Algebra abstrakcyjna - przykłady

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Algebraabstrakcyjna
Przykłady
1. Sama liczba0tworzy grup¦ (rz¦du 1) ze wzgl¦du na zwykłe dodawanie, równie»
liczba1tworzy grup¦ (rz¦du 1) ze wzgl¦du na zwykłe mno»enie.
2. Liczby1i 1stanowi¡ grup¡ abelow¡ dwuelementow¡ (rz¦du 2) ze wzgl¦du na
zwykłe mno»enie.
3. Zbiór liczb zespolonych f1;1;i;ig stanowi grup¦ abelow¡ rz¦du4ze wzgl¦du na
mno»enie zespolone.
4. Zbiór przekształce« trójk¡ta równobocznego na siebie, składaj¡cy si¦ z trzech jego
obrotów ( o k¡ty0
0
,120
0
;240
0
) i trzech symetrii wzgl¦dem jego wysoko±ci tworzy
grup¦ wzgl¦dem składania (superpozycji) tych przekształce«. Elementem neutral-
nym jest tu obrót o k¡t0: Elementem odwrotnym do obrotu o k¡t jest k¡t360
0
,
elementem odwrotnym do ka»dej symetrii jest ta sama symetria. Składanie przek-
ształce« jest działaniem ł¡cznym.
5. Niech b¦dzie dany zbiór G=(2;1)i działanie okre±lone wzorem
ab=ab2a2b+6; a;b 2 G:
Sprawdzi¢, czy zbiór G wraz z tym działaniem stanowi grup¦ abelow¡.
Rozwi¡zanie
Najpierw musimy sprawdzi¢, czy działanie jest działaniemwewn¦trznym. W
tym celu zauwa»my, »e
ab2a2b+6=(a2)(b2)+2:
Je±li a >2i b >2, to(a2)(b2)>0. Wynika st¡d, »e
ab=ab2a2b+6=(a2)(b2)+2>2:
Widzimy wi¦c, »e je±li a;b 2 G, to a b 2 G, co oznacza, »e działanie jest
działaniem wewn¦trznym w zbiorze G:
Sprawdzimy terazł¡czno±¢działania : Niech a;b;c b¦d¡ dowolnymi elementami
zbioru G: Wówczas
(ab)c=(ab2a2b+6)c=(ab2a2b+6)c2(ab2a2b+6)2c+6=
=abc2ab2ac2bc+4a+4b+4c6;
a(bc)=a(bc2b2c+6)=a(bc2b2c+6)2a2(bc2b2c+6)+6=
=abc2ab2ac2bc+4a+4b+4c6:
1
Z powy»szych rachunków wynika, »e(ab)c=a(bc). Zatem działanie jest
ł¡czne.
Poka»emy teraz, »e nasze działanie jestprzemienne. Niech a;b b¦d¡ dowolnymi
elementami zbioru G: Wówczas
ab=ab2a2b+6=ba2b2a+6=ba:
Działanie jest wi¦c przemienne.
Znajdziemy terazelementneutralnydziałania : Działanie jest przemienne,
zatem wystarczy znale¹¢ niewiadom¡ e z równania
ae=a; a 2 G:
Z definicji naszego działania wynika, »e
ae2a2e+6=a:
Rozwi¡zuj¡c powy»sze równanie otrzymujemy e=3: Liczba3jest elementem zbioru
G; co oznacza, »e e=3jest elementem neutralnym działania :
Pozostało jeszcze sprawdzenie istnienia elementuodwrotnegodla ka»dego ele-
mentu zbioru G: Niech a 2 G. Działanie jest przemienne, zatem wystarczy
znale¹¢ niewiadom¡ b z równania ab=3. Z definicji naszego działania wynika,
»e
ab2a2b+6=3:
Po wykonaniu odpowiednich rachunków otrzymujemy b=
2a3
a2
: Nale»y jeszcze
sprawdzi¢, czy
2a3
a2
jest elementem zbioru G; czyli czy
2a3
a2
>2: Poniewa»
a >2; to a2>0: St¡d2a3>2(a2): Co daje prawdziw¡
nierówno±¢ 3> 4. Element a posiada zatem element odwrotny a
1
=
2a3
a2
:
Odpowied¹. Zbiór G wraz z działaniem stanowi grup¦ abelow¡.
2:a;b 2Qnf0g
wraz ze zwykłym mno»eniem
stanowi podgrup¦ grupy multiplikatywnej liczb rzeczywistych.
p
Rozwi¡zanie
Sprawdzimy, czy dla elementów x;y 2 A, element xy
1
2 A: Niech x=a+b
p
2,
y=c+d
p
2; a;b;c;d 2 a;b 2Qnf0g: Policzmy
xy
1
=
a+b
p
2
c+d
p
2
1
=
a+b
p
2
a+b
p
2
cd
p
2
c
2
2d
2
=
p
2
=
c+d
p
p
=
ac2bd+(ad+bc)
c
2
2d
2
=
ac2bd
2
c
2
2d
2
+
ad+bc
2:
c
2
2d
2
2
6. Zbada¢, czy zbiór A=
a+b
Zauwa»m
y
, »e c
2
2d
2
6=0. Bo gdyby c
2
2d
2
=0; to c
2
=2d
2
i wtedy
c=d
c
2
2d
2
+
ad+bc
p
2
c
2
2d
2
jest elementem zbioru A. Warunek na to, by zbiór A stanowił podgrup¦ grupy
multiplikatywnej liczb rzeczywistych jest zatem spełniony.
Odpowied¹.Zbiór A stanowi podgrup¦ grupy multiplikatywnej liczb rzeczywistych.
7. Pokaza¢, »e zbiór G=f0;1;2;:::;n1g wraz z działaniem+
n
(dodawaniem
modulo n) stanowi grup¦ abelow¡.
Rozwi¡zanie
Przy sprawdzaniu ł¡czno±ci działania przydatny b¦dzie wzór
r
n
(a+b)=r
n
(r
n
a+b)=r
n
(a+r
n
b); a;b 2Z:
()
Symbol r
n
a oznacza reszt¦ powstała przy dzieleniu liczby całkowitaj a przy dzieleniu
przez liczb¦ naturaln¡ n.
Przypomnijmy definicj¦ dodawania modulo n: a+
n
b=r
n
(a+b); a;b 2Z:
Sprawdzimy teraz, czy spełnione s¡ wszystkie aksjomaty grupy abelowej.
Działanie+
n
jest działaniemwewn¦trznymw zbiorze G , gdy» reszta z dzielenia
liczby całkowitej przez liczb¦ naturaln¡ n jest jednym z elementów zbioru G.
Sprawdzimy terazł¡czno±¢działania+
n
: Niech a;b;c b¦d¡ dowolnymi elemen-
tami zbioru G: Wówczas korzystaj¡c ze wzoru()otrzymujemy
(a+
n
b)+
n
c=r
n
(a+b)+
n
c=r
n
(r
n
(a+b)+c)=r
n
(a+b+c);
a+
n
(b+
n
c)=a+
n
r
n
(b+c)=r
n
(a+r
n
(b+c))=r
n
(a+b+c):
Z powy»szych rachunków wynika, »e(a+
n
b)+
n
c=a+
n
(b+
n
c). Zatem działanie
+
n
jest ł¡czne.
Przemienno±¢dodawania+
n
wynika z przemienno±ci zwykłego dodawania w
zbiorze liczb całkowitych. Rzeczywi±cie, niech a;b b¦d¡ dowolnymi elementami
zbioru G: Wówczas
a+
n
b=r
n
(a+b)=r
n
(b+a)=b+
n
a:
Działanie+
n
jest wi¦c przemienne.
Poka»emy teraz, »e liczba0jestelementemneutralnymnaszego działania. Z
przemienno±ci naszego działania i definicji elementu neutralnego wynika, »e element
neutralny mo»na znale¹¢ rozwi¡zuj¡c równanie postaci a+
n
e=a, gdzie e jest
3
p
2. To jednak jest niemo»liwe poniewa» c jest liczb¡ wymiern¡. Poniewa»
iloczyny i sumy liczb wymiernych s¡ liczbami wymiernymi, wi¦c element
xy
1
=
ac2bd
 niewiadom¡. Z definicji działania+
n
otrzymujemy a+
n
e=r
n
(a+e)=a. Liczba
a+e nale»y do zbioru f0;1;2;:::;n1;n;:::;2n2;g: Rozwa»my dwa przypadki:
1
o
gdy a+e 2f0;1;2;:::;n1g, wtedy r
n
(a+e)=a+e=a i st¡d otrzymujemy
e=0,
2
o
gdy a+e 2 fn;:::;2n2;g, wtedy r
n
(a+e)=a+e n=a i st¡d
otrzymujemy e=n:
Przypadek drugi jest sprzeczny, gdy» liczba n 2 G: Zatem element neutralny e=0:
Nale»y jeszcze znale¹¢elementprzeciwnydo dowolnego elementu a 2 G: Z przemi-
enno±ci naszego działania i definicji elementu przeciwnego do danego
elementu a wynika, »e wystarczy rozwi¡za¢ równanie postaci a+
n
b=e, gdzie
b jest niewiadom¡. Ale a+
n
b=r
n
(a+b)=e. Liczba a+b nale»y do zbioru
f0;1;2;:::;n1;n;:::;2n2;g: Musimy zatem znów rozwa»y¢ dwa przypadki:
1
o
gdy a+b 2f0;1;2;:::;n1g, wtedy r
n
(a+b)=a+b=0i st¡d otrzymujemy
a=b,
2
o
gdy a+b 2fn;:::;2n2;g, wtedy r
n
(a+e)=a+bn=0i st¡d otrzymujemy
b=na:
Jedyn¡ liczb¡ nale»¡c¡ do zbioru G dla której jest spełniony warunek a=b z
przypadku1
o
jest liczba0: Zatem w tym przypadku a=b=0i st¡d elementem
przeciwnym do liczby0jest ta sama liczba0: Z 2
o
wynika natomiast, »e je±li liczba
a 6=0, to element do niej przeciwny b ma posta¢ b=na.
8. Pokaza¢, zbiór F wszystkich funkcji rzeczywistych okre±lonych na przedziale ot-
wartym(0;5)i przyjmuj¡cych warto±¢0w punkcie1, wraz ze zwykłym dodawaniem
funkcji i mno»eniem funkcji stanowi pierscie« przemienny.
Rozwi¡zanie
Musimy sprawdzi¢, czy dodawanie funkcji ze zbioru F i mno»enie funkcji ze zbioru
F s¡ działaniamiwewn¦trznymiwzbiorzeF. Niech f;g 2 F. Wówczas f+g:
(0;5)!Ri (f+g)(1)=f(1)+g(1)=0+0=0; oraz f g:(0;5)!Ri
(f g)(1)=f(1)g(1)=00=0, co oznacza, »e f+g; f g 2F:
Dodawanie funkcji z F jestdziałaniemł¡cznym. Rzeczywi±cie, je±li f;g;h 2 F;
to dla dowolnego x 2(0;5); wykorzystuj¡c definicj¦ dodawania funkcji i ł¡czno±¢
dodawania liczb rzeczywistych, otrzymujemy
((f+g)+h)(x)=(f+g)(x)+h(x)=(f(x)+g(x))+h(x)=
=f(x)+(g(x)+h(x))=f(x)+(g+h)(x)=(f+(g+h))(x):
Co oznacza, »e dodawanie funkcji ze zbioru F jest działaniem ł¡cznym.
W analogiczny sposób dowodzi si¦ ł¡czno±ci mno»enia funkcji ze zbioru F: Podob-
nie dowodzi si¦przemienno±cidodawaniaimno»eniafunkcji ze zbioru F: Poka»emy
przemienno±¢ dodawania funkcji z F: Je±li f;g 2 F; to dla dowolnego x 2(0;5);
4
wykorzystuj¡c definicj¦ dodawania funkcji i przemienno±¢ dodawania liczb rzeczy-
wistych, otrzymujemy
(f+g)(x)=f(x)+g(x)=g(x)+f(x)=(g+f)(x):
Elementemzerowymjest tu funkcja O przyjmuj¡ca warto±¢0na przedziale
(0;5); gdy»
(O+f)(x)=O(x)+f(x)=0+f(x)=f(x) dla dowolnego x 2(0;5):
Elementemprzeciwnymdo funkcji f 2F jest funkcja f taka, »e(f)(x)=
f(x)dla x 2(0;5): Rzeczywi±cie,
(f+f)(x)=(f)(x)+f(x)=f(x)+f(x)=0=O(x):
Mno»eniejestrozdzielnewzgl¦demdodawania. Istotnie, je±li f;g;h 2 F; to dla
dowolnego x 2(0;5); wykorzystuj¡c definicje dodawania i mno»enia funkcji oraz
rozdzielno±¢ mno»enia wzgl¦dem dodawania dla liczb rzeczywistych, otrzymujemy
(f (g+h))(x)=f(x)(g+h)(x)=f(x)(g(x)+h(x))=
=f(x)g(x)+f(x)h(x)=(f g)(x)+(f h)(x)=((f g)+(f h))(x):
Zatem zbiór F wszystkich funkcji rzeczywistych okre±lonych na przedziale ot-
wartym(0;5)i przyjmuj¡cych warto±¢0w punkcie1, wraz ze zwykłym dodawaniem
funkcji i mno»eniem funkcji stanowi pier±cie« przemienny.
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]