AlgPrzyg2 Roz

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->A. Stro jnowski1Zadania przygotowawcze 2Zadanie 1równa«:NiechViWb¦d¡ zbiorami rozwi¡za« nast¦puj¡cych ukªadów.V:x1−2x2+ 3x3−4x4= 0x1−3x2+ 3x3−4x4= 0W:2x1−4x2+ 3x3−5x4= 02x1+ 4x2+ 3x3+ 2x4= 0Znajd¹ bazy przestrzeniV, W, V∩WiV+W.Rozwi¡zanie:V)1−23−42−43−5Parametrami s¡→1−2−10 0 1−1x2ix4.Rozwi¡zanie ogólne:(2x2+x4, x2, x4, x4) =x2(2, 1, 0, 0) +x4(1, 0, 1, 1)Odp. Baz¡Vjest zbiór{(2,1, 0, 0), (1, 0, 1, 1)}211−33−41 010−1W)→32 4 3 20 1−101Parametrami s¡x3ix4.Rozwi¡zanie ogólne:(−21x31033+x4,10x3−x4, x3, x4) =x3(−21,10,1, 0) +x4(1,−1,0, 1)1021 3Odp. Baz¡Vjest zbiór{(−10,10,1, 0), (1,−1,0, 1)}.1 0 0 0→0 1 0 0. St¡dV∩W={(0,0, 0, 0)}0 0 1 00 0 0 1Odp. Baz¡ jest zbiór pusty∅.Poniewa»V∩W={(0,0, 0, 0)}wi¦cV+W=R4i baz¡ tej prze-strzeni jest np. baza standardowa{e1= (1, 0, 0, 0),e2= (0, 1, 0, 0, 0), e2=(0, 0, 1, 0, 0), e4= (0, 0, 0, 1)}V∩W)Przestrze«1−232−43macierz1−332 4 3V∩−4−5−42Wjest opisana wszystkimi 4 równaniami co dajeZadanie 2Zbadaj, czy wektory(2, 0, 3, 1, 1),(1,−2,1, 2, 1),(3, 8, 0, 1,−2),(3, 3, 2, 2, 0)s¡ liniowo niezale»ne.Rozwi¡zanie:Rozwi¡zujemy równanie:x1(2, 0, 3, 1, 1)+x2(1,−2,1, 2, 1)+x3(3, 8, 0, 1,−2)+x4(3, 3, 2, 2, 0) =θomacierzy2 13 3−28 33 10 2Stosuj¡c1 21 21 1−2operacje elementarne otrzymujemy kolejno:A. Stro jnowski21 05 31 0531 0 53−28 3−280 0−22 −1130 2→0 1−15 −7→0 1−15 −7→3 11 20 2−4 −10 0 261 2131 1−20 1−7 −30 0 211 0−10 0 0 00 1−1. Przyjmuj¡c warto±¢ parametrux3= 1otrzymujemy0 0 0 00 2 1x1= 1x2= 1x4=−2i(2, 0, 3, 1, 1) + (1,−2,1, 2, 1) + (3, 8, 0, 1,−2) −2 (3, 3, 2, 2, 0) =θOdp. Wektory te s¡ liniowo zale»ne.→Zadanie 3Znajd¹ baz¦ przestrzeniV=Lin{(2,3, 1),(1,−2,2),(3, 8, 0)}2 3 1Ukªadamy wektory w macierz1−22i sprowadzamy do postaci schod-3 8 0kowej :0 7−31−22→1−22→0 7−30 14−60 0Rozwi¡zanie:Odp. Baz¡ jest zbiór{(1, −2,2), (0, 7, 3)}.Zadanie 4Oblicz nast¦puj¡ce iloczyny macierzy:1 5 6a)1 3 41 2 312−22b)−13−314·−23−12311−1 ·121−2212−12−3 −25 6 43 4 32 3 2A. Stro jnowski3Odp. a)−30 0−10 1b)4 13 17 12−1 −6 −7 −41−1−22−1Zadanie 5X·X=Znajd¹ wszystkie macierze o wspóªczynnikach rzeczywistych speª-niaj¡cych równanie:4 06 0Rozwi¡zanie:NiechX=a bc d. WtedyX=2a bc da bc d=a2+bc ab+bdca+dc bc+d22a+bc= 4ab+bd= 0st¡db= 0ca+dc= 6bc+d2= 0a2= 4ca+dc= 6d2= 0a1= 2a1=−2b=0b=0c1= 3c1=−3d=0d=0Odp.iX1=2 03 0,X2=−2−3Zadanie 6X·X=Znajd¹ wszystkie macierze o wspóªczynnikach rzeczywistych speª-niaj¡cych równanie:9−60 03−20 0−320 0Odp.X1=,X2=A. Stro jnowski4Zadanie 7a)Oblicz nast¦puj¡ce wyznaczniki:,b)4 56 75 6 43 4 32 3 2,c)12 0 23 3−6−3 −63−326 2 1, d)24 0 25 10 3 7−3 −63−329 2 1.Rozwi¡zanie:Odp. a) -2, b) -1.1c)−321 1−23 0 3 32 2−3d) -60.−2I23−66=3332−2I2−6=−311 1−20 3 30 0 11−32= 9.320 03−63 32−3= (−1)1+113 3−60 3 32 2−3=Zadanie 8a)Znajd¹ macierz odwrotn¡ do:4 56 7,b)5 6 43 4 3,2 3 23 3 2c)3 4 3.2 3 2Rozwi¡zanie:a)4 56 75b)321 03 42 31 00 40 31 00 10 3−164332321257−22=3−24 1 0 0−2III3 0 1 02 0 0 11 0−20 1 0−3I0 0 1−2I1 0−2−31 6−III−20 51 0−2−11 1−20 5−3IIA. Stro jnowski51−21 0 00 1 1−111+III(−1)0 0−11−321 0 0 1−20 1 0 0−230 0 1−13−2−15 6 41−23 4 3=−23.2 3 2−13−2odp.c)−13 3 21−13 4 3=−232 3 2−13−3Zadanie 9Stosuj¡c metod¦ Cramera rozwi¡» nast¦puj¡ce ukªady równa«:2x1+ 5x2+x3= 03x1+ 4x2+ 2x3= 4a)x1+ 2x2+x3= 13x1+ 2x2+x3= 63x1+ 5x2+ 2x3= 1b)x1+ 2x2+x3= 0,.Rozwi¡zanie:a)W=2 5 13 4 21 2 10 5 14 4 21 2 12 0 13 4 21 1 12 5 03 4 41 2 1=−3W1==−6wi¦cx1=−6−3=2W2==3wi¦cx2=3−3=−1W3=b)=−3wi¦cx3=−3−3=1{x3= 1,x2=−2,x1= 3}. [ Pobierz całość w formacie PDF ]