Algebra Liniowa – Liczby ...

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Algebra liniowa/Liczby zespolone
1/16
Liczby zespolone
Jak to przystało na prawdziwy i nudny wykład, mała praca domowa. Ten jeden z nielicznych
razy wymagam lekkiego przystosowania się do tego, o czym tu będę pierdo... znaczy się – pisał.
Wielce zalecana jest jakaś tam znajomość funkcji trygonometrycznych... cokolwiek to nie
znaczy. Podstawowo – zamiana kąta na radiany. Dobrze też, gdybyście wiedzieli, co to są za
funkcje sinus i cosinus, co one tam wypluwają za liczby. Powinniście zapamiętać... no dobra,
wydrukować kilka podstawowych wartości dla kilku częstych kątów, które zdarzają się w
zadaniach. No i odzwierciedlenie tych funkcji w układzie współrzędnych – czyli wiedzieć np. co w
której ćwiartce (nie mylić „po której ćwiartce”) ma jaki znak, dodatkowa wiedza – wielce
przydatna. Dodatkowo, dobrze wiedzieć, co to jest
wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias
,
czy jakoś coś podobnego.
Oczywiście, nie jakiś tam kosmiczny i rozszerzony poziom, wystarczy to, co tam piszą w
podręcznikach do technikum na obojętnie którym poziomie. Jak to zwykle bywa – trochę teorii,
jeżeli komuś się nudzi czy jest pod wpływem – może spokojnie poczytać, kilka przykładów i
rozwiązań też się znajdzie.
1. Liczba zespolona – postać algebraiczna
Zaczynamy od pytania – co to jest liczba zespolona? Na razie uznajmy, że to jest takie
gówienko:
z = a + bi
Czyli taki „twór”, składający się z właściwie dwóch liczb, dwóch elementów. Pierwszy z
nich jest częścią
rzeczywistą
liczby zespolonej, druga, ta przy literce
i
jest częścią
urojoną
.
O, na przykład mamy taką liczbę:
z = 1 + 2i
Jest to takie coś, składające się z części rzeczywistej – równej w naszym przypadku liczbie
1, oraz części urojonej, równej liczbie 2.
Zatrzymajmy się przy tym tajemniczym
i
:
z = i
Czym, do chuja, jest to
i
i po jaką cholerę ono tam stoi? Uznajmy, że przy tej części urojonej
to
i
ma tam stać. I niech sobie stoi w spokoju, no, chyba, że jest podnoszone do kwadratu, to wtedy
się w automagiczny i dziwny sposób staje liczbą – 1:
i
2
= -1
W tym jednym przypadku coś się faktycznie dzieje z tą tajemniczą literką, a jak się tylko da
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Algebra liniowa/Liczby zespolone
2/16
– zostawiamy w spokoju.
A jednak, postanawiam sobie poeksperymentować.
Zapewne w szkole średniej było takie coś, jak „funkcje kwadratowe”. I tam było takie coś,
jak wyliczanie jakiejś delty, pierwiastków, ogólnie – daj Pan spokój.
Każdy kiedyś coś pierwiastkował. I tak, na przykład pierwiastek z liczby 4:

4=2
lub

4=−2
Daje liczbę dwa albo minus dwa. Proste sprawdzenie – podnosimy do kwadratu to lub tamto
i też mamy cztery. Ale każdy zapis typu:

−4
powodował, że nauczyciel się po przyjacielsku pytał „Co Ty, kurwa, odpierdalasz”, a jak
zachowywaliśmy się pokojowo – to po prostu pisaliśmy „Nie ma, nie istnieje”. Tak, patrząc tylko
przez pryzmat tego, co się tam dzieje w liczbach rzeczywistych.
To popatrzmy, wykorzystując posiadaną wiedzę. Zapiszmy pierwiastek trochę inaczej:

−4=

−1∗4
No i teraz patrzymy pod koniec poprzedniej strony i wykorzystamy, czemu tam równa się (-
1) :

−1∗4=

i
2
∗4
I rozpierdalamy na dwa pierwiastki (jak mamy mnożenie pod pierwiastkiem, to hulaj dusza,
piekła nie ma):

i
2
∗4=

i
2
∗

4
Tutaj traktujemy liczbę
i
jako nudną i zwykłą literkę pod pierwiastkiem, jak np.
n
w analizie
matematycznej w granicach. Zauważmy, że z pierwszego czynnika możliwe wyniki to
i
oraz –
i
(czemu? Podnieście sobie np.
n
i (–
n
) do kwadratu, też wyjdzie tylko i wyłącznie
n
2
), a z drugiego
możliwe to 2 i (– 2). Pomijając wszelkie logiczne rozwiązania i inne niemoralne sposoby
rozwiązań, wychodzi ostatecznie, że

i
2
∗4=2
i
lub

i
2
∗4=−2
i
Czyli pierwiastek z liczby:

−4
jest równy: 2i lub (-2i).
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Algebra liniowa/Liczby zespolone
3/16
Warto zapamiętać sobie taki wzorek:

−
a
=
a i
lub

−
a
=−
ai
Gdzie
a
jest czymkolwiek rzeczywistym.
I tym sposobem, proszę ja was, dzięki powyższemu wzorkowi oraz takiej zależności:
i
2
= – 1
właściwie mamy załatwione całe liczenie liczb zespolonych w tej normalnej, algebraicznej
postaci.
Przykłady:
a) dodaj do siebie liczby z1 = 5 + 3i; oraz liczbę z2 = 6 + i.
Nic prostszego. Przy dodawaniu (jak i przy odejmowaniu) po prostu liczymy osobno to, co
stoi przy tym jebniętym
i
i to, co stoi przy reszcie.
Z3 = z1 + z2 = (5 + 3i) + (6 + i) = 5 + 6 + 3i + i = 11 + 4i
I wsio. Zabawa zaczyna się przy mnożeniu.
b) pomnóż przez siebie te same liczby.
I tutaj również nie ma wielkiej filozofii. Wymnażamy nawiasy tak, jak Bóg nakazał (każdy
element pierwszego nawiasu z każdym elementem drugiego), czyli:
z3 = z1 * z2 = (5 + 3i) * (6 + i)
(5 + 3i) * (6 + i) = 30 + 5i + 18i + 3i
2
= 30 + 23i + 3i
2
pamiętamy, że i
2
= (– 1), więc:
30 + 23i + 3i
2
= 30 + 23i + 3 * (-1) = 30 + 23 i – 3 = 27 + 23 i
To jest nasz ostateczny wynik. Dobrze, dobrze... ale nie beznadziejnie.
2. Liczba zespolona – sprzężenie, moduł
Liczba zespolona ma takie swoje dwie charakterystyczne, wypluj to słowo, funkcje.
Pierwsza z nich to:
Re(z)
Oraz druga:
Im(z)
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Algebra liniowa/Liczby zespolone
4/16
Funkcja Re(z) ma taką specyfikację (sygnaturę):
Re: C R
gdzie C oznacza zbiór liczb zespolonych, a R – zbiór liczb rzeczywistych.
Co robi ta funkcja? Wrzucamy do niej liczbę zespoloną, a ona w zamian „wypluwa” nam to,
co jest w niej częścią rzeczywistą.
Na przykład, mamy liczbę 3 + 2i. Funkcja Re(3 + 2i) wypluje nam po prostu liczbę 3.
Podobnie przy -10 + 25i funkcja Re(-10 + 25i) wypluje nam -10.
Funkcja Im(z) ma taką specyfikację:
Im: C R
gdzie C oznacza zbiór liczb zespolonych, a R – zbiór liczb rzeczywistych.
Można się domyślić. Wrzucamy do funkcji liczbę zespoloną, a w zamian dostajemy to, co
stoi przy części urojonej. Czyli po prostu to, co stoi przy liczbie i. Kilka już czystych
przykładzików:
Im(3 + 2i) = 2
Im(-10 + 25i) = 25
Jeżeli nie chcecie, by coś złego wylazło z tej ściągi, nie czytajcie tego akapitu. Ponieważ
zbiór liczb zespolonych jest nadzbiorem liczb rzeczywistych (liczby rzeczywiste „mieszczą” się w
zbiorze liczb zespolonych), więc w powyższe funkcje możemy wrzucać nawet liczby rzeczywiste
(fani teorii mnogości się ucieszą, a szaleni programiści się nieludzko uśmiechną, widząc zatajony
polimorfizm).
Pierwszy nietypowy przykład:
Re(i)
Co zrobić z takim fantem? Jak do rozgłośni radiowej w Toruniu możemy wysyłać kwoty
bliskie zeru (i tym samym narażać rozgłośnię na koszty transportu), to i tutaj dodajmy sobie zero:
Re( 0 + i )
No co? Przecież to normalna, spokojna, miła i cicha liczba zespolona z = 0 + i. Czyli, jak się
domyślacie, wynik brzmi:
Re( 0 + i ) = 0
Tak na marginesie, liczbę, która nie ma nic rzeczywistego, a tylko jakieś śmieci przy
i
,
nazywamy liczbą
czysto urojoną
. Co oddaje dobrze atmosferę tej całej, błe, algebry.
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Algebra liniowa/Liczby zespolone
5/16
Analogicznie wygląda sprawa z takim przypadkiem:
Im(666)
Ponownie, powyższą liczbę rzeczywistą:
666
zapiszę sobie w postaci liczby zespolonej (nic tu, broń Boże nie zmieniam, więc mogę):
666 + 0 * i
Czyli:
Im (666) = Im(666 + 0 * i) = 0
Liczba zespolona ma też takie cudo, jak sprzężenie, które fachowo się tak zapisuje:
Jeżeli z
=
a

bi


z
=
a
−
bi
Liczba sprzężona do danej liczby zespolonej jest po prostu jakąś tam liczbą zespoloną, która
ma tylko zmieniony znaczek przy
i
. Na przykład:
z
=58
i
to:

z
=5−8
i
A jeżeli:
z
=5−8
i
to:

z
=58
i
Zboczeńcy, znający algebrę Boola, ucieszą się z tych kreseczek nad literą z, bo, jak widać,
podwójne sprzężenie, niczym podwójna negacja... tak – chuja robi. A sama znajomość znajdowania
liczb sprzężonych do danej (jak widać – nie jest to specjalnie trudne) będzie przydatna przy
znajdowaniu pierwiastków równania, korzystając z ogólnego twierdzenia algebry... cokolwiek to
znaczy.
Teraz przechodzimy niemal do „meritum” liczb zespolonych, czyli – modułu z liczby
zespolonej, co prowadzi w konsekwencji do raka płuc, impotencji i postaci trygonometrycznej.
Moduł liczby zespolonej liczymy z takiego wzorku:
∣
z
∣=

x
2

y
2
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
  [ Pobierz całość w formacie PDF ]