alg

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->Algebra z geometrią analitycznązadania z odpowiedziamiMaciej BurneckiSpis treści0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematycznaZadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Geometria analityczna wR2Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Liczby zespoloneZadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Wielomiany i funkcje wymierneZadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 Macierze i wyznacznikiZadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 Układy równań liniowychZadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2233344455566678896 Geometria analityczna wR39Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Przestrzenie i przekształcenia liniowe11Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Powtórzenie13Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Pierwsze kolokwium15Zestaw A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Zestaw B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151Odpowiedzi,Zestaw C .Odpowiedzi,Zestaw D .Odpowiedzi,wskazówki. . . . . .wskazówki. . . . . .wskazówki................................................................................................................................................................161616161610 Egzamin16Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Warto także korzystać ze zbioru zadań, ułożonego przez pp. dra M. Gewerta i doc. Z. Sko-Na stronach Katedry Matematyki Politechniki Wrocławskiejnarzędzi do obliczeń matematycznych, aby np. weryfikować wyniki.Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematycznaZadania1. Uprość wyrażeniea−ba−1 ,a2−2ab +b2bb−a b+1 ,(b)2a−b2a(a)a4+a3b+a2b2(c)a3−b3b2−1 .a22. W rozwinięciu dwumianowym wyrażeniaf(x) wyznacz współczynnik przyxm, jeśli1(a)f(x) =x5+√x1(b)f(x) =x−2x4n910, m= 39,, m= 24.3. Zapisz w prostszej postaci liczbę(a)k=0nnk3 ,kn(−2)k.k(b)k=04. Za pomocą indukcji matematycznej udowodnij, że dla wszystkich liczb naturalnych dodat-nichn∈N+:(a) 12+ 22+ 32+. . .+n2=n(n+ 1)(2n + 1),6(b) 4n−1n2,(c) liczba 7n−4njest podzielna przez 3.2Odpowiedzi, wskazówki1. (a)1,b1(b)−a,(c)−a −b.2. (a)a2=(b)a2=10292= 45,= 36.3. (a) 4n,(b) (−1)n.4. Najpierw przez podstawienie sprawdź, że teza zachodzi dlan= 1; prawdziwe zatem jesttwierdzenieT1. Następnie z prawdziwości twierdzeńT1, T2, . . . , Tn(może wystarczyć użycietylkoTn) wywnioskuj prawdziwość twierdzeniaTn+1, gdzien∈N+.1Geometria analityczna wR2Zadania1. Wyznacz w mierze łukowej kąt pomiędzy wektoramiu, v,jeśli√√(a)u= 1, 3,v=−1,3,√√(b)u=−3, 1,v=−1,3,√ √√(c)u=2, 2,v=−1, −3,√√√(d)u=−2,−2,v=3,−1.Wskazówka:dla dwóch ostatnich przykładów wyniki można otrzymać jako sumy lub róż-nice odpowiednich kątów.√2.√Wyznacz kąt przy wierzchołkuCw trójkącie o wierzchołkachA= (1, 1),B= ( 3, 2 +√3),C= (1 + 3, 2).3. Oblicz długość wysokości opuszczonej z wierzchołkaBw trójkącie o wierzchołkachA=(3, 5),B= (0, 6) orazC= (2, 2).4. Wyznacz punkt przecięcia oraz kąt, pod jakim przecinają się proste, określone przez układy√√x=s,x= 2 3−3t,√równańorazgdziet, s∈R.y=−5+ty=−1 −3s,5. Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty (4, 6), (5, 5) i (−2,−2).6. Nazwij i opisz równaniem zbiór tych punktów z płaszczyzny, których odległość od punktuA= (1, 2) jest dwa razy większa od odległości od punktuB= (4, 5).7. Wyznacz równanie takiego okręgu o środku w punkcieS,którego jedną ze stycznych jestprosta przechodząca przez punktyA, B,jeśli(a)S= (1,−3),A= (−1, 2),B= (2, 4),(b)S= (−2,−1),A= (1, 2),B= (4, 1).8. Napisz równania tych stycznych do okręgu o równaniux2+2x+y2−3= 0, które przecinają√πsię z prostą 3x−y+ 1 = 0 pod kątem .33Odpowiedzi, wskazówki1. (a)(b)(c)(d)2.3.√π.2π,3π,611π,127π.1210.π64. Proste przecinają się pod kątem5. (x−1)2+ (y−2)2= 25.√w punkcie ( 3,−4).6. okrąg (zwany okręgiem Apoloniusza), o równaniu (x−5)2+ (y−6)2= 8.7. (a) (x−1)2+ (y + 3)2=192,13122.10(b) (x + 2)2+ (y + 1)2=√√√√√√8.y=−2,y= 2,y=−3x+ 3 + 14,y=−3x+ 3−14.2Liczby zespoloneZadania1. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną1+i,2−i2 + 3i(b)z=.4 + 5i(a)z=2. Opisz oraz zaznacz na płaszczyźnie zbiórAliczb zespolonychzspełniających warunek(a)Re(−2iz+ 4) 0,(b)Im(z−i)=Im((2−i)z+i),(c)Re z2= [Im(iz)]2−4,(d)|iz+ 2| =|iz −2i|,(e)| −2z| =|4z −4|.3. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną√(1 + 3i)20(a)z=,(1−i)40(1 +i)40,(b)z=√( 3−i)20√( 3−i)24√(c)z=.14(1−i)20(1−3i)4. Opisz oraz zaznacz na płaszczyźnie zbiórAliczb zespolonychzspełniających warunek(a) 0arg(1+iz)π/2,4(b)Im z4<0.5. Zapisz w postaci algebraicznej wszystkie pierwiastki trzeciego stopnia z liczbyz=−2+ 2i.6. W zbiorze liczb zespolonych rozwiąż równaniez4= (−1 + 2z)4.7. Wyznacz pole figuryF={z ∈C:Im z3Odpowiedzi, wskazówki1. (a)z=(b)z=2. (a)(b)(c)(d)1+3i,55232+41i.41∧ −1Im(z) <0}.półpłaszczyznay−2,2prostay=1x−3,3prostey= 2,y=−2,prostay=x,4,3(e) okrąg o środku w punkcie3. (a)1−2√i promieniu2.3+1(b)−2−(c)12−√3i.23i,2√3i,24. (a) ZbiórAskłada się z liczb zespolonychz,określonych przez warunkiRe(z)∧Im(z)1∧z =i(przesunięta o wektor (0, 1) czwarta ćwiartka układu współrzędnych,z brzegiem i bez punktu (0, 1)),(b)arg(z)∈π,π∪3π, π∪5π,3π∪7π,2π,co na płaszczyźnie przedstawia sumę4 24424wnętrz czterech kątów.√√√√131313135.w= 1 +i, w1=− −+−+i, w2=−++− −i.2222222226.z∈1,5−1i,1,2+1i .5 3 55√7.3.33Wielomiany i funkcje wymierneZadania1. Wyznacz iloraz i resztę z dzielenia wielomianuP(x) przezQ(x),jeśli(a)P(x) =x5−x4+ 3x3+x+ 7,Q(x)=x3+x+ 1,(b)P(x) =x4+ 2x3+x2+x+ 1,Q(x)=x2+x+ 3.2. Rozłóż na nierozkładalne czynniki rzeczywiste wielomianW(x) =x4+x3−3x2−4x−4.3. Nie wykonując dzielenia, wyznacz resztę z dzielenia wielomianuW(x) =x4+x3+x2+x+1przezx2−1.4. Rozłóż na czynniki liniowe wielomian zespolonyW(z) =z3−2z2+ 4z−8.5 [ Pobierz całość w formacie PDF ]