Algebra Liniowa – Przestrzenie ...

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Algebra liniowa/Przestrzenie metryczne 1/10
Przestrzenie metryczne
w tym: pojęcie funkcji, iloczynu kartezjańskiego
Niełatwa w odbiorze dla przeciętnego, normalnego, ciężko pracującego człeka definicja
brzmi:
Jest to taka para P = (X, ρ), której funkcja ρ określona na zbiorze X spełnia jakieś tam
założenia.
Już pewnego wyjaśnienia wymaga określenie „para”. Po prostu jest to zbiór, rodzaj
pojemnika, w której pierwszym elementem jest dziedzina (mówiąc kolokwialnie – zbiór, z którego
sobie zapieprzamy liczby) funkcji ρ, a drugim – właśnie ta funkcja.
A, jedna uwaga – samo „mięso”, czyli sposób rozwiązywania zadania, zaczyna się gdzieś w
połowie piątej stronie. Przedtem – sporo teorii, którą wydaje mi się – każdy powinien w jakimś
kawałku posiadać przed rozwiązywaniem zadań. Jednak, jeżeli zacznie was nudzić, pomyślicie „Co
on pieprzy”, to przejdźcie już do przykładu rozwiązanego zadania.
Wyjaśnienie, co to jest „funkcja”. Człowiek normalny, czyli tuż po napisanej maturze, ale
jeszcze przed studiami, jest przyzwyczajony do np. takiej postaci funkcji:
f(x) = 5 – x
(x należy do zbioru liczb rzeczywistych)
Za „iksa” coś tam podstawiamy; wrzucamy jakąś liczbę, ta funkcja coś z tą liczbą robi i coś
tam wypluwa. Na przykład, w powyższym przykładzie „wrzucamy” w funkcję liczbę 2, funkcja coś
tam z liczbą zrobi i wypluje 3. Czemu? Po prostu za „iksa” podstawiamy 2 i wykonujemy działanie:
f(2) = 5 – 2 = 3
Czemu podkreśliłem dwójkę w obydwu przypadkach? Bo możemy sobie wrzucić jakąś
liczbę
a
, która będzie liczba rzeczywistą, na miejsce tego podkreślenia. A co, nie zawsze musimy
wstawiać konkretne liczby, bo nam się nie chce albo rzygamy na widok liczb; wynik będzie taki:
f(a) = 5 – a
Pójdźmy dalej, możemy sobie zamiast „iksa” podstawić jakieś tam wyrażenie, załóżmy:
Argument: c + h + u + j
f(c + h + u + j) = 5 – (c + h + u + j) = 5 – c – h – u – j
Jak widzimy, funkcję możemy sobie wyobrazić jako „czarną skrzynkę”, w którą
coś
wrzucamy, czekamy, aż skrzynka pomyśli, po czym funkcja „wypluwa”
coś
, będącym wynikiem.
Specjalnie pogrubiłem słowo „coś”, bo tak naprawdę, można funkcję określić na czymkolwiek, a w
wyniku też dostać cokolwiek.
Na przykład, chcemy sobie policzyć pole prostokąta. Wzór, znany zapewne ze szkoły
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Algebra liniowa/Przestrzenie metryczne 2/10
podstawowej, wygląda tak:
P = a * b
A ponieważ, mówiąc idiotycznie prosto, jestem pojebany, postanowiłem zapisać to jako
jakąś funkcję:
P(a, b) = a * b
Ba, poszedłem o krok dalej, bo powiedzmy wziąłem do serca wykład z Problemów
Społecznych Informatyki, skasowałem wszystkie brutalne gry, nielegalne oprogramowanie i
nudziło mi się w domu. Postanowiłem sobie zapisać coś w tym stylu:
P: (a , b) jakaś tam liczba
Symbol przed dwukropkiem oznacza po prostu jakąś tam nazwę funkcji, potem mam
napisane argumenty, a na końcu – wynik. Faktycznie, wrzucam dwie liczby i w wyniku otrzymuję
jakąś tam liczbę.
No dobra, ale powyższy zapis jest do dupy. Nie wiemy przecież, skąd wzieliśmy liczby a i b.
Czy to są liczby naturalne? A może całkowite? Rzeczywiste? Zespolone? Niestety, będziemy się
bawić w programowanie (niestety, bo jedyne, co próbowałem programować, to pralkę, a i tak pranie
wyszło takie, że pożal się Boże), gdzie definiowanie funkcji wymaga konkretów.
By trochę uściślić, poprawię powyższy napis:
P: (liczba rzeczywista
a
, liczba rzeczywista
b
) liczba rzeczywista
No dobra, wiemy, skąd zapieprzamy liczbę a, skąd liczbę b, są to jakieś tam dwie liczby
rzeczywiste, które się wrzuca w funkcję i wychodzi liczba rzeczywista. Dobra, ale i to nie jest
konkretne.
Bo przecież nie będziemy do końca życia ograniczać do jebanych literek a, b, x, y czy
cholera wie, jakich jeszcze. Trzeba precyzyjnie napisać zbiór, z którego czerpiemy argumenty i
zbiór, w którym znajdzie się nasz potencjalny wynik, czyli już poprawny zapis powinien wyglądać
tak:
P: R x R R
(lub, równoważne)
P: R
2
R
Jest to tzw. specyfikacja funkcji
I tutaj mogę sam siebie się zapytać, a nawet powinienem: „co to jest R x R? A R
2
co do
cholery oznacza”? Pojawia się pojęcie „iloczynu kartezjańskiego”.
Powiedzmy, że mamy zbiór, składający się z 10 facetów i 10 dziewczyn, które mają umysły
wyjątkowo heteroseksualne. Możemy je połączyć (tak, te uśmieszki są kierowane w dobrą stronę)
w dowolne pary. Poza tym, że będziemy mieć niesamowitą orgię, zbiór takich wszystkich
możliwych „par” możemy nazwać „iloczynem kartezjańskim” zbiorów głupich chłopów i czasem
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Algebra liniowa/Przestrzenie metryczne 3/10
niegłupich bab (te przymiotniki to fakty, nie będziemy się nad nimi rozwodzić).
Jeżeli mamy dwa zbiory – zbiór A oraz zbiór B, to iloczyn kartezjański możemy krótko określić
jako A x B.
Przykład:
Mamy zbiór A, składający się z cyfr: 2, 3, 4
I zbiór B, składający się z cyfr: 1, 5, 6.
Trzeba dodać, że odpowiednie „pary” zazwyczaj zapisuje się normalnie w nawiasach, ale gdzie
kolejność jest kurewsko ważna, więc iloczyn kartezjański będzie się składać z następujących
elementów:
(2,1),(2,5),(2,6), //to, z czym można „połączyć” dwójkę ze zbioru A
(3,1),(3,5),(3,6), //to, z czym można „połączyć” trójkę ze zbioru A
(4,1),(4,5),(4,6) //to, z czym można „połączyć” czwórkę ze zbioru A.
Jeżeli więc mamy zapis R x R (równoważnie: R
2
, bo nikomu się nie chce pisać znaków
mnożenia) przy specyfikacji funkcji, to po prostu oznacza to jakąś tam parę liczb, w której
pierwszym elementem jest jakaś liczba rzeczywista, a drugim – również liczba rzeczywista.
Na przykład, zapis R
3
pokazuje nam, że mamy do czynienia z trójką liczb rzeczywistych,
zapisanych na przykład tak: (a, b, c), w której
a
jest jakąś liczbą rzeczywistą,
b
też, a i
c
nie wyrywa
się z kanonów.
Przyszedł mi do głowy taki niebanalny przykład funkcji (uwaga, wymagana znajomość
silni):
f(a, b) = a
2
+ b!
I ktoś bardzo złośliwy każe nam napisać specyfikację tej funkcji. I se tak głośno myślimy:
„Hmm... za
a
mogę wstawić cokolwiek, co mi się tylko podoba, bo do kwadratu mogę podnieść, co
se tam zechcę. Ale
b
... nie wiem, czy dla jakiejkolwiek liczby mogę sobie znaleźć silnię. Dla 3 se
znajdę, ale ile wynosi silnia z 5,312? Cholera wie”.
Nie „cholera wie”, tylko jak widzimy, liczba
b
w powyższej funkcji wymaga specjalnego
traktowania. Nie możemy wstawić cokolwiek. A najbliższe prawdy będzie chyba stwierdzenie, że
najlepiej będzie za
b
wstawiać tylko liczby naturalne.
Spójrzmy na argumenty, które mamy wstawić. Za a wstawiajmy, co chcemy, ale za b
możemy wstawić tylko liczbę naturalną. Możemy więc wstawić tylko taką parę liczb, z których
pierwsza (a) będzie rzeczywista, a druga (b) - tylko naturalna.
A, jeszcze wynik. Nie jest to specjalnie rzecz trudna, bo wynikiem może być też jakaś tam
liczba rzeczywista (jak podniesiemy jakiegoś „potworka” - liczbę rzeczywistą do kwadratu, to
wyjdzie również jakaś odrażająca liczba rzeczywista, a jak dodamy jakąś liczbę naturalną – wynik
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Algebra liniowa/Przestrzenie metryczne 4/10
silni – to nam to specjalnie nie pomoże).
Widzimy więc, że pary argumentów – (a, b) będą iloczynem kartezjańskim zbioru liczb
rzeczywistych (bo pierwsza liczba to chuj wie, co, cokolwiek) i naturalnych (bo tylko takie możemy
„wrzucić” do silni), więc nasze argumenty będziemy czerpać ze zbioru R x N.
Dla przypomnienia – wymyśliłem se taką funkcję:
f(a, b) = a
2
+ b!
f: R x N R
Stąd zapieprzamy pierwszą liczbę Stąd drugą liczbę A funkcja zwraca nam liczbę z tego
zbioru
Trochę o funkcjach napisałem, czas wrócić do przestrzeni metrycznych, gdzie jednak trochę
się nam pomiesza zapewne dziedzina.
Ogólnie sam zapis przestrzeni metrycznej jako pary wygląda następująco:
P = (_ , _)
iloczyn kartezjański, skąd będziemy brać pojedynczy argument
W to miejsce „wsadzamy” dziedzinę;
A w to miejsce funkcję, która ma
być metryką
Czyli na przykład zapis:
P = (R , ρ)
oznacza po prostu, że w funkcję
ρ wrzucimy
dwie
liczby
.
A taki:
P = (R
2
, ρ)
oznacza, że w funkcję ρ wrzucimy
dwie
pary liczb.
Nie daj Boże, jeżeli zdarzy się kiedyś taki zapis:
P = (R
3
, ρ)
oznaczający, że funkcja będzie potrzebować
dwóch
trójek liczb.
Dlaczego tak dziwnie i czemu, kurwa mać, dwa argumenty od razu?
W przestrzeni metrycznej najważniejsza jest funkcja. Nie jest to pierwsza z brzegu wzięta z
dupy funkcja... To znaczy, najczęściej, by dręczyć studentów – właśnie taka jest, ale ma swoje
zadanie:
ma policzyć odległość pomiędzy dwoma argumentami
. Co oznacza „odległość”?
Przykładam linijkę i zmierzyłem, po co się tak męczyć? No niestety, ktoś se jednak pomyślał, że
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Algebra liniowa/Przestrzenie metryczne 5/10
odległoś se będzie mierzył jakimś specjalnym wzorem, czy – zapewne już ktoś pomyślał „Jeszcze
raz napisze to słowo, to rzygnę” - funkcją.
By uznać taką funkcję za godną siedzenia w przestrzeni metrycznej, musi spełniać trzy
warunki (dokładne definicje – na pewno gdzieś w internecie):
1. Dla tych samych argumentów wartość musi być równa 0
ρ(x, x) = 0
2. Zmienienie kolejności argumentów ma chuja dać
ρ(x, y) = ρ(y,x)
3. Funkcja dla dowolnych, z dupy wziętych argumentów ma spełniać taką nierówność:
ρ(x, z) <= ρ(x, y) + ρ(y, z)
(<= oznacza „większe bądź równe)
Dobra, więc finalnie – przykład:
1. Sprawdź, czy para (R
2
, ρ), gdzie ρ = ((x1, y1), (x2, y2)) = | x1 – x2 | + | y1 – y2| jest metryką.
Brzmi złowrogo, ale – damy radę. Najpierw sprawdzimy, czy faktycznie jest metryką.
Jak widzimy (po zbiorze, z którego zapieprzamy argumenty), argumenty będą
parą
. Czyli
wrzucamy jakąś pierwszą parę, wrzucamy drugą i sprawdzamy, czy mieszczą się w naszych
surowych ramach.
Załóżmy, dla wygody zapisu, że w zapisie typu: ρ ( a, b)
a będzie oznaczać parę (x1, y1), a b – parę (x2, y2) (specjalnie zmieniłem zwyczajowe x, y
na literki a i b, aby się nam nie pojebało od razu).
1) Po pierwsze, dla takich samych par - wynik musi się równać zero.
Czyli ρ (a, a) – większość ludzi na studiach od razu przyzna się do przynależenia do takich
argumentów – ma nam dać 0.
Jak sobie zapisaliśmy, a oznacza (x1, y1). Patrzmy, co się stanie.
ρ (a, a) = ρ ((x1, y1), (x1, y1))
Dobra, już sobie „przywróciliśmy” zapis do zgodnego z treścią zadania, więc policzmy:
ρ ((x1, y1), (x1, y1)) = |x1 – x1| + |y1 – y1|
Kreskami namalowałem „miejsca”, w które wsadzamy poszczególne liczby. To tak dla ułatwienia,
co gdzie powinno pójść. Mam nadzieję, że wśród braci studenckiej nie muszę się gęsto
usprawiedliwiać i znajdę wyjaśnienie dla tak krzywych kresek.
Nie ulega wątpliwościom, że w pierwszym „członie” (napisałbym normalnie, ale nie chcę zbytnio
przeklinać) wyłazi ogromne zero, z drugiego – też.
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
[ Pobierz całość w formacie PDF ]