Algebra

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Politechnika Łódzka
Elementy algebry liniowej
i geometrii analitycznej
– rozszerzony konspekt
El»bietaKotlicka
Bo»ennaSzkopi«ska
WitoldWalas
Łód¹ 2009
Wst¦p
Niniejsza publikacja przeznaczona jest dla słuchaczy pierwszego roku studiów uczelni technicznych. Stanowi
ona konspekt wykładu z przedmiotu ”Algebra liniowa” prowadzonego na Wydziale Elektrotechniki, Elektroniki,
Informatyki i Automatyki Politechniki Łódzkiej przez wykładowców Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
Materiał zawarty w konspekcie dostosowany jest do aktualnego programu studiów i obejmuje on:
•
ogólne struktury algebry,
•
ciało liczb zespolonych,
•
macierze i wyznaczniki,
•
układy równa« liniowych,
•
elementy geometrii analitycznej,
•
przestrzenie wektorowe i przekształcenia liniowe.
Od czytelnika nie wymaga si¦ znajomo±ci innych kursów akademickich, cho¢ zapoznanie z podstawowymi
poj¦ciami logiki, teorii mnogo±ci i analizy matematycznej mo»e znacznie ułatwi¢ przyswojenie zawartego tu
materiału.
Konspekt zawiera jedynie definicje, twierdzenia i uwagi. Nie umie±cili±my w nim przykładów ilustruj¡cych
omawiane poj¦cia, jak równie» ¢wicze« i zada«, które znajd¡ si¦ dopiero w nast¦pnej, rozszerzonej edycji.
Z tego powodu, aby ugruntowa¢ przedstawion¡ tu wiedz¦, zalecane jest korzystanie z dodatkowych zbiorów
zada« z algebry. Zapraszamy równie» do korzystania z materiałów umieszczonych na platformie dydaktycznej
Autorzy uprzejmie prosz¡ o przesyłanie wszelkich uwag i komentarzy dotycz¡cych prezentowanej publikacji.
El»bietaKotlicka
Bo»ennaSzkopi«ska
WitoldWalas
elzbieta.kotlicka@p.lodz.pl
bszkopin@onet.pl
witold walas@op.pl
Wykaz oznacze«
Symbole logiczne:
^
– symbol koniunkcji
_
– symbol alternatywy
)
– symbol implikacji
,
– symbol równowa»no±ci
W
– symbol kwantyfikatora szczegółowego (egzystencjonalnego)
W
x
'
(
x
) – czyt.
istniejextaki,»ezachodzi'
(
x
)
Wyró»nione zbiory:
;
– zbiór pusty
N=
{
1
,
2
,
3
,...
}
– zbiór liczb naturalnych
N
0
=N
[{
0
}
Z=
{
...,
−
2
,
−
1
,
0
,
1
,
2
,...
}
– zbiór liczb całkowitych
Q=
{
l
m
:
l,m
2
Z
, m
6
= 0
}
– zbiór liczb wymiernych
R– zbiór liczb rzeczywistych
C– zbiór liczb zespolonych
(
x,y
) – przedział otwarty wR
[
x,y
] – przedział domkni¦ty wR
[
x,y
) – przedział lewostronnie domkni¦ty
(
x,y
] – przedział prawostronnie domkni¦ty
Oznaczenia stosowane w teorii mnogo±ci:
A,B,X,Y,...
– typowe oznaczenia zbiorów
a
2
X
– czyt.
anale»ydozbioruX
lub
ajestelementemzbioruX
a
2
X
– czyt.
anienale»ydozbioruX
X
Y
– czyt.
zbiórXjestpodzbioremzbioruY
X
=
Y
– czyt.
zbioryXiYs¡równe
X
[
Y
– suma zbiorów
X
i
Y
X
\
Y
– iloczyn (cz¦±¢ wspólna) zbiorów
X
i
Y
X
\
Y
– ró»nica zbiorów
X
i
Y
{
a,b
}
– para nieuporz¡dkowana: zbiór, którego elementami s¡
a
i
b
(
a,b
) – para uporz¡dkowana
5
X
×
Y
– iloczyn kartezja«ski zbiorów
X
i
Y
5
X
n
=
X
×
.
.
.
×
X
| {z }
n
razy
n
! – czyt.
nsilnia
(
a
n
)
n
2
N
– ci¡g o wyrazie ogólnym
a
n
f,g,h,...
– typowe oznaczenia funkcji
f
(
x
) – warto±¢ funkcji
f
w punkcie
x
f
:
X
!
Y
– czyt.
funkcjafprzekształcazbiórXwzbiórY
f
:
x
7!
y
– czyt.
funkcjafelementowixprzyporz¡dkowujeelementy
C
([0
,
1]) – zbiór funkcji ci¡głych działaj¡cych z przedziału [0
,
1] wR
C
k
([0
,
1]) – zbiór funkcji działaj¡cych z przedziału [0
,
1] wRi posiadaj¡cych ci¡gł¡
k
-t¡ pochodn¡
V
– symbol kwantyfikatora ogólnego
V
x
'
(
x
) – czyt.
dlaka»degoxzachodzi'
(
x
)
C
1
([0
,
1]) – zbiór funkcji działaj¡cych z przedziału [0
,
1] wRi posiadaj¡cych pochodne wszystkich rz¦dów
Oznaczenia stosowane w strukturach algebraicznych:
(
A,
) – struktura algebraiczna z działaniem wewn¦trznym
5
e
– element neutralny w danej strukturze algebraicznej
5
a
−
1
– element odwrotny do elementu
a
w danej strukturze algebraicznej
5
(
K,
,
) – ciało
K
z działaniami wewn¦trznymi
i
6
(C
,
+
,
·
) – ciało liczb zespolonych z dodawaniem i mno»eniem
6
i
– jednostka urojona
7
Re
z
,
Im
z
– cz¦±¢ rzeczywista i urojona liczby zespolonej
z
7
z
– sprz¦»enie liczby zespolonej
z
8
|
z
|
– moduł liczby zespolonej
z
8
arg
z
(Arg
z
) – argument (argument główny) liczby zespolonej
z
8
M
m,n
(
X
) – zbiór wszystkich macierzy wymiaru
m
×
n
o wyrazach ze zbioru
X
10
A
=[
a
ij
]
,B
=[
b
ij
]
,...
– typowe oznaczenia macierzy
I
n
– macierz jednostkowa stopnia
n
12
A
T
– macierz transponowana do macierzy
A
13
det
A
– wyznacznik macierzy
A
14 17
A
−
1
– macierz odwrotna do macierzy
A
16
R
(
A
) – rz¡d macierzy
A
19
P,Q,...,
(
a
1
,a
2
,a
3
)
,
(
b
1
,b
2
,b
3
)
,...
– typowe oznaczenia punktów w przestrzeniR
3
a
,
b
,...,
[
a
1
,a
2
,...,a
n
]
,
[
b
1
,b
2
,...,b
n
]
, . . .
– typowe oznaczenia wektorów w przestrzeniR
n
0
= [0
,
0
,...,
0] – wektor zerowy w przestrzeniR
n
|
a
|
– długo±¢ wektora
a 21
i
,
j
,
k
– wersory w przestrzeniR
3
20
a
b
– iloczyn skalarny wektorów
a
i
b
21
a
×
b
– iloczyn wektorowy wektorów
a
i
b
22
(
a
,
b
,
c
) – iloczyn mieszany wektorów
a
,
b
i
c
22
a
k
b
– czyt.
wektory
a
i
b
s¡równoległe
a
?
b
– czyt.
wektory
a
i
b
s¡prostopadłe
(
X,K,
+) – przestrze«
X
nad ciałem
K
25
1
x
1
+
2
x
2
+
...
+
n
x
n
– liniowa kombinacja wektorów
x
1
,
x
2
,...,
x
n
26
dim
X
– wymiar przestrzeni wektorowej
X
27
e
1
,
e
2
,...,
e
n
– baza kanoniczna przestrzeniR
n
M
(
'
) – macierz przekształcenia liniowego
'
29
E. Kotlicka, B. Szkopi«ska, W. Walas, Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej — konspekt
5
1. Podstawowe struktury algebraiczne, ciała,
ciało liczb zespolonych
1.1. Działania wewn¦trzne, grupy
Zbiory oznaczamy zwykle du»yli literami np.
A,X,K
. Fakt, »e
a
jest elementem zbioru
A
zapisujemy jako
a
2
A
. Je»eli
a
2
A
i
b
2
B
, to
par¡ uporz¡dkowan¡
o poprzedniku
a
i nast¦pniku
b
nazywamy zbiór
(
a,b
)
de
=
{{
a
}
,
{
a,b
}}
.
Dwie pary (
a,b
) i (
x,y
) s¡ sobie równe wtedy i tylko wtedy, gdy
a
=
x
i
b
=
y
. Zbiór wszystkich par
uporz¡dkowanych o poprzedniku z
A
i nast¦pniku z
B
nazywamy
iloczynem kartezja«skim
zbiorów
A
i
B
i oznaczamy przez
A
×
B
. Mamy wi¦c
A
×
B
de
=
{
(
a,b
) :
a
2
A
^
b
2
B
}
.
Definicja 1.1.
Niech
A
b¦dzie niepustym zbiorem.
•
Ka»d¡ funkcj¦
:
A
×
A
!
A
nazywamy
działaniem (wewn¦trznym)
w zbiorze
A
.
•
Je»eli
jest działaniem wewn¦trznym w
A
, to uporz¡dkowan¡ par¦ (
A,
) nazywamy
struktur¡ alge-
braiczn¡
.
Definicja 1.2.
Zbiór
G
wraz z działaniem
:
G
×
G
!
G
i wyró»nionym elementem
e
2
G
nazywamy
grup¡
,
je»eli spełnione s¡ warunki:
a) działanie
jest ł¡czne, czyli
V
a
(
b
c
) = (
a
b
)
c,
a,b,c
2
G
b) dla dowolnego
a
2
G
zachodzi
a
e
=
a,
c) dla dowolnego
a
2
G
istnieje
b
2
G
takie, »e
a
b
=
e.
Je»eli
G
jest grup¡, to istnieje dokładnie jeden element
e
maj¡cy własno±¢ (b) — nazywamy go
elementem
neutralnym
grupy
G
. Zachodzi przy tym równo±¢
a
e
=
e
a.
Wykazuje si¦ równie», »e dla ka»dego
a
2
G
istnieje dokładnie jeden element
b
2
G
taki, »e zachodzi warunek
c) — nazywamy go
elementem odwrotnym
do
a
i oznaczamy przez
a
−
1
. Wówczas
a
a
−
1
=
a
−
1
a
=
e.
Definicja 1.3.
Grup¦
G
nazywamy grup¡
abelow¡
(
przemienn¡
), je»eli dla dowolnych
a,b
2
G
mamy
a
b
=
b
a.
Uwaga 1.4.
Mo»na łatwo pokaza¢, »e zbiór liczb naturalnych z dodawaniem i zerem (jak równie» zbiór liczb
całkowitych z mno»eniem i jedynk¡) nie stanowi grupy.
Definicja 1.5.
Niech
G
b¦dzie grup¡ z działaniem
. Niepusty podzbiór
H
G
nazywamy
podgrup¡
grupy
G
, je»eli
H
z działaniem
te» jest grup¡.
[ Pobierz całość w formacie PDF ]