Algebra z geometria - zadania

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Algebrazgeometri¡I
Zadanie1.1.Czyfunkcja
f
okre–lonawzorem
f
(
x,y
)=
x
+
y
−
2jestdzia“aniemwewnƒtrz-
nymwzbiorzeliczbnaturalnych?
Zadanie1.2.Wzbiorze
G
=(
−
1
,
1)
Rokre–lamydzia“anie
a
b
=
a
+
b
1+
ab
.
Sprawd„,czydzia“anietojest:
a)przemienne,
b)“¡czne.
Zadanie1.3.Wzbiorze
H
=
{
a,b
}
okre–lamydzia“anie
tabelk¡:
ab
aaa
bab
Sprawd„,czydzia“anie
jest:
a)przemienne,
b)“¡czne.
Zadanie1.4.Wzbiorze
J
=
{
a,b,c,d,e
}
okre–lamydzia“anie
tabelk¡:
abcde
adceba
b ceeab
ceedbc
dbaced
eabcde
Sprawd„,czydzia“anie
:
a)jestprzemienne,
b)maelementneutralny,
c)matƒw“asno–¢,»eka»dyelementzbioru
J
madok“adniejedenelementodwrotny.
Zadanie1.5.Czypara(
G,
)
patrzzadanie1.2
jestgrup¡?
Zadanie1.6.Zbadaj,czy(R
,
•
),gdzie
u
•
v
=
u
+
v
2
,
jestgrup¡.
Zadanie1.7.Czyzbi
ó
r
n
p
p
o
a
2+
b
5:
a,b
2
Q
zdzia“aniemmno»enialiczbjestgrup¡?
Zadanie1.8.Udowodnij,»e(Z
,
),gdzie
a
b
=
a
+
b
+2
jestgrup¡.Czyjesttogrupaabelowa?Oblicz(
−
1
5)
(6
2).
Zadanie1.9.WzbiorzeG=(R
\{−
1
}
)okre–lamydzia“anie
wzorem
x
y
=
x
+
y
+
xy.
Algebrazgeometri¡I
Udowodnij,»e(G
,
)jestgrup¡abelow¡.
Zadanie1.10.Wzbiorze
P
=
(
x,y,z
)
2
R
3
:
x
6
=0
,y
6
=0
okre–lamydzia“anie
(
x,y,z
)
(
k,l,m
)=(
kx,ly,mx
+
lz
)
.
Udowodnij,»e(
P,
)jestgrup¡.
Zadanie1.11.Udowodnij,»eje»eli(
X,
•
)jestgrup¡,todzia“anie
•
madok“adniejeden
elementneutralny.
Zadanie1.12.Zbadaj,czy(
A,
+)jestpodgrup¡grupy(R
,
+),je»eli
a)
A
=R,
b)
A
=N,
c)
A
=
p
2:
a,b
2
Z
o
.
2
:
I
to»samo–¢,
S
x
symetriawzglÆ’demosi
x
,
S
y
symetriawzglÆ’demosi
y
,
S
o
symetriawzglƒdempocz¡tkuuk“adu
wsp
ó
“rzƒdnych.Niech
S
=
{
I,S
x
,S
y
,S
o
}
.Przyjmijmy,»edzia“anie
,okre–lonewzbiorze
S
,jest
sk“adaniemprzekszta“ce«.Wyznaczwszystkiepodgrupygrupy(
S,
).
Zadanie1.14.Wzbiorze
Z
4
=
{
0
,
1
,
2
,
3
}
okre–lamydzia“anie
a
b
=resztazdzielenia
a
+
b
przez4
.
Wyznaczwszystkiepodgrupygrupy(
Z
4
,
).
Zadanie1.15.Narysujtabelkidzia“a«grupowychdlagrup(
S,
)oraz(
Z
4
,
)
patrzza-
dania1.13i1.14.Czygrupytes¡izomor
czne?
Zadanie1.16.Czygrupaabelowamo»eby¢izomor
cznazgrup¡,kt
ó
raniejestprzemienna?
Zadanie1.17.Udowodnij,»egrupy(R
,
+)oraz(R
\{
0
}
,
·
)nies¡izomor
czne.
n
a
+
b
Zadanie1.13.Niechdanebƒd¡czteryprzekszta“ceniap“aszczyznyR
Algebrazgeometri¡II
Zadanie1.18.Udowodnij,»eodwzorowanie
f
:
P
!
R
\{
0
}
,danewzorem
f
(
a,b,c
)=
ab
jesthomomor
zmemgrup(
P,
)oraz(R
\{
0
}
,
·
).Czygrupytes¡izomor
czne?Uwaga:zbi
ó
r
P
patrzzadanie1.10.
Zadanie1.19.Wiemy,»ezbi
ó
r
A
=(2
,
+
1
)
Rwrazzdzia“aniem
,kt
ó
rejestokre–lone
nastƒpuj¡co
x
y
=
xy
−
2
x
−
2
y
+6
jestgrup¡.Wyka»,»eodwzorowanie
f
:
A
!
R
+
,danewzorem
f
(
a
)=
a
−
2
,
jestizomor
zmemgrup(
A,
)oraz(R
+
,
·
).Uwaga:R
+
def
=
{
x
2
R:
x>
0
}
.
Zadanie1.20.Udowodnij,»e(Z
,
+
,
·
)jestpier–cieniem.Sprawd„,»e
a)pier–cie«(Z
,
+
,
·
)jestpier–cieniemprzemiennym,
b)pier–cie«(Z
,
+
,
·
)majedynkÆ’,
c)zbi
ó
rZ(3)
def
=
{
p
2
Z:3
|
p
}
jestpodpier–cieniempier–cienia(Z
,
+
,
·
),
d)pier–cienie(Z
,
+
,
·
)oraz(Z(3)
,
+
,
·
)s¡izomor
czne.
Czy(Z
,
+
,
·
)jestcia“em?
Zadanie1.21.Udowodnij,»e
2
,
,
,gdzie
(
a,b
)
(
x,y
)=(
a
+
x,b
+
y
)
,
(
a,b
)
(
x,y
)=(
ax
−
by,ay
+
bx
)
,
jestcia“em.
Zadanie1.22.Udowodnij,»ezbi
ó
r
H=
n
a
+
b
5:
a,b
2
Q
o
jestpodcia“emcia“a(R
,
+
,
·
).
Zadanie1.23.WzbiorzeR
+
okre–lamydzia“anie
a
b
=
a
b
.
Sprawd„,czy(R
+
,
·
,
)jestcia“em.Je»elitak,toczysprawd„,czyjestcia“emizomor
cznym
z(R
,
+
,
·
).
Zadanie1.24.WzbiorzeRokre–lamydzia“ania
a
†
b
=
a
+
b
+1
,
a
‡
b
=
a
+
b
+
ab.
Sprawd„,czy
a)(R
,
†
,
‡
)jestcia“em,
b)grupy(R
\{−
1
}
,
‡
,
)oraz(R
\{
0
}
,
·
)s¡izomor
czne.
R
p
Algebrazgeometri¡IV
Zadanie1.25.Doko«czy¢!!!Rozwa»mycia“o(A
,
,
)orazcia“o(B
,
•
,?
).
a)Czyodwzorowanie
p
:A
!
B,danewzorem
p
(
a
)=
...
jesthomomor
zmemcia“a(A
,
,
)
wcia“o(B
,
•
,?
)?
b)Czyrozwa»anecia“as¡izomor
czne?
c)Czymo»nawskaza¢homomor
zmcia“a(B
,
•
,?
)wcia“o(A
,
,
)?
2
−
3
i
=1.
Zadanie1.27.Przedstawrozwi¡zaniaponi»szychr
ó
wna«zniewiadom¡
z
wpostaci
x
+
iy
,
gdzie
x,y
2
R:
a)(
a
−
bi
)
z
=
a
+
bi
,
b)(
a
+
bi
)
a
−
bi
(1
−
z
)+(
a
−
bi
)
2
(1+
z
)=0.
Zadanie1.28.Przedstawwpostacitrygonometrycznejponi»szeliczbyzespolone:
a)1+
i
,
1
−
i
,
−
1
+
i
,
−
1
−
i
,
1
−
i
p
3
,
1+
i
p
3
,
e)2+
i
p
12,
f)1
−
cos
−
i
sin
,1+cos
+
i
sin
,
g)1+
i
tg
,1
−
i
tg
,
h)
1+
i
tg
1
−
i
tg
,
Zadanie1.29.Rozwi¡»r
ó
wnania:
a)
z
2
+
z
+1=0,
b)
z
2
+2
z
+5=0.
3+2
i
+
y
Zadanie1.26.Znajd„takieliczbyrzeczywiste
x,y
,abyzachodzi“ar
ó
wno–¢
a)
x
(2+3
i
)+
y
(4
−
5
i
)=6
−
2
i
,
b)
x
b)1+
i
p
3,
1
−
i
p
3
,
−
1+
i
p
3,
−
1
−
i
p
3,
c)(1+
i
)
d)
1+
i
Algebrazgeometri¡IV
Zadanie1.30.Wyznacz:
a)–rodekodcinkaoko«cach
z
1
i
z
2
,
b)czwartywierzcho“ekr
ó
wnoleg“oboku(
z
4
),znaj¡ctrzypozosta“e(
z
1
,
z
2
,
z
3
)iwiedz¡c,»e
odcinek“¡cz¡cy
z
1
i
z
2
jestprzek¡tn¡tegor
ó
wnoleg“oboku,
c)dwusieczn¡k¡taowierzcho“ku
z
w
iramionachprzechodz¡cychprzez
z
1
i
z
2
,
d)symetraln¡odcinkaoko«cach
z
1
i
z
2
.
Zadanie1.31.Opiszinarysujzbioryliczbzespolonych
z
spe“niaj¡cychpodanewarunki:
a)
|
z
−
z
0
|
=
r
,
z
0
2
C,
r>
0,
b)
|
z
−
z
0
|
<r
,
z
0
2
C,
r>
0,
c)
|
z
−
2+
i
|¬
3,
d)Arg(
z
−
z
0
)=
'
,
z
0
2
C,
'
2
[0
,
2
),
e)Arg(
z
−
2
−
i
)=
,
f)
|
z
−
1+
i
|
=
|
z
−
i
|
,
g)
z
−
2
i
z
+1
Zadanie1.32.Stosuj¡cwz
ó
rdeMoivre’aoblicz:
a)(1+
i
)
8
,
b)
p
3+
i
9
,
cos
+
i
sin
1+
i
p
3
10
c)
,
1+
i
1+
i
p
3
144
,
e)(cos3
+
i
si
n3
)
100
,
f)
i
1523
(
1+
i
p
3
)
103
,
g)
1
2
2002
(1+
i
)
101
(
i
−
p
3
)
102
2002
1+
i
p
3
2002
+
−
1+
i
p
3
2002
+
1
−
i
p
3
,
1
−
i
p
3
1
−
i
30
p
3
−
i
50
p
3+
i
60
h)
1
2
12
2
·
·
(1+
i
)
40
·
.
Zadanie1.33.Stosuj¡cwz
ó
rdeMoivre’azapisz:
a)sin2
x
icos2
x
zapomoc¡sin
x
icos
x
,
b)sin3
x
icos3
x
zapomoc¡sin
x
icos
x
,
c)sin4
x
icos4
x
zapomoc¡sin
x
icos
x
.
=1,
h)
|
z
−
i
|
<
|
z
+1
|
,
i)
|
z
+
i
|­|
iz
+2
|
,
j)Re
z
­
3,
k)Im(
z
+1)
>
−
1,
l)
|
Re
z
|
+
|
Im
z
|¬
1,
m)Im
z
2
¬
0,
n)Re
z
2
+
i
=1.
d)
[ Pobierz całość w formacie PDF ]