Algebra liniowa-Zadania-1

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Zadania z algebry dwuliniowej (zestaw 1)
P
RZESTRZENIE I PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE
1.
Niech
S
i
T
bed a sko nczenie wymiarowymi podprzestrzeniami przestrzeni liniowej
V
. Wykaz, ze
(a)
Jesli dim
S
=
dim
V
, to
S
=
V
.
(b)
Jesli dim
V
=
n
oraz
{
v
1
,...,
v
k
}
jest baz a
S
, to istniej a wektory
v
k
+
1
,...,
v
n
2
V
takie, ze
{
v
1
,...,
v
n
}
jest baz a
przestrzeni
V
.
(c)
Jesli
{
v
1
,...,
v
k
}
jest baz a
S
zas
{
v
k
+
1
,...,
v
n
}
jest baz a
T
, to
{
v
1
,...,
v
n
}
jest baz a
V
wtedy i tylko wtedy, gdy
V
=
S
T
.
2.
Niech
U
i
V
bed a przestrzeniami liniowymi nad ciałem
K
. Niech
{
u
1
,...,
u
n
}
bedzie baz a
U
, zas
{
v
1
,...,
v
n
}
dowolnym układem wektorów przestrzeni
V
. Wykaz, ze:
(a)
Istnieje dokładnie jedno przekształcenie liniowe
f
:
U
!
V
takie, ze
f
(
u
i
)=
v
i
dla
i
=
1
,...,
n
.
(b)
Przekształcenie
f
jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy
{
v
1
,...,
v
n
}
jest baz a
V
.
(c)
U
=
V
wtedy i tylko wtedy, gdy dim
U
=
dim
V
.
3.
Niech
K
bedzie ciałem,
A
=[
a
i j
]2
K
m
oraz
b
=[
b
i
]2
K
n
. Oznaczmy, przez
A
u
macierz, której pocz atkowych
n
kolumn to kolumny macierzy
A
a ostatni a jest kolumna
b
=[
b
i
]
. Rozwazmy układ
m
równa n liniowych o
n
niewiadomych.
2
3
X
1
.
X
n
A
·
6
4
7
5
=
b
(
?
)
Wykaz, ze:
(a)
Układ (
?
) ma rozwi azanie wtedy i tylko wtedy, gdy
r
(
A
)=
r
(
A
u
)
.
(b)
Jesli
n
=
m
oraz det
A
6=
0, to układ (
?
) ma dokładnie jedno rozwi azanie.
(c)
Jesli
b
=
0, to zbiór rozwi aza n układu (
?
) jest podprzestrzeni a przestrzeni
K
n
o wymiarze równym
n
−
r
(
A
)
.
4.
Niech
V
bedzie
n
-wymiarow a przestrzeni a liniow a nad ciałem
K
, zas
{
v
1
,...,
v
n
}
baz a
V
. Wskaz naturalny izo-
morfizm
V
!
K
n
.
5.
Niech
V
=R[
X
]
n
={
f
2R[
X
]
: deg
f
n
}
, natomiast przekształcenie d :
V
!
V
niech przyporz adkowuje wielo-
mianowi jego pochodn a. Pokazac, ze
d
jest endomorfizmem przestrzeni
V
oraz znalezc macierz
d
w bazie:
(a)
(
1
,
X
,
X
2
,...,
X
n
)
,
(b)
(
1
,
X
−
c
,
(
X
−
c
)
2
2!
,...,
(
X
−
c
)
n
n
!
)
, gdzie
c
jest ustalon a liczb a rzeczywist a.
6.
Macierz przekształcenia
2
3
j
:
K
3
!
K
3
2
w bazie
(
3
e
1
,
e
2
,
e
3
)
ma postac
3
0
0
1
0
0
0
0
0
0 0
(a)
4
5
,
(b)
4
5
,
(c)
4
5
.
mozna st ad odczytac ?
7.
Obliczyc wielomian charakterystyczny endomorfizmu, który w pewnej bazie ma macierz postaci
j
2
−
a
n
−
1
−
a
n
−
2
···−
a
1
−
a
0
1
3
2
0 0
···
0
−
a
0
1 0
···
0
−
a
1
0 1
···
0
−
a
2
. .
.
.
.
. .
0 0
···
1
−
a
n
−
1
3
6
6
6
6
6
4
0
···
0
0
7
7
7
7
7
5
6
6
6
6
6
4
7
7
7
7
7
5
0
1
···
0
0
;
(b)
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
···
1
0
Czy kazdy wielomian unormowany, z dokładnosci a do znaku, moze byc wielomianem charakterystycznym jakiegos
endomorfizmu ?
8.
Niech j :
R[
X
]
3
!R[
X
]
3
bedzie przekształceniem danym wzorem j
(
f
(
X
))=((
X
+
3
)
f
(
X
))
0
. Sprawdzic, ze j jest
przekształceniem liniowym i obliczyc jego wartosci własne i wektory własne.
2
3
−
3 0 2
−
4 1 2
−
4 0 3
9.
Dana jest macierz
A
=
4
5
. Znalezc tak a macierz odwracaln a
C
2
M
3
(R)
aby macierz
C
−
1
AC
była
diagonalna. Obliczyc
A
2001
.
1
2
Jakie własnosci przekształcenia
Zadania z algebry dwuliniowej (zestaw 2)
G
EOMETRIA PRZESTRZENI EUKLIDESOWYCH
Wykorzystuj ac iloczyn skalarny udowodnic nastepuj ace twierdzenia dotycz ace przestrzeni euklidesowej:
1.
Wysokosci dowolnego trójk ata przecinaj a sie w jednym punkcie.
2.
Symetralne boków dowolnego trójk ata przecinaj a sie w jednym punkcie.
3.
W dowolnym trójk acie punkty przeciecia sie srodkowych, wysokosci i symetralnych boków lez a na jednej prostej.
4.
Twierdzenie cosinusów.
Jezeli
A
,
B
,
C
s a trzema róznymi punktami przestrzeni euklidesowej, to
k
−!
AB
k
2
=k
−!
BC
k
2
+k
−!
CA
k
2
−
2
k
−!
CA
k·k
−!
BC
k·
cos
(
\
{
−!
CA
,
−!
CB
}).
Wyprowadz st ad twierdzenie Pitagorasa.
5.
Jezeli
A
,
B
,
C
s a trzema róznymi punktami przestrzeni euklidesowej, to
(
−!
CA
,
CB
)=
k
−!
CA
k
2
+k
−!
CB
k
2
−k
−!
AB
k
2
.
2
6.
Jezeli
A
,
B
,
C
s a wierzchołkami trójk ata oraz punkt
D
jest rzutem punktu
C
na prost a
AB
(
spodek wysokosci
trójk ata
ABC
), to
k
−!
CD
k
2
=(
−!
CA
,
−!
CB
)−(
−!
DA
,
−!
DB
)
.
−!
DB
k
.
7.
Jezeli
A
,
B
,
C
s a wierzchołkami trójk ata oraz punkt
S
jest srodkiem odcinka
AB
, to
−!
CA
,
−!
CB
s a prostopadłe, to
k
−!
CD
k
2
=k
−!
DA
k·k
k
−!
CS
k
2
=k
−!
CA
k·k
−!
CB
k·
cos
(
\
{
−!
CA
,
CB
})+
1
−!
4
k
−!
AB
k
2
oraz
k
CS
k
2
=
2
k
−!
CA
k
2
+
2
k
−!
CB
k
2
−k
−!
AB
k
2
.
2
8.
Twierdzenie sinusów
. Jezeli
A
,
B
,
C
s a wierzchołkami trójk ata, to
k
−!
AC
k
=
k
−!
BC
k
=
k
−!
AB
k
.
−!
BA
,
−!
BC
})
−!
AB
,
−!
AC
})
−!
CA
,
−!
CB
})
sin
(
\
{
sin
(
\
{
sin
(
\
{
2
.
10.
Twierdzenie Ptolemeusza.
W czworok acie wpisanym w okr ag iloczyn długosci przek atnych jest równy sumie ilo-
czynów długosci boków przeciwległych.
Wskazówki do rozwi azania powyzszych zada n a takze dowody wielu innych interesuj acych faktów geometrycznych
mozna znalezc w ksi azce Edwarda Piegata pt. „Wektory i geometria", PZWS, Warszawa 1964.
2
−!
Ponadto jesli wektory
−!
9.
Wzór Herona.
Pole trójk ata o bokach
a
,
b
,
c
wyraza sie wzorem
s
=
p
p
(
p
−
a
)(
p
−
b
)(
p
−
c
)
, gdzie
p
=
a
+
b
+
c
Zadania z algebry dwuliniowej (zestaw 3)
P
RZYKŁADY FUNKCJONAŁÓW DWULINIOWYCH
1.
Które z wymienionych funkcji s a formami dwuliniowymi na odpowiednich przestrzeniach liniowych:
(a)
b
(
x
,
y
)=
x
T
·
y
, gdzie
x
,
y
2
K
n
zas
K
jest ciałem;
(b)
b
(
x
,
y
)=
x
·
y
T
, gdzie
x
,
y
2
K
n
zas
K
jest ciałem;
(c)
b
(
A
,
B
)=
tr
(
AB
)
, gdzie
A
,
B
2
M
(
n
,
K
)
zas
K
jest ciałem;
(d)
b
(
A
,
B
)=
tr
(
AB
−
BA
)
, gdzie
A
,
B
2
M
(
n
,
K
)
zas
K
jest ciałem;
(e)
b
(
A
,
B
)=
AB
, gdzie
A
,
B
2
M
(
n
,
K
)
zas
K
jest ciałem;
(f)
b
(
A
,
B
)=
tr
(
A
+
B
)
, gdzie
A
,
B
2
M
(
n
,
K
)
zas
K
jest ciałem;
(g)
b
(
A
,
B
)=
tr
(
AB
T
)
, gdzie
A
,
B
2
M
(
n
,
K
)
zas
K
jest ciałem;
(h)
b
(
x
,
y
)=
Re
(
xy
)
, gdzie
x
,
y
2C
zas
C
jest przestrzeni a nad
R
;
(i)
b
(
x
,
y
)=
Re
(
x y
)
, gdzie
x
,
y
2C
zas
C
jest przestrzeni a nad
R
;
(j)
b
(
x
,
y
)=
Im
(
x y
)
, gdzie
x
,
y
2C
zas
C
jest przestrzeni a nad
R
;
(k)
b
(
f
,
g
)=
R
a
f gdx
, gdzie
f
,
g
s a funkcjami ci agłymi na przedziale
[
a
,
b
]
;
(l)
b
(
f
,
g
)=
R
a
(
f
+
g
)
2
dx
, gdzie
f
,
g
s a funkcjami ci agłymi na przedziale
[
a
,
b
]
;
(m)
b
(
f
,
g
)=
R
a
f g
0
dx
, gdzie
f
,
g
s a funkcjami rózniczkowalnymi oraz
f
(
a
)=
f
(
b
)=
g
(
a
)=
g
(
b
)=
0;
(n)
b
(o)
b
(
f
,
g
)=(
f g
)(
a
)
, gdzie
f
,
g
2
K
[
X
]
oraz
a
2
K
;
(
f
,
g
)=
deg
(
f g
)
, gdzie
f
,
g
2
K
[
X
]
.
W przypadku, gdy
b
b
jest funkcjonałem dwuliniowym zbadaj, czy jest on symetryczny, skosnie symetryczny lub
alternuj acy.
2.
W sko nczenie wymiarowych przestrzeniach dwuliniowych z poprzedniego zadania wybrac baze i znalezc macierz
funkcjonału dwuliniowego w tej bazie.
3.
Niech
C
(
a
,
b
)
bedzie przestrzeni a funkcji ci agłych na odcinku
(
a
,
b
)
zas
G
(
x
)
bedzie ustalon a funkcj a na odcinku
(
a
,
b
)
na
C
(
a
,
b
)
. Wykazac, ze odwzorowanie
b
(
f
,
g
)=
R
a
G
(
x
)
f
(
x
)
g
(
x
)
dx
jest form a dwuliniow a.
4.
Wykazac, ze
wielomiany Legendre’a
P
0
(
x
)=
1
,
P
k
(
x
)=
1
2
k
k
!
d
k
dx
k
[(
x
2
−
1
)
k
],
k
=
1
,
2
,...,
n
(
f
,
g
)=
R
1
−
1
(
x
)
g
(
x
)
dx
.
5.
W przestrzeni liniowej
C
(
0
,
2p
)
wszystkich funkcji ci agłych okreslonych na przedziale
(
0
,
2p
)
funkcjonał dwuli-
niowy okreslony jest wzorem
b
)
, gdzie
b
Z
2p
b
(
f
,
g
)=
f g dx
.
0
Niech
F
bedzie podprzestrzeni a przestrzeni
C
(
0
,
2p
)
generowan a przez zbiór
{
cos
nx
,
sin
nx
:
n
2
Z
}
(elementy
przestrzeni
F
nazywamy
wielomianami Fouriera
).
Wykaz, ze układ funkcji
(
1
p
2
,
1
p
p
cos
nx
,
1
p
p
p
sin
nx
:
n
2
N
)
jest baz a ortonormaln a przestrzeni
F
oraz, ze współrzedne
a
0
,
a
1
,
b
1
,
a
2
,
b
2
,...
funkcji
f
2
F
w tej bazie wyrazaj a
sie wzorami:
a
0
=
1
p
2
Z
2p
f
(
x
)
dx
,
a
n
=
1
p
p
Z
2p
f
(
x
)
cos
nx dx
,
b
n
=
1
p
p
Z
2p
f
(
x
)
sin
nx dx
,
n
=
1
,
2
,...
p
0
0
0
(współrzedne te nazywamy
współczynnikami Fouriera
tej funkcji).
6.
Niech
(
W
,
P
)
bedzie przestrzeni a probabilistyczn a oraz
F
(
W
)
przestrzeni a zmiennych losowych okreslonych na tej
przestrzeni. Wykazac, ze funkcja
b
(
X
,
Y
)=
E
(
XY
)
jest funkcjonałem dwuliniowym na
F
(
W
)
(tutaj
E
(
Z
)
oznacza
wartosc oczekiwan a zmiennej losowej
Z
). W przypadku, gdy
W
jest zbiorem sko nczonym znalezc WKW na to aby
był dodatnio okreslony.
7.
Wykazac, ze rodzina
P
(
X
)
podzbiorów zbioru
X
z róznic a symetryczn a (jako dodawaniem) i naturalnym mnoze-
niem przez elementy ciała
F
2
jest przestrzeni a liniow a nad
F
2
. Sprawdz, ze odwzorowanie
b
b
(
A
,
B
)=|
A
\
B
|
mod 2
jest funkcjonałem dwuliniowym na tej przestrzeni.
3
(
x
,
y
)=|
xy
|
, gdzie
x
,
y
2C
zas
C
jest przestrzeni a nad
R
;
(p)
tworz a baze ortogonaln a w przestrzeni euklidesowej
(R
n
[
X
],
funkcjonał
Zadania z algebry dwuliniowej (zestaw 4)
W
ŁASNO SCI PRZESTRZENI DWULINIOWYCH
K. S
ZYMICZEK
Wykładyzalgebrydwuliniowej
:
Zadania 1–10 ze stron 20 i 21.
4
Zadania z algebry dwuliniowej (zestaw 5)
M
ACIERZE PRZESTRZENI DWULINIOWYCH
K. S
ZYMICZEK
Wykładyzalgebrydwuliniowej
:
Zadania 1–10 ze stron 29 i 30.
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]