al1 w02 zima2011

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
WYKŁAD 2
Wielomiany
Definicja 1.
Funkcj¦
f
:C
!
Cokre±lon¡ wzorem
w
(
x
)
df
=
a
n
x
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+
···
+
a
1
x
+
a
0
,
gdzie
a
0
,...,a
n
6
= 0
2
K
nazywamy
wielomianem stopnia
n
,
n
2
N
[{
0
}
, o
współczynnikach ze zbioruK(K=RlubK=C).
n
-
stopie« wielomianu
- oznaczamy przez
st
(
w
).
R[
x
],C[
x
]
ozn
=
zbiór wielomianów o współczynnikach rzeczywistych, odp.zespolonych.
Definicja 2.
Wielomian
w
(
x
) jest
nierozkładalny
, je±li nie da si¦ przedstawi¢ w postaci:
w
(
x
) =
w
1
(
x
)
·
w
2
(
x
), gdzie
st
(
w
1
)
,st
(
w
2
)
>
0.
Uwaga 1.
Wielomianami nierozkładalnymi wR[
x
] sa wielomiany stopnia pierwszego i te wie-
lomiany stopnia drugiego, dla których
<
0.
Definicja 3.
Pierwiastek
wielomianu
w
(
x
) jest to taka liczba zespolona
x
o
, »e
w
(
x
o
) = 0.
Twierdzenie 1. (Bezou’a)
Liczba zespolona
z
o
jest pierwiastkiem wielomianu
w
(
x
)
,
wielo-
mian
w
(
x
) jest podzielny przez (
x
−
z
o
)
(tzn.
w
(
x
) = (
x
−
z
o
)
·
w
1
(
x
), gdzie
st
(
w
1
) =
st
(
w
)
−
1).
Twierdzenie 2. (Zasadnicze twierdzenie algebry)
Ka»dy wielomian stopnia
n,n
­
1, o
współczynnikach zespolonych, ma co najmniej jeden pierwiastek zespolony.
Wniosek 1.
Ka»dy wielomian stopnia
n,n
­
1, o współczynnikach zespolonych ma dokładnie
n
pierwiastków (niekoniecznie ró»nych).
Wniosek 2.
Je±li
w
(
x
) =
a
n
x
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+
···
+
a
1
x
+
a
0
i
x
1
,x
2
,...,x
n
s¡ pierwiastkami tego
wielomianu, to
w
(
x
) =
a
n
(
x
−
x
1
)
·
(
x
−
x
2
)
·
...
·
(
x
−
x
n
)
Wniosek 3.
Wielomianami nierozkładalnymi wC[
x
] s¡ tylko wielomiany pierwszego stopnia.
Macierze
Definicja 4.
Macierz
(liczbowa) wymiaru ”m na n” jest to tablica prostok¡tna postaci
2
4
3
5
A
=
a
11
a
12
... a
1
n
a
21
a
22
... a
2
n
... ... ... ...
a
m
1
a
m
2
... a
mn
df
=
[
a
ij
]
m,n
gdzie wszystkie
a
ij
2
K ,
(
K
=Rlub
K
=C);
wiersze macierzy
- rz¦dy poziome,
kolumny macierzy
- rz¦dy pionowe .
1
macierz zerowa
Macierz
A
= [
a
ij
]
m,n
jest
zerowa
, je±li
a
ij
= 0 dla wszystkich i,j.
macierz kwadratowa
Macierz
A
= [
a
ij
]
m,n
jest
kwadratowa
, je±li
m
=
n
. Wspólny wymiar nazywamy
stopniem
tej macierzy.
macierz jednostkowa
Macierz kwadratowa
E
n
= [
e
ij
]
n
jest
jednostkowa
, je±li
e
ij
= 1 gdy
i
=
j
oraz
e
ij
= 0 gdy
i
6
=
j
.
Definicja 5.
Macierze
A
= [
a
ij
]
m,n
i
B
= [
b
ij
]
k,l
s¡
równe
, je±li
m
=
k
,
n
=
l
oraz
a
ij
=
b
ij
dla
wszystkich
i,j
.
Działania na macierzach
mno»enie przez liczby rzeczywiste
·
A
=
·
[
a
ij
]
m,n
df
=[
·
a
ij
]
m,n
;
dodawanie macierzy
je±li
A
= [
a
ij
]
m,n
i
B
= [
b
ij
]
m,n
, to
A
+
B
df
=[
a
ij
+
b
ij
]
m,n
;
mno»enie macierzy
je±li
A
= [
a
ij
]
m,n
i
B
= [
b
ij
]
n,r
to
A
·
B
df
=[
c
ij
]
m,r
, gdzie
c
ij
df
=
a
i
1
b
1
j
+
a
i
2
b
2
j
+
···
+
a
in
b
nj
Własno±ci działa«
1.
A
+
B
=
B
+
A
2. (
A
+
B
) +
C
=
A
+ (
B
+
C
)
3.
A
·
(
B
+
C
) =
A
·
B
+
A
·
C
4.
A
·
E
n
=
E
n
·
A
=
A
, je±li
A
jest m. kwadratow¡ stopnia
n
5. (
A
·
B
)
·
C
=
A
·
(
B
·
C
)
Przy zało»eniu, ze odpowiednie działania s¡ wykonalne.
2
Macierz transponowana
Definicja 6.
Macierz¡ transponowan¡
macierzy
A
= [
a
ij
]
m,n
jest macierz
A
T
= [
a
ij
]
n,m
, gdzie
a
ij
df
=
a
ji
.
Uwaga 2.
1. (
A
T
)
T
=
A
2. (
A
+
B
)
T
=
A
T
+
B
T
3. (
A
·
B
)
T
=
B
T
·
A
T
Wyznaczniki
Wyznacznikiem
macierzy kwadratowej stopnia
n
2
a
11
a
12
... a
1
n
a
21
a
22
... a
2
n
... ... ... ...
a
n
1
a
n
2
... a
nn
3
A
=
4
5
jest liczba rzeczywista oznaczana
przez:
det
A ,
|
A
|
lub
a
11
a
12
... a
1
n
a
21
a
22
... a
2
n
... ... ... ...
a
n
1
a
n
2
... a
nn
.
Dla
n
= 1 i
A
= [
a
11
] : det
A
df
=
a
11
;
"
#
a
11
a
12
a
21
a
22
: det
A
df
=
a
11
a
22
−
a
12
a
21
;
dla
n
= 2 i
A
=
2
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
3
dla
n
= 3 i
A
=
4
5
:
det
A
df
=
a
11
a
22
a
33
+
a
21
a
32
a
13
+
a
31
a
12
a
23
−
a
13
a
22
a
31
−
a
23
a
32
a
11
−
a
33
a
12
a
21
.
Własno±ci wyznaczników (sformułowane dla wierszy)
przestawienie dwóch wierszy powoduje zmian¦ znaku wyznacznika;
je»eli w wyznaczniku wyst¦puje wiersz zerowy, to wyznacznik jest równy 0;
je»eli dwa wiersze s¡ proporcjonalne, to wyznacznik jest równy 0;
je»eli wszystkie elementy danego wiersza zawieraj¡ wspólny czynnik, to ten czynnik mo»na
wył¡czy¢ przed wyznacznik;
3
je»eli do wiersza dodamy kombinacj¦ liniow¡ innych wierszy, to warto±¢ wyznacznika nie
zmieni si¦;
je»eli wszystkie elementy pod główn¡ przek¡tn¡ s¡ równe 0, to warto±¢ wyznacznika jest
równa iloczynowi elementów na głównej przek¡tnej.
A
ij
df
=
(
−
1)
i
+
j
·
M
ij
,
gdzie
M
ij
oznacza wyznacznik macierzy kwadratowej powstałej z
A
przez skre±lenie
i
– tego
wiersza i
j
– tej kolumny.
Twierdzenie 3.
Dla ka»dego
n
­
2 i dowolnych 1
¬
i
¬
n
oraz 1
¬
j
¬
n
prawdziwe s¡ wzory:
det
A
=
a
i
1
A
i
1
+
a
i
2
A
i
2
+
···
+
a
in
A
in
,
det
A
=
a
1
j
A
1
j
+
a
2
j
A
2
j
+
···
+
a
nj
A
nj
.
4
Definicja 7.
Dopełnieniem algebraicznym
elementu
a
ij
, gdzie 1
¬
i
¬
n
i 1
¬
j
¬
n
nazywamy
warto±¢
[ Pobierz całość w formacie PDF ]