Algebra I wyklad 04

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wykład 4.
Wielomianyzespolone. Podstawowe
twierdzeniealgebry.
4.1. Wielomianyzespolone
Definicja 4.1.1. Wielomianem zespolonym jed-
nej zmiennej stopnia n∈
N
∪{0}bedziemy na-
zywac odwzorowanie W :
C
→
C
okre´slone
wzorem
W (z) = b
n
z
n
+ b
n−1
z
n−1
+ . . . + b
1
z + b
0
,
gdzie b
k
∈
C
dla 0≤k≤n i b
n
= 0. Liczby b
n
nazywamy współczynnikami wielomianu.
Zbiórwielomianówzespolonychnazywamypier-
´scieniemwielomianówzespolonychioznaczamy
przez
C
[z].
Dygresja: Dla wielomianów zespolonych obo-
wi azuj arównie˙ztewłasno´sci,którepodanodla
wielomianówrzeczywistych (
wykład 1
).
(
przykłady wielomianówzespolonych
)
4.2. Podstawowe twierdzeniealgebry
Twierdzenie 4.2.1. Ka˙zdy wielomian z pier
´
scie-
nia
C
[z] ma co najmniej jeden pierwiastek ze-
spolony.
(
dowód mo˙zna znale´zc w literaturze podanej
do wykładów
)
Własnosc 4.2.1. (O reprezentacji wielomianu
zespolonego przez iloczyn dwumianów)
1. Ka˙zdy wielomian zespolony stopnia n∈
N
ma dokładnie n pierwiastków zespolonych
(razem z pierwiastkami wielokrotnymi).
2. Ka˙zdy wielomian zespolony stopnia n∈
N
,
maj acy z
j
pierwiastkówzespolonychokrot-
no´sciach k
j
(k
j
∈
N
dla 1≤j≤m) oraz
k
1
+ k
2
+ . . . + k
m
= n, mo˙znaprzedstawic
w postaci
W (z) = b
n
(
z−z
1
)
k
1
(
z−z
2
)
k
2
. . .
(
z−z
m
)
k
m
gdzie b
n
∈
C
jestwspółczynnikiemtegowie-
lomianu.
Własnosc 4.2.2. Je˙zeli W jest wielomianem o
współczynnikachrzeczywistychtoliczbazespo-
lona z
0
jest l-krotnym pierwiastkiemwielomianu
W wtedy i tylko wtedy, gdy liczba z
0
jest pier-
wiastkiem l-krotnym tego wielomianu.
Uzupełnienie wiadomosci o rozkładzie funkcji
wymiernej na ułamki proste.
Definicja 4.2.1. Zespolonym ułamkiem prostym
nazywamynazywamyfunkcjewymiern azespo-
lon a o postaci
A
(z + a)
n
gdzie A, a, z∈
C
, n∈
N
.
Dygresja: Powy˙zszadefinicjajestuzupełnieniem
własnosci 1.2.1.
(
definicji 1.2.3.
) podanej na
pierwszym wykładzie.
Twierdzenie4.2.1. (uzupełnienie
własnosci1.2.2.
orozkładziefunkcjiwymiernejnaułamkiproste)
Ka˙zda funkcja wymierna zespolona jest sum a
zespolon a ułamków prostych o postaci
W
1
(z)
b
n
(z−z
1
)
k
1
(z−z
2
)
k
2
. . . (z−z
m
)
k
m
gdzie k
1
+ k
2
+ . . . + k
m
jest sum a zespolo-
nychułamkówprostych,przyczymdowolnemu
czynnikowi (z−z
i
)
k
i
(1≤i≤m) odpowiada
suma ułamków prostych o postaci
A
i 1
z−z
i
+
(z−z
i
)
2
+ . . . +
A
i k
i
(
z−z
i
)
k
i
dla A
i 1
, A
i 2
, . . . , A
i k
i
∈
C
.
A
i 2
Literatura
•
Białynicki-BirulaA.,Algebraliniowazgeometri a,PWN,
Warszawa 1976.
•
Biernat G., Matematyka 3, Wydawnictwo PCz, Cze-
stochowa2001.
•
Jurlewicz T., Skoczylas Z., Algebra liniowa cz. 1. Defi-
nicje,twierdzeniaiwzory., OficynawydawniczaGiS,
Wrocław2000.
•
Kiełbasinski A., Schetlick H., Numeryczna algebra li-
niowa, PWN, Warszawa 1992.
•
Mostowski A., Stark M., Algebra liniowa, PWN, War-
szawa 1968.
•
MostowskiA.,StarkM.,Elementyalgebrywy˙zszej,PWN,
Warszawa 1975.
•
TrajdosT., Matematykacz. III,WNT 1993.
[ Pobierz całość w formacie PDF ]