Algebra liniowa teoria

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->MACIERZEa11a21=a31Kam1a12a22a32Kam2a13a23a33Kam3Ka1nKa2nKa3n,K KKamnMacierz:A=aij[ ]ij−numer wiersza, 1≤i≤n−numer kolumny,1≤j≤mliczba wierszyliczba kolumnm×nm−n−1 0 0 0 00 1 0 0 0I=0 0 1 0 0Macierz jednostkowa:M K K O M0 0 0 0 1(tylko dla macierzy kwadratowych)1 1 1 1 11 1 1 1 1Macierz jedynkowa:E=1 1 1 1 1M K K O M1 1 1 1 1Macierz transponowana:a11a21a12a22AT=aij n×m=a13a23K Ka1na2na31Kam1a32Kam2a33Kam3K K Ka3nKamnMacierz kwadratowa:m=n(liczba wierszy = liczba kolumn)Macierz symetryczna:1≤i≤n1≤j≤n∀aij=aji[ ](tylko dla macierzy kwadratowych)DZIAŁANIA NA MACIERZACHA=aijDodawanie:C=A+B,C=cij[ ]m×n,B=bij[ ]m×nm×n,i=1,K,m,j=1,K,nOdejmowanie:C=A−B,C=cij[ ]m×n,cij=aij+bij[ ]m×n,cij=aij−bijMnożenie macierzy przez stałą:α⋅A=α⋅aij[]Mnożenie macierzy:Am×n⋅Bn×k=Cm×k,cij=ai1⋅b1j+ai2⋅b2j+ai3⋅b3j+K+ain⋅bnj,i=1,K,m,j=1,K,k(każdy wiersz pierwszej macierzy mnożony jest skalarnie przez każdą kolumnę drugiej macierzy)WYZNACZNIK MACIERZY(tylko dla macierzy kwadratowych)π-permutacja zbioru liczb{,2,K,n}1Definicja:detA=π=i1,i2,K,in∑(−1)(π)a()I1,i1a2,i2Kan,inI(π)- liczba inwersji w permutacjiπSumowanie po wszystkich permutacjach zbioru{,2,K,n}.1Wyznacznik stopnia drugiego:detA=a11a21a12=a11a22−a12a21a22Metoda Sarrusa:(tylko dla wyznaczników stopnia trzeciego)a11a12a13detA=a21a22a23=a11a22a33+a12a23a31+a21a32a13−a13a22a31−a12a21a33−a23a32a11a31a32a33MACIERZERozwinięcie Laplace’a:wyznacznik - suma iloczynów elementów wybranego wiersza lub kolumny przez ichdopełnienie algebraiczne.Minor elementuaij:Mij- wyznacznik macierzy otrzymanej po wykreśleniui-tego wiersza ij-tej kolumnyDopełnienie algebraiczne elementuaij:Macierz odwrotna:A−1defdij=(−1)Własności wyznaczników:••••i+j⋅Mij=1dijdetA[ ]T•Zamiana miejscami dwóch sąsiednich kolumn lub wierszy zmienia znak wyznacznika, nie zmieniając jego wartościbezwzględnej.Jeśli dwa wiersze lub dwie kolumny macierzy są proporcjonalne (np. są równe), wyznacznik ma wartość zero.Jeśli jakiś wiersz jest kombinacją liniową innych wierszy (np. wiersz składa się tylko z zer), wyznacznik ma wartość zero.To samo dotyczy kolumn.Pomnożenie dowolnej kolumny lub dowolnego wiersza przez stałą mnoży przez tę samą stałą wartość wyznacznika.Dodając lub odejmując od dowolnego wiersza/kolumny inny wiersz/kolumnę lub kombinacje liniowe innychwierszy/kolumn nie zmieniamy wartości wyznacznika.RządniezerowejmacierzyAm×nRZĄD MACIERZY- najwyższy stopień(różny od zera) minora tej macierzy.RządniezerowejmacierzyAm×n=liczba liniowo niezależnych wierszy lub kolumn tej macierzy.Własności rzędów:rzAm×n≤min(m,n)•••••Zamiana miejscami dwóch dowolnych kolumn lub wierszy nie zmienia rzędu macierzy.Jeśli dwa wiersze lub dwie kolumny macierzy są proporcjonalne (np. są równe), to ten wiersz lub kolumna nie wpływa narząd macierzy (można wykreślić).Jeśli jakiś wiersz jest kombinacją liniową innych wierszy (np. wiersz składa się tylko z zer), to ten wiersz nie wpływa narząd macierzy (można wykreślić). To samo dotyczy kolumn.Pomnożenie dowolnej kolumny lub dowolnego wiersza przez stałą nie wpływa na rząd macierzy.Dodając lub odejmując od dowolnego wiersza/kolumny inny wiersz/kolumnę lub kombinacje liniowe innychwierszy/kolumn nie zmieniamy rzędu macierzy.UKŁAD RÓWNAŃ LINIOWYCHPostać macierzowa:Ax=ba11x1+a12x2+K+a1nxn=b1a11a12Ka1nx1b1a x+a x+K+a x=baxb21 122 22n n2a22Ka2n212,x=,b=2A=...............................................K K K KMMam1x1+am2x2+K+amnxn=bm  am1am2KamnxnbnTwierdzenie Cramera(tylko dla układów, gdym=n):WxidetA≠,xi=.detAWxi- wyznacznik macierzy, która powstaje z macierzyApo zastąpieniui-tej kolumny wektorem wyrazówwolnychb.Twierdzenie Kroneckera-Capellego:1. JeżelirzA=rzUil.n−rzU≠, to układ jest zależny (odl.n−rzAparametrów).2. JeżelirzA=rzUil.n−rzA=0 , to układ jest niezależny.3. JeżelirzA≠rzU, to układ jest sprzeczny.U- uzupełniona macierzAo wektor wyrazów wolnychb,l.n- liczba niewiadomych. [ Pobierz całość w formacie PDF ]