Algebra - wykłady

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wykład1
Poj¦ciawst¦pne
B¦dziemyu»ywa¢,nast¦puj¡cychoznacze«:
N=
{
0
,
1
,
2
,
3
,...
}
-zbiórliczbnaturalnych,N
=N
\{
0
}
,
Z=
{
...,
−
3
,
−
2
,
−
1
,
0
,
1
,
2
,
3
,...
}
-zbiórliczbcałkowitych,
Q-zbiórliczbwymiernych,
R-zbiórliczbrzeczywistych.
Wy»ejwymienionezbioryspełniaj¡nast¦puj¡cerelacje:
N
Z
Q
R
Iloczynemkartezja«skim
zbiorów
X
i
Y
nazywamyzbiórzło»onyze
wszystkichpar(
x,y
),takich»e
x
2
X,y
2
Y
.Iloczynkartezja«skizbiorów
X
i
Y
oznaczamyprzez
X
×
Y
.Mamywi¦c:
X
×
Y
=
{
(
x,y
):
x
2
X,y
2
Y
}
Ogólniejje±li
X
1
,X
2
,...,X
n
s¡dowolnymizbioramitoiloczynemkartezja«-
skim
X
1
×
X
2
×···×
X
n
nazywamyzbiór:
X
1
×
X
2
×···×
X
n
=
{
(
x
1
,x
2
,...,x
n
):
x
i
2
X
i
,
1
¬
i
¬
n
}
Je±li
X
jestzbioremtoprzyjmujemyoznaczenie:
X
n
=
X
×
X
×
···×
X
| {z }
n
Uwaga1
Je±liXiYs¡zbioramisko«czonymii
|
X
|
=
k,
|
Y
|
=
ltomamy
|
X
×
Y
|
=
kloraz
|
X
n
|
=
k
n
.
Odwzorowanie
f
zbioru
A
wzbiór
B
nazywamy
funkcj¡
je±lika»demu
elementowizbioru
A
przyporz¡dkowanyjestdokładniejedenelementzbioru
B
ipiszemysymbolicznie:
f
:
A
!
B
lub
A
f
!
B
Zbiór
A
nazywamydziedzin¡funkcji,azbiór
B
zbioremwarto±ci.Je±li
A
i
B
s¡dowolnymizbioramitoprzez
B
A
oznaczamyzbiórwszystkichfunkcji
przekształcaj¡cychzbiór
A
wzbiór
B
:
B
A
=
{
f
:
A
f
!
B
}
1
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
Przykład
Niech
X
=
{
1
,
2
}
.Wtedy
X
X
jestzbioremfunkcjiprzekształca-
j¡cych
X
w
X
.Zbiór
X
X
składasi¦znast¦puj¡cychfunkcji:
f
1
:
1
!
1
2
!
2
,f
2
:
1
!
2
2
!
1
,f
3
:
1
!
1
2
!
1
,f
4
:
1
!
2
2
!
2
.
Wprzypadkugdy
X
jestzbioremsko«czonym,składaj¡cymsi¦zelemen-
tów
x
1
,x
2
,...,x
n
,tofunkcj¦
f
2
X
X
mo»emyzapisa¢wpostaci:
x
1
x
2
... x
n
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
...f
(
x
n
)
!
Dla
X
=
{
1
,
2
}
mamy:
(
!
!
!
!)
12
12
12
21
12
11
12
22
X
X
=
f
1
=
,f
2
=
,f
3
=
,f
4
=
.
Je±li
X
jestdowolnymzbioremtoprzez2
X
oznaczamyrodzin¦wszystkich
podzbiorówzbioru
X
.Mamywi¦c
A
2
2
X
()
A
X
.
Przykład
Niech
X
=
{
1
,
2
,
3
}
.Wtedymamy
2
X
=
{
?
,
{
1
}
,
{
2
}
,
{
3
}
,
{
1
,
2
}
,
{
1
,
3
}
,
{
2
,
3
}
,
{
1
,
2
,
3
}}
.
Twierdzenie1
Je±liXjestzbioremsko«czonymi
|
X
|
=
nto
|
2
X
|
=2
n
.
Dowód
Zbiór
X
jestsko«czonyima
n
elementów,wi¦c
X
=
{
x
1
,x
2
,...,x
n
}
.
Ka»dypodzbiórwi¡»esi¦zwyborempewnychjegoelementów,awi¦cpew-
nychnumerów.Mo»emywi¦cokre±li¢odwzorowanie:
:2
X
!{
0
,
1
}
n
podzbiorówzbioru
X
wzbiórwszystkich
n
-elementowychci¡gówzero-jedyn-
kowych.Je±li
A
jestpodzbioremzbioru
X
toprzyporz¡dkowujemymuci¡g
(
a
1
,a
2
,...,a
n
)taki,»e
(
1je±li
x
i
2
A
0je±li
x
i
62
A.
a
i
=
Naprzykład:
;!
(0
,
0
,...,
0)
X
!
(1
,
1
,...,
1)
{
x
1
}!
(1
,
0
,...,
0)
Nietrudnozauwa»y¢,»eka»demupodzbiorowiodpowiadadokładniejeden
ci¡g,ró»nympodzbioromodpowiadaj¡ró»neci¡giika»dyci¡godpowiada
2
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
pewnemupodzbiorowi.Zatemelementówzbioru2
X
jestdokładnietylesamo
coelementówzbioru
{
0
,
1
}
n
,atychostatnichjest2
n
.
Przykład
Zilustrujmydziałaniefunkcji
,zdefiniowanejwdowodzietwier-
dzenianaprzykładziezbioru
X
=
{
1
,
2
,
3
}
:
:
; !
(0
,
0
,
0)
{
1
} !
(1
,
0
,
0)
{
2
} !
(0
,
1
,
0)
{
3
} !
(0
,
0
,
1)
{
1
,
2
}!
(1
,
1
,
0)
{
1
,
3
}!
(1
,
0
,
1)
{
2
,
3
}!
(0
,
1
,
1)
{
1
,
2
,
3
}!
(1
,
1
,
1)
3
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
Wykład2
Działania
Zwcze±niejszychkursówznamypoj¦ciedziała«arytmetycznychwzbiorze
liczbrzeczywistych(+
,
−
,
·
,
:).
Niech
A
b¦dziedowolnymzbiorem.Ka»d¡funkcj¦
f
:
A
n
!
A
nazywa-
my(
n
-arnym)działaniemwzbiorze
A
.Je±li
n
=2todziałanienazywamy
binarnym.Dladziała«binarnychcz¦stou»ywamyoznacze«+
,
·
,
,
,
,
i
podobnych,tradycyjnienieu»ywamyzapisu+(
a,b
)tylko
a
+
b
.
Przykład
+jestdziałaniembinarnymwzbiorachN
,
Z
,
Q
,
R.
:niejestdziałaniembinarnymwzbiorzeRbowyra»enie
a
:0jestnieokre-
±lone.
:niejestrównie»działaniemwzbiorzeZ
\{
0
}
bowarto±¢dzielenia1:2nie
jestliczb¡całkowit¡.
Przykład
Je±li
X
jestdowolnymzbioremtoskładaniefunkcjijestdziałaniem
binarnymwzbiorze
X
X
.
Je±li
A
jestzbioremsko«czonym,
A
=
{
a
1
,a
2
,...,a
n
}
,a
jestdziałaniem
binarnymwtymzbiorzetodziałanietomo»naopisa¢przypomocytabelki:
a
1
a
2
... a
n
a
1
a
1
a
1
a
1
a
2
...
a
1
a
n
a
2
a
2
a
1
a
2
a
2
...
a
2
a
n
... ... ... ... ...
a
n
a
n
a
1
a
n
a
2
...
a
n
a
n
Zadanie
Opisa¢tabelk¦składaniafunkcjiwzbiorze
X
X
dla
X
=
{
1
,
2
}
.
Rozwi¡zanie
Jakwiemy
X
X
=
{
f
1
,f
2
,f
3
,f
4
}
,gdzie:
12
12
!
12
21
!
12
11
!
12
22
!
f
1
=
,f
2
=
,f
3
=
,f
4
=
.
Wtedynaprzykład:
12
21
!
12
21
!
0
@
12
21
12
1
A
=
12
12
!
f
2
f
2
=
=
=
f
1
,
!
!
0
12
11
22
1
!
12
21
12
11
12
22
f
2
f
3
=
=
@
A
=
=
f
4
.
Tabelkamaposta¢:
1
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
f
1
f
2
f
3
f
4
f
1
f
1
f
2
f
3
f
4
f
2
f
2
f
1
f
4
f
3
f
3
f
3
f
3
f
3
f
3
f
4
f
4
f
4
f
4
f
4
Własno±cidziała«binarnych.
Działanie
wzbiorze
A
nazywamy:
(a)ł¡cznymje±li:
8
a,b,c
2
Aa
(
b
c
)=(
a
b
)
c,
(b)przemiennymje±li:
8
a,b
2
Aa
b
=
b
a.
Element
e
2
A
nazywamyprawostronnymelementemneutralnymje±li:
8
a
2
Aa
e
=
a.
Podobniemo»namówi¢olewostronnymelemencieneutralnym.Element
e
2
A
nazywamyelementemneutralnymdziałania
je±lijestprawoilewostron-
nymelementemneutralnym.
a
a
0
=
a
0
a
=
e.
Je±li
a
posiadaelementodwrotnytonazywamygo
elementemodracalnym
.
Zadanie
Wyznaczy¢elementneutralnyskładaniawzbiorze
X
X
.Wyznaczy¢
wszystkieelementyodwracalnewzbiorze
X
X
dla
X
=
{
1
,
2
}
.
Elementyodwracalnewzbiorze
X
X
nazywamypermutacjamizbioruX
ioznaczamyjeprzez
S
(
X
).Elementjest
f
2
X
X
odwracalnydokładnie
wtedygdy
f
jestfunkcj¡odwracaln¡(tznjestwzajemniejednoznacznym
odwzorowaniemzbioru
X
na
X
).Je±li
X
=
{
1
,
2
,...,n
}
tozamiast
S
(
X
)
piszemy
S
n
.
Zadanie
Wyznaczy¢wszystkiepermutacjezbioru
X
=
{
1
,
2
,
3
}
.Wyznaczy¢
tabelk¦składaniafunkcjiwzbiorze
S
3
.
Niech
i
b¦d¡dwomadziałaniamiwzbiorze
A
.Wtedymówimy,»edzia-
łanie
jestrozdzielnewzgl¦dem
je±li:
8
a,b,c
2
Aa
(
b
c
)=(
a
b
)
(
a
c
)
,
(
a
b
)
c
=(
a
c
)
(
b
c
)
Zadanie
Jakiewłasno±cimaj¡działania
\
,
[
wzbiorze2
X
?
2
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
Twierdzenie1
Ka»dedziałaniemaconajwy»ejjedenelementneutralny.
Dowód
Je±li
e
1
i
e
2
s¡elementamineutralnymito
e
1
e
2
=
e
1
i
e
1
e
2
=
e
2
,
wi¦c
e
1
=
e
2
.
Niechdziałanie
posiadaelementneutralny
e
wzbiorze
A
iniech
a
2
A
.
Wtedyelement
a
0
2
A
nazywamyelementemodwrotnymdo
a
(wzgl¦dem
działania
)je±li:
[ Pobierz całość w formacie PDF ]