Algebra liniowa-Zadania-2

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Zadania z matematyki dla studentów studiów zaocznych w Wałbrzychu
Zestaw 2
Algebra liniowa
1.
Wykonaj podane działania na macierzach:
A
°
,
B
B
°
,
C
A
°
°
,
B
C
A
°
T
B
T
1

2
3
2
4
1
0
1
A =
2
1
,
B =
 3
,
C
=

2
1
1
.
1
1
1
0
1
2
1
2.
Znajdź zbiór macierzy
B
, które dla danej macierzy
A
spełniają warunek
A
°
B = B
°
A
.
A
=
0
2
.
3
1
3.
Wyznacz macierz
C
=
A
°
B
–
B
°
A
dla
A
=
2

3
1
,
B
=
3
2
.
1
0
1
4. Za pomocą operacji elementarnych na wierszach znajdź macierze odwrotne do danych:
2
1
0
0
6
1
2
1
A =
,
B
=
0
2
0
C
=
2
0
1
.
4
8
4
0
0
1
1
0
5.
Rozwiąż równania macierzowe: dla
A =
1
4
,
B =
1
2
, C
=
2

1
1
.
2
7
4
3
2
 °
.
6. Wiedząc, że
A
,
B
,
C
są nieosobliwe znajdź macierze odwrotne do
1
a)
A
°
° 
, b)
X
°
B
C
B
(A

 °
, c)
X)
B
C
(A

B)
X
-
A
C
A
°
2
°
,
C
°
A
)

2
°
B
T
°
(
C
B
T
)

A
°

1
°
,
B
°
(
B
T
B
)

1
A
°

1 
°
.
B
C
1
7.
2
3
2
1
Dane są macierze :
A =
i
C
=
.
1
2
4
4
Znajdź macierz
X
spełniającą równanie
A
°
°
=
C
.
X
°
(
B

1
°
A)

1
B

1
8.
Niech
A =
2
1
, B =
3
4
.
4
4
2
3
°
.
9. Oblicz ilość inwersji w permutacjach:
a) (5, 7, 6, 2, 1, 4, 3, 8), d) (2, 3, 4,...,
n
– 1 ,
n
, 1)
b) (
n
,
n
– 1 ,
n
– 2 ,...,3, 2, 1), e) ( 3, 2, 1, 6, 5, 4,...,3
n
, 3
n
– 1 , 3
n
– 2 ).
c) ( 2, 1, 4, 3, 6, 5,...,2
n
, 2
n
– 1 ),
10. Zbadaj, czy iloczyn jest składnikiem wyznacznika, a jeśli jest, ustal z jakim znakiem wejdzie do
wyznacznika:
Oblicz
C
°


B
(
A
T
A
)
1
°
B
T
°
[
B
°
(
A
T
°
A
)

1
T
]

1
a

14

,
a
22

a
35

a
41
a
54
a

42

,
a
51

a
33

a
15
a
24
a

14

.
a
25

a
36

a
41
a
55
11. Oblicz wyznaczniki:
1

x
2
2
x
3
2
1
0
a
0
1
a
b
2
2
1

x
1

x
2
5
3
b
o
c
1
a

x
b
a)
, b)
, c)
, d)
.
2

2
x
1

x
3
4
2
0
d
0
1
a
b

x
1

x
2
1

x
2
12. Rozwiąż równania zapisane w postaci wyznaczników
log

x
x
1
x

,
2
x
x
3
x
2
(
x

x
1
x

1
0
,

0
,
x
x
log
x
3
x
x
3
x
2
1
1
(
1
2
3
4
1

x
1
1
1
5

x
2
2
3
4
1
1

x
1
1

0
,

0
,
2
3
5

x
2
1
1
1
1

x
1
2
3
1
1
1
1
1

x
13.
Oblicz det (3
A
°
B
) oraz det (
A
°
2
B
-1
) wiedząc, że
A
i
B
są macierzami stopnia 5 i
det
A
= 4, det
B
= 5.
14.
Oblicz wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia
n
, w której elementy
a
ij
0
dla
i

.
j
15. Rozwiązać metodą Cramera następujące układy równań liniowych:


x
1

x
2

x
4

1


x
1

2
x
2

3
x
3

4

x
1

x
2

x
3

0
a)
x

2
x

3
b)
.
2
3



x

x

x


1
4
x
1

x
2

x
3

0

2
3
4



x
x
1

x
3

4

0
16. Metodą wyznacznikową znajdź macierze odwrotne do danych:
2
1
2
1
a
1
1
a
1
a
A
=
,
B
=
1
1
4
,
C
=
1
a
1
.
a
2
1
1
1
1
a
Ustal warunki istnienia macierzy odwrotnych.
17. Zbadaj rozwiązalność układów równań i znajdź rozwiązania, o ile istnieją:

4
x

5
x

6
x

6

x
1

4
x
2

5



1
2
3
3
x

2
x

5



x

x

x

4


1
2
1
2
3
a)
x

2
x

3
x

4
, b)
c)
1
2
3
2
x

x

1
x

2
x

3
x

8




1
2
3
3
x

3
x

3
x

2
1
2
1
2
3


x
x


0
1
2
18. Zbadaj ilość rozwiązań układu w zależności od parametru
k
.

x

x

x

1


x

y

z

2
1
2
3



x

k

3


x

2
y

z

4
1
2
a)
, b)
x

x

4
c)
2
3
x

k

4
k


1
2
k

x

x

0


1
2
3
2 
k
x

3
y
k
19. Zakład wytwarza wyroby W
1
, W
2
, W
3
używając do produkcji trzech surowców S
1
, S
2
, S
3
. Zużycie
surowca S
i
na jednostkę wyrobu W
j
oraz zapasy surowców przedstawia tabela.
W
1
W
2
W
3
Zapasy
S
1
1 1 2 40
S
2
2 3 5 30
S
3
3 4 7
m
Przy jakim poziomie zapasu S
3
można podjąć decyzję o ilości produkcji każdego z wyrobów, jeśli
założyć konieczność wyczerpania zapasów?
20.
Rozwiąż jednorodne układy równań liniowych zadanych macierzami



1

1

1
1
0
1
2
4
1

1
1
2
0
1
1
A =
,
B
=
1
4
1
,
C
=
,
D =
.
1
2
1
2
3
4
0
2
1
3
2
1
1
2
1
[ Pobierz całość w formacie PDF ]