al1 w01 zima2011

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
AL1W1
Oznaczenia
N– zbiór liczb naturalnych
Z– zbiór liczb całkowitych
Q– zbiór liczb wymiernych
R– zbiór liczb rzeczywistych
8
– kwantyfikator ogólny – ”dla ka»dego”
9
– kwantyfikator szczegółowy – ”istnieje”
Liczbyzespolone
Def.
Liczba zespolona
jest to wyra»enie postaci
z
=
x
+
j
·
y
, gdzie
x,y
2
R. Symbol
j
(oznaczany
te» jako
i
) nazywamy
jednostk¡ urojon¡
. Ustalamy:
j
2
=
−
1.
Oznaczamy
:
x
oz
=
Rez
(realis) -
cz¦±¢ rzeczywista
liczby zespolonej
z
;
y
oz
=
Imz
(imaginalis) -
cz¦±¢ urojona
liczby zespolonej
z
Przyjmujemy
:
1.
z
= 0
,
x
= 0
^
y
= 0;
2.
z
1
=
z
2
,
Rez
1
=
Rez
2
^
Imz
1
=
Imz
2
.
Interpretacjageometryczna
.
Liczbie zespolonej
z
=
x
+
j
·
y
przyporz¡dkowujemy w sposób jednoznaczny punkt (
x,y
)
2
R
2
.
W ten sposób otrzymujemy
płaszczyzn¦ liczb zespolonych
.
Działanianaliczbachzespolonych
.
1. mno»enie przez liczby rzeczywiste -
·
z
d
=
x
+
j
·
y,
2
R;
2. dodawanie -
z
1
+
z
2
= (
x
1
+
x
2
) +
j
·
(
y
1
+
y
2
);
3. mno»enie -
z
1
·
z
2
= (
x
1
x
2
−
y
1
y
2
) +
j
·
(
x
1
y
2
+
x
2
y
1
);
4. sprz¦»enie -
z
d
=
x
−
jy
;
5. dzielenie - okre±lone, gdy
z
2
6
= 0 -
z
1
z
2
=
z
1
·
z
2
z
2
·
z
2
.
Własno±cisprz¦»enia
1.
z
·
z
=
x
2
+
y
2
­
0 (
>
0
,
z
6
= 0)
1
df
 2.
z
1
+
z
2
=
z
1
+
z
2
3.
z
1
·
z
2
=
z
1
·
z
2
z
2
.
Def.
Modułem
liczby zespolonej
z
(ozn.
|
z
|
) nazywamy liczb¦ nieujemn¡
|
z
|
d
=
p
x
2
+
y
2
.
z
1
z
2
=
z
1
Interpretacjageometryczna:
moduł liczby
z
jest równy odległo±ci liczby
z
od liczby 0.
Własno±cimodułu
1. Je±li
z
=
x
2
R, to
|
z
|
=
p
x
2
+ 0
2
=
|
x
|
- uogólnienie poj¦cia
2.
z
·
z
=
|
z
|
2
,
|
z
|
= 0
,
z
= 0;
3.
|
z
1
−
z
2
|
- odległo±¢ liczb zespolonych
z
1
, z
2
;
4.
|
z
1
·
z
2
|
=
|
z
1
|·|
z
2
|
,
z
1
z
2
=
|
z
1
|
|
z
2
|
,z
2
6
= 0
5.
|
z
1
+
z
2
|¬|
z
1
|
+
|
z
2
|
.
Posta¢trygonometrycznaliczbyzespolonej
Je±li
z
=
x
+
jy
i
z
6
= 0, to z interpretacji geometrycznej l.z. wynika, »e istnieje k¡t
(mi¦dzy
osi¡ rzeczywist¡ i promieniem wodz¡cym=
|
z
|
), »e
x
=
|
z
|
cos
i
y
=
|
z
|
sin
. St¡d
z
=
|
z
|
(cos
+
j
·
sin
)
gdzie
jest dowoln¡ liczb¡ rzeczywist¡. T¦ równo±¢ nazywamy
trygonometryczn¡
postaci¡ liczby
zespolonej. Liczba
z
= 0 nie ma postaci zespolonej.
Liczb¦
nazywamy
argumentem
liczby zespolonej (ozn.
Argz
). Je»eli
2
(
−
:
>
, to
nazy-
wamy
argumentem głównym
(ozn.arg
z
).
Własno±ci
1.
z
1
=
z
2
,|
z
1
|
=
|
z
2
|^
arg
z
1
= arg
z
2
,z
1
, z
2
6
= 0
2.
z
1
·
z
2
=
|
z
1
|·|
z
2
|
(cos(
1
+
2
) +
j
sin(
1
+
2
))
3.
z
1
z
2
=
|
z
1
|
|
z
2
|
(cos(
1
−
2
) +
j
sin(
1
−
2
))
Posta¢wykładniczaliczbyzespolonej
Przyjmujemy
e
j
d
=
cos
+
j
sin
, gdzie
e
=
'
2
,
718 - jest stał¡ matematyczn¡.
Wtedy liczb¦ zespolon¡
z
6
= 0
, z
=
|
z
|
(cos
+
j
sin
) mo»na zapisa¢ jako
z
=
|
z
|·
e
j
=
r
·
e
j
-
to ostatnie wyra»enie to
posta¢ wykładnicza
liczby zespolonej.
WzoryEulera
:
e
jy
= cos
y
+
j
sin
y , e
x
+
jy
=
e
x
·
e
jy
2
4.
e
j
=
−
1
Pot¦gowanieliczbzespolonych
Je±li
z
=
|
z
|
(
cos
+
j
sin
), to dla ka»dej liczby
n
2
N:
z
n
=
z
·
...
·
z
=
|
z
|
n
(cos(
n
) +
j
sin(
n
))
WzórMoivre’a:
(
|
z
|
(cos
+
j
sin
))
n
=
|
z
|
n
(cos(
n
) +
j
sin(
n
)).
Pierwiastkowanieliczbzespolonych
Def.
Liczb¦ ze
sp
olon¡
w
nazywamy
pierwiastkiem n - n tego stopnia
z liczby zespolonej
z
, je±li
Uwaga
1. dla ka»dej liczby
n
2
N:
n
p
0 = 0;
2. je±li
z
6
= 0, to dla ka»dej liczby
n
2
Nistnieje n ró»nych pierwiastków n - tego stopnia z
liczby
z
danych wzorami:
n
p
z
k
=
n
q
cos
+ 2
k
n
+
j
sin
+ 2
k
n
!
|
z
|
, k
= 0
,
1
,
2
,...,n
−
1
3
w
n
=
z
(ozn.
n
p
z
).
[ Pobierz całość w formacie PDF ]