Algebra

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1 Powtórzenie z algebry - pojecia
1. Algebra macierzy: dodawanie, mnozenie, transponowanie
2. Własnosci wyznacznika macierzy
3. Formy kwadratowe, definicja dodatniej okreslonosci
4. Definicja sladu - własnosci sladu
5. Definicja macierzy idempotentnej
6. Dowód, ze pierwiastki własne dla dowolnej macierzy idempotentnej
M
s a równe
0
lub
1
i rz ad tej macierzy
tr(M)
.
7. (*) Pojecie rzutu prostopadłego wektora w przestrze n, pojecie wektora ortogonal-
nego
8. (*) Interpretacje macierzy
P
i
M
jako macierzy rzutów
1.1 Zadania
1. Mamy macierze
2
3
·
121
131
¸
23
11
23
A=
;
B=
4
5
Policzyc
2A
;
B
0
,
A+B
0
;
AB
,
j
AB
j
. Wyjasnic dlaczego nie mozna policzyc
AB
0
i
A+B
2. Mamy dwie macierz kwadratowe
·
12
24
¸
·
12
41
¸
A=
;
B=
Pokazac, ze macierz
A
jest macierz a symetryczna. Pokaz, ze
AB
6
=BA
. Udowod-
nij, ze macierze
A
i
AB
s a osobliwe.
3. Rozwin ac (załózmy, ze
A
i
B
s a odwracalne):
(A+B)(C+D)
0
;
(AB)
¡
1
B
¡
1
;
(BA)
¡
1
B
¡
1
;
A(A+B)
¡
1
,
j
AB
j
4. Pokazac, ze dla dowolnego odwracalnego
A
,
(A
¡
1
)
0
=(A
0
)
¡
1
5. Pokazac (z definicji), ze macierz
X
0
X
jest nieujemnie okreslona
1
6. Pokazac (z definicji liniowej niezaleznosci), ze macierz
X
0
X
jest nieosobliwa jesli
kolumny macierzy
X
s a liniowo niezalezne
7. (*) Udowodnic, ze
X
0
X
jest dodatnio okreslona to
(X
0
X)
¡
1
jest tez dodatnio
okreslona (skorzystaj z dekompozycji spektralnej macierzy symetrycznej)
2
11
1
¡
2
11
3
8. (*) Mamy macierz
A=
4
5
;
znajdz macierz idempotentn a
A
?
ortog-
2
3
1
2
3
onaln a do tej macierzy. Dla wektora
x=
4
5
;
znalez taki wektor
v
, ze
x=Av+A
?
x
. Pokaz, ze kwadrat długosci wektora
x
jest równy sumie dłu-
gosci wektorów
Av
i
A
?
x
. Udowodnij, ze nie istnieje taki wektor
z
dla którego
długosc wektora
x
¡
Az
byłaby mniejsza niz długosc wektora
x
¡
Av
9. Udowodnij, ze dla macierzy
A
i
B
o odpowiednich wymiarach
(AB)
0
=B
0
A
0
10. Udowodnij, ze dla sladu macierzy prawd a jest, ze
tr(A+B)=tr(A)+tr(B)
;
tr(AB)=tr(BA)
11. Pokaz, ze dla idempotentnego
P
,
M=I
¡
P
jest takze idempotentne oraz, ze
MA=0
12. Pokaz, ze macierz
P
dla dowolnego
A
takiego, ze
A
0
A
jest nieosobliwe
P=A(A
0
A)
¡
1
A
0
jest idempotentna.
13. Udowodnij, ze macierz
M=I
¡n
¡
1
ll
0
jest macierz a idempotentn a rzedu
n¡
1
oraz
l
0
M=0
.
l
jest
n
wymiarowym wektorem jedynek. Policzyc
tr(M)
.
2 Analiza matematyczna - pojecia
1. Pojecie pochodnej funkcji skalarnej i wektorowej liczonej wzgledem wektora
zmiennych
2. Pokazac, ze dla wektorów kolumnowych
a
i
¯
mamy
@
a
0
¯
@¯
=a
i
@
a
0
¯
@¯
0
=a
0
3. Pokazac, ze
@
A
¯
@¯
=A
4. Pokazac, ze
@¯
0
A
¯
2
@¯
0
=A
i
@¯
0
A
@¯
0
=2A
¯
5. Jaki wartosc powinien przyjmowac gradient ci agłej i rózniczkowalnej funkcji
f
(
¯
)
w punkcie
¯
¤
, aby
¯
¤
mogło byc punktem, w którym funkcja przyjmuje
maksimum
6. Jak a chrakterystyczn a ceche ma macierz drugich pochodnych?
7. Jak mozna rozpoznac na podstawie własnosci macierzy drugich pochodnych, ze
ekstremum funkcji wielu zmiennych jest maksiumum?
2.1 Analiza matematyczna - Zadania
1. Znalezc gradient i Hessian dla funkcji
y
=2
x
2
1
+3
x
2
2
+5
x
1
x
2
¡
4
:
Znalezc
ekstremum tej funkcji i okresl jego typ.
2. Znalezc ekstremum funkcji
y
=
x
2
1
+4
x
2
2
+
x
1
x
2
¡
1
i okreslic jego typ. Znalezc
ekstremum tej samej funkcji przy warunku pobocznym
x
2
¡
2
x
1
=1
posługu-
j ac sie funkcj a Lagrange i wstawiaj ac ograniczenia bezposrednio do funkcji celu.
Porównac wielkosc funkcji celu w ekstremum w przypadku istnienia warunku
pobocznego i w przypadku braku tego warunku.
3. Znaleziono maksima
g
¤
=max
x
1
;x
2
g
(
x
1
;x
2
)
i
g
¤¤
=max
x
1
g
(
x
1
;
0)
. Jak sie maj a do
siebie
g
¤
i
g
¤¤
?
4. Znaleziono maksima z ograniczeniami (warunkami pobocznymi)
g
¤
=max
x
1
;x
2
g
(x)
s.t.
H(x)=0
i maksimum bez ogranicze n
g
¤¤
=max
x
1
;x
2
g
(x)
. Jak sie maj a do
siebie
g
¤
i
g
¤¤
?
g
(x)
s.t.
H(x)>0
, przy
czym okazało sie, ze
i
-ty wiersz macierzy
H(x)
w punkcie maksimum jest wiek-
szy od zera (
H
i
(x
¤
)
>
0
). Jaka jest wartosc mnoznika Lagrangre’a dla
i
-tego
ograniczenia w tym zadaniu?
3
5. Znaleziono maksimum z ograniczeniami
g
¤
=max
x
1
;x
2
[ Pobierz całość w formacie PDF ]