć częstotliwość
próbkowania 4-krotnie wyższą niż najwyższa interesująca nas częstotliwość, a częstotliwość
odcięcia filtru dolnoprzepustowego równą maksymalnej interesującej nas częstotliwości.
Znacznie lepiej jest jednak zbadać charakterystykę wykorzystywanego filtru. Znaleźć
rzeczywistą częstotliwość odcięcia
i rzeczywistą częstotliwość zaporową (o wymaganym
stopniu tłumienia)
. Charakterystykę filtru (przykładowy przebieg zaznaczono grubą różową
linią na rysunku 4) można uzyskać podając sygnał o stałej amplitudzie i rejestrując osłabienie
sygnału dla zadawanych kolejno częstotliwości. Zakres badanych częstotliwości długość
kroku zmian częstotliwości należy dobrać w zależności od zakładanej częstotliwości odcięcia
i stopniu osłabienia wymaganego dla częstotliwości zaporowej.
Rys. 4. Filtr antyaliasingowy
Zasadę stosowania filtru antyaliasingowego zobrazowano na rysunku 4.
2. Wykorzystywany sprzęt
Do rejestracji sygnału wykorzystano kartę pomiarową Keithley KPCI – 3108 (rys. 5),
zainstalowaną w komputerze klasy PC, o następujących parametrach:
- maksymalna częstotliwość próbkowania - 100 kS/s
- rozdzielczości - 16-Bit
- wejścia analogowe - 16
- wyjścia analogowe - 2.
Rys. 5. Karta pomiarowa Keithley KPCI – 3108.
Karta ta połączona jest specjalnym przewodem ze skrzynką połączeń przedstawioną na
rysunku 6. Do generacji sygnałów wykorzystano standardową kartę dźwiękową komputera
PC. Wyjście karty dźwiękowej należy połączyć z wejściem skrzynki połączeń oznaczonym
00
(tło napisu w kolorze żółtym)
Rys. 6. Skrzynka połączeń.
Do filtrowania sygnału użyto filtru, który przedstawiono na rysunku 7. Filtr należy włączyć w
tor pomiarowy podając sygnał z karty dźwiękowej na wejście filtru oznaczone
1
(dolne
złącze) a sygnał wyjściowy z filtru oznaczony
4
(górne złącze) podać na używane wcześniej
wejście skrzynki połączeń. Czerwone przełączniki znajdujące się pomiędzy złączami BNC
należy ustawić w pozycji
ON.
Teoretyczną częstotliwość odcięcia filtru ustawiamy na
potencjometrze o zakresie 50-5000Hz
Rys. 7. Filtr analogowy
3. Opisy programów
Oprogramowanie użyte w ćwiczeniu powstało w ZSiN w oparciu o środowisko LabView 7.0.
3.1 Program do generowania sygnału
Na rysunku 7 przedstawiono panel sterowania generatora sygnału. Umożliwia on
generowania sygnału o częstotliwości 8 kS/s składającego się z dwóch nałożonych na siebie
sinusoid oraz losowego szumu. Włączenie każdej ze składowych
SINUSOIDA 1
i
SINUSOIDA 2
do generowanego sygnału odbywa się poprzez wciśnięcie przycisku
widocznego
na panelu jako
OFF
i przełączenie go w stan
ON
odpowiednio dla każdej
  [ Pobierz całość w formacie PDF ]