Algebra I wyklad 03

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wykład 3.
Wzór de Moivre’a. Pierwiastkowanie
liczb zespolonych.
3.1. Wzór de Moivre’a
Przypomnijmy sobie postac trygonometryczn a
(
denicja 2.2.4.
) i wykładnicz a (
denicja 2.3.1.
)
liczby zespolonej.
Dygresja: Przypomniec ze szkoły
´
sredniej funk-
cje trygonometryczne oraz wzory redukcyjne.
Własnosc 3.1.1. Uzupełnienie do algebry liczb
zespolonych z
1
, z
2
w postaci trygonometrycz-
nej i wykładniczej:
1. mno˙zenie liczb zespolonych (
rysunek
)
z
1
z
2
=|z
1
||z
2
|
(
cos
(
1
+
2
)
+ i sin
(
1
+
2
))
z
1
z
2
=|z
1
||z
2
|e
i
(
1
+
2
)
2. dzielenieliczb zespolonych (
rysunek
)
z
1
z
2
=
|z
1
|
(cos (
1
−
2
) + i sin (
1
−
2
))
|z
2
|
z
1
z
2
=
|z
1
|
e
i(
1
−
2
)
, z
2
= 0
|z
2
Denicja 3.1.1. Dla
∈
R
mamy nastepuj ac a
zale˙zno´sc (
rysunek
)
e
i
= cos
+ i sin
WÅ‚asnosc 3.1.2. Maj ac dane
1
,
2
∈
R
oraz
k∈
Z
uzyskujemy:
1. e
i
(
1
+
2
)
= e
i
1
e
i
2
2. e
i(
1
−
2
)
=
e
i
1
e
i
2
3.
e
i
1
k
= e
ik
1
4. e
i
(
1
+2k
)
= e
i
1
5. e
i
1
= 0
6. e
i
1
= e
i
2
⇔
1
=
2
+ 2k
7.
e
i
1
= 1
8. arg
e
i
1
=
1
+ 2k
|
Własnosc 3.1.3. Dla x∈
R
s a prawdziwe wzory
Eulera:
cos x =
e
ix
+ e
−ix
, sin x =
e
ix
−e
−ix
2i
(Postarajmysieudowodnicpowy˙zszewzory-na-
le˙zy skorzystac z
denicji 3.1.1.
)
2
WÅ‚asnosc3.1.4. (
Potegowanieliczbzespolonych
- wzór de Moivre’a
) Maj ac dane
z =|z|(cos
+ i sin
) (|z|,
∈
R
, |z|= 0)
oraz n∈
N
otrzymujemy
z
n
=
(
|z|
)
n
(
cos n
+ i sin n
)
Dygresja: potegowanie liczby zespolonej - mo-
duł potegujemy, a argument mno˙zymy przez
potege (
rysunek
). Podobnie mamy dlapostaci
wykładniczej, tzn.
z
n
= (|z|)
n
e
i n
(
Dokonaj przekształcen pomiedzy ró˙znymi po-
staciami liczb zespolonych.
)
3.2. Pierwiastkowanieliczb zespolonych
Denicja3.2.1. Pierwiastkiemstopnia n∈
N
liczby
zespolonej a∈
C
nazywamy ka˙zd a liczbe ze-
spolon a z∈
C
, która spełnia równo´sc
z
n
= a.
1
n
, ale dla
liczbzespolonychtojestzapisniejednoznaczny.
√
a = a
√
R
√
C
16 = 4
16 ={−4, 4}
√
√
4
1 = 1
4
1 ={−1,−i, 1, i}
√
−1 - nie ma
√
−1 ={−i, i}
√
√
n
o
x
4
= x
2
z
4
=
−z
2
, z
2
√
√
x
2
=|x|
z
2
={−z, z}
n
Dygresja: Mo˙zna zapisac z =
Własnosc 3.2.1. Mo˙zna powiedziec, ˙ze liczba
zespolona z =|z|(cos
+ i sin
)
(|z|> 0,|z|,
∈
N
). Inaczej przedsta-
wiaj ac
√
z ={z
0
, z
1
, . . . , z
n−1
},
gdzie
z
k
= (|z|)
n
cos
+ 2k
+ i sin
+ 2k
n
,
dla k∈
N
i k = 0, 1, . . . , n−1.
WÅ‚asnosc 3.2.2. (
Interpretacja geometryczna
zbioru pierwiastków
) Na płaszczy´znie zespolo-
nej pierwiastki tworz a n−k at foremny wpisany
w koło o promieniu (|z|)
n
.
R
) posiada dokładnie n pier-
wiastków stopnia n (n∈
n
n
[ Pobierz całość w formacie PDF ]