Algebra listy

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Listanr1-Liczbyzespolone
Zadanie1.Obliczy¢:
a)(
p
3
−
i
)
32
b)
p
6
2
i
−
1
p
2
18
c)
(1+
p
3
i
)
8
(
i
−
1)
6
d)1+
p
3
−
i
2
+
p
3
−
i
2
2
+
...
+
p
3
−
i
2
20
e)
1
2
−
p
3
2
i
77
f*)
1
−
p
3
−
i
2
24
g)
1+
p
3
i
1
−
p
3
i
2
h)
(
−
1+
p
3
i
)
15
(1
−
i
)
20
1
−
p
2
i
Zadanie2.Przedstawi¢wpostacitrygonometrycznej:
a)
5+
i
2+3
i
b*)1+sin
−
i
cos
c)
(
p
6
−
i
p
2)
6
(1
−
i
)
7
·
i
99
d)
1
−
i
1+
i
p
3
20
(1+
i
p
3)
9
Zadanie3.Przedstawi¢wpostacialgebraicznej:
a)
cos
5
−
i
sin
5
25
b)
3
p
−
5
i
p
1+2
i
(zdefinicjipierwiastkazespolonego)
d)
4
p
−
16
Zadanie4.Rozwi¡za¢równanie:
a)
z
4
+4=0
b)
z
2
+(2+2
i
)
z
+1+2
i
=0
c)
z
4
−
3
z
2
+4=0
d)
i
·
(
z
+
z
)+
i
·
(
z
−
z
)=2
i
−
3
e)(
z
+
i
)
3
=
p
3+
i
−
1+
p
3
i
f)
|
z
|
2
+
z
=2+
i
g)
iz
2
+(1+
i
)
z
−
1
2
=0
h)
z
3
=(1
−
p
3
i
)
6
i*)
z
6
=(1+3
i
)
12
1
i)
1
e)
(1
−
i
p
3)
6
c)
j)(
z
)
3
−
iz
=0
k)
|
z
|
2
=
|
z
|
2
z
−
i
l)
z
2
−
3
z
=
−
3
−
i
m)
z
4
−
iz
2
+2=0
n)(1+
i
)
4
·
z
4
=
−
1
o)(
z
)
3
·
i
=1
Zadanie5.Naszkicowa¢zbiórliczbzespolonychspełniaj¡cychwarunek:
a)
3
<
arg(
z
+
i
)
<
b)
<
arg(
z
3
)
<
3
2
c)
z
i
+5
>
3
d)
Re
(
z
+1)
2
>
0
e)
1
<
|
z
+1
−
i
|
<
2
Im
(
iz
)
<
2
f)
>
1
<
arg(
z
)
<
2
g)
Re
[
z
·
(1
−
i
)]
¬
1
h*)
|
z
−
i
|
+
|
z
+
i
|¬
4
i)
|
z
−
2
|¬
Imz
+3
2
(
z
−
1
z
−
i
 Listanr2-Wielomiany,funkcjewymierne
Zadanie6
.
Udowodni¢,»eje»eliliczba
z
jestpierwiastkiemwielomianuowspółczynnikachrzeczywistych,
torównie»
z
jestjegopierwiastkiem.
Zadanie7.Liczba
i
jestjednymzpierwiastkówwielomianu
f
(
z
)=
z
4
+
z
3
+2
z
2
+
z
+1.Znale¹¢pozostałe
pierwiastki.
Zadanie8.Znale¹¢wszystkiepierwiastkiwielomianu
f
(
z
)=2
z
3
−
3
z
2
+2
z
−
1.Rozło»y¢
f
naczynniki
liniowe.
Zadanie9.Rozło»y¢naczynnikiliniowewielomian
f
(
z
)=
z
4
−
6
z
3
+15
z
2
−
18
z
+10,je»eliwiadomo,
»eliczba2+
i
jestjednymzjegopierwiastków.
Zadanie10.Niewykonuj¡cdzieleniaznale¹¢reszt¦zdzieleniawielomianu
f
(
z
)=
z
110
−
2
z
55
+1przez
wielomian
p
(
z
)=
z
2
+1.
Zadanie11.Funkcj¦wymiern¡(wła±ciw¡)
f
przedstawi¢wpostacisumyułamkówprostych:
a)
f
(
x
)=
x
2
x
3
+
x
2
−
4
x
−
4
b)
f
(
x
)=
1
x
(
x
2
+1)
2
c)
f
(
x
)=
1+
x
3
(
x
−
x
2
)
2
d)
f
(
x
)=
1
x
5
−
x
4
+
x
3
−
x
2
+
x
−
1
e*)
f
(
x
)=
1+
x
x
4
+81
x
4
−
x
3
,
g)
x
2
x
3
−
x
2
−
4
x
+3
,
Zadanie12.Funkcj¦wymiern¡
f
przedstawi¢wpostacisumywielomianuiułamkówprostych:
a)
f
(
x
)=
5
x
2
x
2
−
1
b)
f
(
x
)=
x
4
−
2
x
3
+
x
3
f)
4
x
3
−
3
x
2
−
2
x
+2
 Listanr3-Macierzeiwyznaczniki
Zadanie13.Obliczy¢wyznacznik:
a)
1 1 11
−
1
i
12
1
−
114
−
1
−
i
18
0 1
0
(wyznacznik
n
×
n
,odp:(
−
1)
n
−
1
(
n
−
1))
b)
.
.
.
1 0
c)
5 3 4
−
20
3
−
12
−
51
7 2 8 3 1
4
−
54
−
72
2 2 3 0 3
(odp:299)
d)
cos(
)sin(
) sin(
)sin(
) cos(
)
−
r
sin(
)sin(
) cos(
)sin(
) 0
r
cos(
)cos(
)
r
sin(
)sin(
)
−
r
sin(
)
(odp:
r
2
sin(
))
0
0 1
1
−
10
1 1 1
1
Zadanie14.Wyznaczy¢wszystkie
2
R
,dlaktórychmacierz
A
=
@
A
jestnieosobliwa.
Dla
=1wyznaczy¢dwomametodami
A
−
1
.Sprawdzi¢bezpo±rednimrachunkiem,»e
A
·
A
−
1
=
A
−
1
·
A
=
I
.
Zadanie15.Rozwi¡za¢równanie,gdzie
X
2
R
n
×
k
:
a)
X
+
13
20
=
13
20
·
X
0
−
11 2
1 1 0
0 1
−
1
1
1
−
32
0 1 2
b)
X
·
@
A
=
0
1111
1112
0200
1123
1
B
B
@
C
C
A
·
X
=
1 0 01
3
−
112
T
c)
(stosowa¢operacjeelementarne)
0
123
012
101
1
−
1
0
1
1
1
1
d)
@
A
·
X
=
X
+
@
A
Zadanie16.Wyznaczy¢rz¡dmacierzy:
0
11
−
120
−
1
24 2 22
−
4
45
−
274 4
1
T
a)
@
A
0
1
−
2 1
1 2
−
1 0
1 2 1
−
1
b)
@
A
,gdzie
2
R
jestparametrem
4
Listanr4-Układyrówna«liniowych,twierdzenieKroneckera-
Capellego
Zadanie17.Sprawdzi¢,czyukładrówna«jestukłademCramera:
8
>
>
<
2
x
+3
y
=2
x
+
y
+5
z
+2
t
=1
2
x
+
y
+3
t
=
−
3
x
+
y
+3
z
=
−
3
a)
>
>
:
Wyznaczy¢
x
i
t
.
8
>
>
<
3
x
+
y
+
z
+
t
=0
3
x
+3
y
+
z
+
t
=0
3
x
+3
y
+3
z
+
t
=0
3
x
+3
y
+3
z
+3
t
=3
b)
>
>
:
Wyznaczy¢
y
i
z
.
Zadanie18.Metod¡eliminacjiGaussarozwi¡za¢układrówna«:
8
>
>
>
>
<
x
+2
y
+
z
=1
3
x
+7
y
+6
z
=3
x
+3
y
+4
z
=1
2
x
+3
y
−
z
=2
x
+4
y
+7
z
=1
a)
>
>
>
>
:
8
>
>
<
5
y
+
z
=0
3
x
−
y
+2
z
+2
w
=
−
7
y
+
w
=
−
2
−
x
−
2
z
=1
b)
>
>
:
Zadanie19.Dlajakichwarto±ciparametru
a
układrówna«
8
<
:
(2
−
a
)
x
+
y
+2
z
=0
2
x
+(1
−
a
)
y
+2
z
=0
2
x
+
y
+(2
−
a
)
z
=0
maniezerowe
rozwi¡zania?Wyznaczy¢terozwi¡zania.
8
<
mx
+
y
+
z
=4
x
+
my
+
z
=4
m
x
+
y
+
mz
=4
m
2
,gdzie
m
2
R
jestparametrem.Wyznaczy¢
tewarto±ci
m
,dlaktórychukładtenjestukłademCramera.Nast¦pniedla
m
=2rozwi¡za¢tenukład
stosuj¡c:
:
•
wzoryCramera,
•
metod¦macierzyodwrotnej,
•
metod¦eliminacjiGaussa.
Zadanie21.Zbada¢rozwi¡zywalno±¢układurówna«.Wyznaczy¢,je±liistniej¡,rozwi¡zania(
a
2
R
-
parametr):
8
<
x
+
y
=1
2
x
+3
y
=5
4
x
+5
y
=7
a)
:
8
<
x
−
2
y
+
z
+
w
=1
x
−
2
y
+
z
−
w
=
−
1
x
−
2
y
+
z
+5
w
=5
b)
:
8
<
ax
+
ay
+2
az
=5
x
+3
y
+
az
=5
x
+
y
+2
z
=3
c)
:
8
<
ax
−
4
y
=0
x
+3
y
=2
a
+1
5
x
−
y
=9
d)
:
5
Zadanie20.Danyjestukładrówna«
[ Pobierz całość w formacie PDF ]