al1 w03 zima2011

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
WYKŁAD 3
Twierdzenie 1.
(
Cauchy’go
)Je»eli
A
i
B
s¡macierzamikwadratowymitegosamegostopnia,
to
det(
A
·
B
)=det(
A
)
·
det(
B
).
Je±li
A
=[
a
ij
]
n
–macierzkwadratowastopnia
n,n
­
1,to
macierz[
A
ij
]
n
-
macierzdopełnie«
dlamacierzy
A
,
macierz[
A
ij
]
T
n
A
D
det(
A
)
!
Uwaga 1.
A
·
A
D
=
A
D
·
A
=det(
A
)
·
E
n
.(
·
A
=
E
n
)
Macierz odwrotna
Niech
A
i
B
–macierzekwadratowestopnia
n
Definicja 1.
Macierz
B
nazywamy
macierz¡odwrotn¡
domacierzy
A
,je±li
A
·
B
=
B
·
A
=
E
n
.
Macierzodwrotn¡domacierzyA,je±liistnieje,oznaczamyprzez
A
−
1
.
Uwaga 2.
Je»eli
A
−
1
istnieje,todet(
A
)
·
det(
A
−
1
)=1.Zatem,macierzodwrotnado
A
istnieje
,
det(
A
)
6
=0.
Przekształcenia elementarne Gaussa
Przekształceniamielementarnymiwierszys¡
mno»eniewierszyprzezstałe
przestawianiewierszy
dodawaniedowierszykombinacjiliniowejinnychwierszy
Metoda Gaussa
wyznaczania
A
−
1
:
A
|
E
n
p.el.wierszy
)
E
n
|
A
−
1
Układy równa« liniowych = pierwszego stopnia
8
<
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
...
+
a
1
n
x
n
=
b
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
...
+
a
2
n
x
n
=
b
2
... ... ... ... ...
a
m
1
x
1
+
a
m
2
x
2
+
...
+
a
mn
x
n
=
b
m
Układrówna«liniowychtoukładpostaci(
)
,
:
gdzie
x
1
,...,x
x
-
niewiadome
,a
a
ij
,b
j
2
R,
a
ij
–
współczynniki
,
b
j
–
wyrazywolne
.
1
ozn
=
A
D
macierz
doł¡czona
macierzy
A
.
2
x
1
x
2
...
x
n
3
[
a
ij
]
ozn
=
A
-
macierzwspółczynników
,
4
5
ozn
=
X
-
macierzniewiadomych
,
2
3
b
1
b
2
...
b
n
4
5
ozn
=
B
-
macierzwyrazówwolnych
.
Twierdzenie 2. (Cramera)
Je»eli
m
=
n
,toukład(
)ma(dokładnie)jednorozwi¡zanie
,
det(
A
)
6
=0.
Metody rozwi¡zania takiego układu:
wzoryCramera
:
x
i
=
det(
A
i
)
det(
A
)
,gdzie
A
i
,i
=1
,...,n,
jestmacierz¡kwadratow¡powstał¡
z
A
przezzast¡pieniei–tejkolumnykolumn¡wyrazówwolnych.
metodamacierzowa
:
A
·
X
=
B
.St¡d
X
=
A
−
1
·
B
.
metodaeliminacjiGaussa
:przekształcamyelementarniestronyrównaniatakdługo,dopó-
kimacierzwspółczynnikówpolewejstronienieb¦dziemacierz¡trójk¡tn¡.Wyznaczamy
kolejno:
x
n
,x
n
−
1
,...x
1
.
Rz¡d macierzy
A
–dowolnamacierzprostok¡tna,
A
=[
a
ij
]
m,n
.Niech1
¬
k
¬
min(
m,n
).
Definicja 2.
Minor
k
–tegorz¦dumacierzy
A
jesttowyznacznikmacierzykwadratowejstopnia
k
powstałejz
A
przezskre±lenieodpowiedniejliczbywierszyikolumn.
Definicja 3.
Rz¡dmacierzy
A
jesttonajwy»szystopie«niezerowegominoramacierzy
A
.Rz¡d
macierzy
A
jestoznaczanyprzez
R
(
A
).
(in.rz¡dmacierzy
A
jestrówny
r,r
2
N
[{
0
}
,je±liistniejeniezerowyminorstopnia
r
macierzy
A
ika»dyminorstopniawi¦kszegood
r
jestrówny0).
Własno±ci rz¦du macierzy
1.
R
(
A
)=0
,
A
jestmacierz¡zerow¡,
2.
R
(
A
)
¬
min(
m,n
),
3.je±li
A
jestmacierz¡kwadratow¡stopnia
n
,to
R
(
A
)=
n
,
det(
A
)
6
=0
.
2
Operacje nie zmieniaj¡ce rz¦du macierzy:
(dlawierszy)
wykre±leniewierszyproporcjonalnychdodanegowiersza,
przestawieniewierszy,
dodaniedodanegowierszakombinacjiliniowychinnychwierszy.
3
[ Pobierz całość w formacie PDF ]