Algebra abstrakcyjna Przyklady

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Algebraabstrakcyjna
Przyk“ady
1.NiechbÆ’dziedanyzbi
ó
rG = (2;1)idzia“anieokre–lonewzorem
ab = ab 2a 2b + 6; a;b 2 G:
Sprawdzi¢,czyzbi
ó
rGwrazztymdzia“aniemstanowigrupƒabelow¡.
Rozwi¡zanie
Najpierwmusimysprawdzi¢,czydzia“aniejestdzia“aniemwewnƒtrznym.Wtymcelu
zauwa»my,»e
ab 2a 2b + 6 = (a 2) (b 2) + 2:
Je–lia > 2ib > 2,to(a 2) (b 2) > 0.Wynikast¡d,»e
ab = ab 2a 2b + 6 = (a 2) (b 2) + 2 > 2:
Widzimywiƒc,»eje–lia;b 2 G,toa b 2 G,cooznacza,»edzia“aniejestdzia“aniem
wewnÆ’trznymwzbiorzeG:
Sprawdzimyteraz“¡czno–¢dzia“ania :Niecha;b;cbƒd¡dowolnymielementamizbioru
G:W
ó
wczas
(ab) c = (ab 2a 2b + 6) c = (ab 2a 2b + 6) c 2 (ab 2a 2b + 6) 2c + 6 =
= abc 2ab 2ac 2bc + 4a + 4b + 4c 6;
a (bc) = a (bc 2b 2c + 6) = a (bc 2b 2c + 6) 2a 2 (bc 2b 2c + 6) + 6 =
= abc 2ab 2ac 2bc + 4a + 4b + 4c 6:
Zpowy»szychrachunk
ó
wwynika,»e(ab) c = a (bc).Zatemdzia“aniejest“¡czne.
Poka»emyteraz,»enaszedzia“aniejestprzemienne.Niecha;bbƒd¡dowolnymielementami
zbioruG:W
ó
wczas
ab = ab 2a 2b + 6 = ba 2b 2a + 6 = ba:
Dzia“aniejestwiƒcprzemienne.
Znajdziemyterazelementneutralnydzia“ania :Dzia“aniejestprzemienne,zatem
wystarczyznale„¢niewiadom¡ezr
ó
wnania
ae = a; a 2 G:
Zde
nicjinaszegodzia“aniawynika,»e
ae 2a 2e + 6 = a:
1
Rozwi¡zuj¡cpowy»szer
ó
wnanieotrzymujemye = 3:Liczba3jestelementemzbioruG;co
oznacza,»ee = 3jestelementemneutralnymdzia“ania :
Pozosta“ojeszczesprawdzenieistnieniaelementuodwrotnegodlaka»degoelementuzbioru
G:Niecha 2 G.Dzia“aniejestprzemienne,zatemwystarczyznale„¢niewiadom¡bz
r
ó
wnaniaab = 3.Zde
nicjinaszegodzia“aniawynika,»e
ab 2a 2b + 6 = 3:
Powykonaniuodpowiednichrachunk
ó
wotrzymujemyb =
2a 3
a 2
:Nale»yjeszczesprawdzi¢,
a 2
jestelementemzbioruG;czyliczy
2a 3
a 2
> 2:Poniewa»a > 2;toa2 > 0:St¡d
2a3 > 2 (a 2) :Codajeprawdziw¡nier
ó
wno–¢3 > 4.Elementaposiadazatemelement
odwrotnya
1
=
2a 3
a 2
:
Odpowied„.Zbi
ó
rGwrazzdzia“aniemstanowigrupƒabelow¡.
2.Pokaza¢,»egrupazzadania1jestizomor
cznazgrup¡multiplikatywn¡liczbtrzeczywistych
dodatnichR
+
:
Rozwi¡zanie
Wyka»emy,»eodwzorowanie'danewzorem
' (x) = x 2; x 2 (2;1)
jestszukanymizomor
zmem.
Sprawd„mynajpierwwarunekhomomor
zmu.
' (ab) = (ab 2a 2b + 6) 2 = ab 2a 2b + 4 = (a 2) (b 2) = ' (a) ' (b) :
Widzimy,»ewarunekhomomor
zmujestspe“niony.
Odwzorowanie'jestr
ó
»nowarto–ciowe,gdy»je–li ' (a) = ' (b) ;toa2 = b2;awiƒc
a = b:
Odwzorowanie'odwzorowujezbi
ó
r(2;1)nazbi
ó
rliczbrzeczywistychdodatnichR
+
:
Rzeczywi–cie,niechcbƒdziedowolnaliczb¡rzeczywist¡dodatni¡.Musimypokaza¢,»edla
liczbycistniejeliczbaa 2 (2;1)taka,»e' (a) = c:Po“
ó
»mya = c + 2:W
ó
wczas' (a) =
' (c + 2) = (c + 2)2 = c:Czyliistotnie,dladowolnejliczbyc 2 R
+
istniejeliczbaa 2 (2;1)
taka,»e' (a) = c:
Odpowiedniewarunkis¡spe“nione.Zatemgrupazzadania1jestizomor
cznazgrup¡
multiplikatywn¡liczbtrzeczywistychdodatnichR
+
:
2
czy
2a 3
3.Zbada¢,czyzbi
ó
rA =
a + b
p
2 : a;b 2 Qnf0g
wrazzezwyk“ymmno»eniemstanowipod-
grupÆ’grupymultiplikatywnejliczbrzeczywistych.
Rozwi¡zanie
Sprawdzimy,czydlaelement
ó
wx;y 2 A,elementxy
1
2 A:Niech x = a + b
p
2,
xy
1
=
a + b
p
2
c + d
p
2
1
=
a + b
p
2
c + d
p
2
=
a + b
p
2
cd
p
2
=
c
2
2d
2
ac 2bd + (ad + bc)
p
2
c
2
2d
2
=
=
ac 2bd
c
2
2d
2
+
ad + bc
c
2
2d
2
p
2:
Zauwa»my,»e c
2
2d
2
6= 0.Bogdybyc
2
2d
2
= 0; toc
2
= 2d
2
iwtedyc = d
p
2.
Tojednakjestniemo»liweponiewa»cjestliczb¡wymiern¡.Poniewa»iloczynyisumyliczb
wymiernychs¡liczbamiwymiernymi,wiƒcelement
xy
1
=
ac 2bd
c
2
2d
2
+
ad + bc
c
2
2d
2
p
2
jestelementemzbioruA.Waruneknato,byzbi
ó
rAstanowi“podgrupƒgrupymultiplikatywnej
liczbrzeczywistychjestzatemspe“niony.
Odpowied„.Zbi
ó
rAstanowipodgrupÆ’grupymultiplikatywnejliczbrzeczywistych.
4.Pokaza¢,»ezbi
ó
rG = f0; 1; 2;:::;n 1gwrazzdzia“aniem+
n
(dodawaniemmodulon)
stanowigrupƒabelow¡.
Rozwi¡zanie
Przysprawdzaniu“¡czno–cidzia“aniaprzydatnybƒdziewz
ó
r
r
n
(a + b) = r
n
(r
n
a + b) = r
n
(a + r
n
b) ; a;b 2 Z: ()
Symbolr
n
aoznaczaresztƒpowsta“aprzydzieleniuliczbyca“kowitaj aprzydzieleniuprzez
liczbƒnaturaln¡n.
Przypomnijmyde
nicjÆ’dodawaniamodulon: a +
n
b = r
n
(a + b) ; a;b 2 Z:
Sprawdzimyteraz,czyspe“niones¡wszystkieaksjomatygrupyabelowej.
Dzia“anie+
n
jestdzia“aniemwewnƒtrznymwzbiorzeG,gdy»resztazdzielenialiczby
ca“kowitejprzezliczbƒnaturaln¡njestjednymzelement
ó
wzbioruG.
Sprawdzimyteraz“¡czno–¢dzia“ania+
n
:Niecha;b;cbƒd¡dowolnymielementamizbioru
G:W
ó
wczaskorzystaj¡czewzoru()otrzymujemy
(a +
n
b) +
n
c = r
n
(a + b) +
n
c = r
n
(r
n
(a + b) + c) = r
n
(a + b + c) ;
a +
n
(b +
n
c) = a +
n
r
n
(b + c) = r
n
(a + r
n
(b + c)) = r
n
(a + b + c) :
3
y = c + d
p
2; a;b;c;d 2 a;b 2 Qnf0g:Policzmy
 Zpowy»szychrachunk
ó
wwynika,»e(a +
n
b) +
n
c = a +
n
(b +
n
c).Zatemdzia“anie +
n
jest
“¡czne.
Przemienno–¢dodawania+
n
wynikazprzemienno–cizwyk“egododawaniawzbiorzeliczb
ca“kowitych.Rzeczywi–cie,niecha;bbƒd¡dowolnymielementamizbioruG:W
ó
wczas
a +
n
b = r
n
(a + b) = r
n
(b + a) = b +
n
a:
Dzia“anie+
n
jestwiÆ’cprzemienne.
Poka»emyteraz,»eliczba0jestelementemneutralnymnaszegodzia“ania.Zprzemien-
no–cinaszegodzia“aniaide
nicjielementuneutralnegowynika,»eelementneutralnymo»na
znale„¢rozwi¡zuj¡cr
ó
wnaniepostaci a +
n
e = a,gdzieejestniewiadom¡.Zde
nicji
dzia“ania +
n
otrzymujemy a +
n
e = r
n
(a + e) = a.Liczba a + enale»ydozbioru
f0; 1; 2;:::;n 1;n;:::; 2n 2;g:Rozwa»mydwaprzypadki:
1
o
gdya + e 2f0; 1; 2;:::;n 1g,wtedyr
n
(a + e) = a + e = a ist¡dotrzymujemye = 0,
2
o
gdya+e 2fn;:::; 2n 2;g,wtedyr
n
(a + e) = a+en = a ist¡dotrzymujemye = n:
Przypadekdrugijestsprzeczny,gdy»liczban 2 G:Zatemelementneutralnye = 0:
Nale»yjeszczeznale„¢elementprzeciwnydodowolnegoelementua 2 G:Zprzemienno–ci
naszegodzia“aniaide
nicjielementuprzeciwnegododanegoelementuawynika,»ewystarczy
rozwi¡za¢r
ó
wnaniepostaci a +
n
b = e,gdziebjestniewiadom¡.Alea +
n
b = r
n
(a + b) = e.
Liczbaa+bnale»ydozbioruf0; 1; 2;:::;n 1;n;:::; 2n 2;g:Musimyzatemzn
ó
wrozwa»y¢
dwaprzypadki:
1
o
gdya + b 2f0; 1; 2;:::;n 1g,wtedyr
n
(a + b) = a + b = 0 ist¡dotrzymujemya = b,
2
o
gdya + b 2fn;:::; 2n 2;g,wtedyr
n
(a + e) = a + bn = 0 ist¡dotrzymujemy
b = na:
Jedyn¡liczb¡nale»¡c¡dozbioruGdlakt
ó
rejjestspe“nionywaruneka = bzprzypadku1
o
jestliczba0:Zatemwtymprzypadkua = b = 0ist¡delementemprzeciwnymdoliczby0jest
tasamaliczba0:Z2
o
wynikanatomiast,»eje–liliczbaa 6= 0,toelementdoniejprzeciwnyb
maposta¢b = na.
4
[ Pobierz całość w formacie PDF ]