all cw7

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->Algebra liniowa 2014wiczenie 7. Przestrze« wektorowa.1. Sprawd¹, czy(W,R,+,·)jest przestrzeni¡ wektorow¡, je±li:(a)W=(b)W=1bba:a, b, c∈R,ca:a, b, c∈R.c(c)W=x∈R2:x= [2t,t+ 1]T, t∈R,(d)W=x∈R2:x= [2t,t]T, t∈R,(e)Wzbiór wielomianów rzeczywistych stopnia5,(f)W=R[x]5(zbiór wielomianów rzeczywistych stopnia co najwy»ej5),(g)Wzbiór wielomianów rzeczywistych stopnia.2. NiechVprzestrze« wektorowa. Czyvjest kombinacj¡ liniow¡ wektorów:(a)V=R4, v= [1,−1,1, 1]T, v1= [−1, 1, 1, 3]T, v2= [2, 1,−1,2]T,(b)V=R3, v= [1, 2,−1]T, v1= [1,−1,0]T, v2= [2, 1, 3]T, v3= [−1, 0, 1]T,(c)V=R[x]3, v=x3+x+ 1,v1=x2−1,v2=x3+x, v3=x3−x2+ 5,(d)V=M2x2(R),v=−113−1, v1=511, v2=2−12, v3=131,3. Czy nast¦puj¡ce wektory s¡ liniowo niezale»ne? Czy tworz¡ baz¦ przestrzeni wektorowejV?(a)V=R4, v1= [−1, 0, 1, 0]T, v2= [4, 1,−2,1]T, v3= [3, 1,−1,1]T,(b)V=R4, v1= [−1, 0, 1, 3]T, v2= [0, 1,−2, −1]T,,(c)V=R4, v1= [−1, 3,−1,1]T, v2= [2,−2, −1,1]T, v3= [−1, 1, 2,−1]T, v4= [−2,−1,1,−1]T.4. Dla jakiej warto±ci parametrumwektory:v1= [3, 2,m]T, v2= [2, 0, 1]T, v3= [2, 1, 1−m]Ts¡ liniowo zale»ne?5. Sprawd¹, »e wektory:v1= [1, 1, 1]T, v2= [1, 2, 3]T, v3= [1, 4, 9]Ttworz¡ baz¦R3. Wyznacz wspóªrz¦dne wektora[3, 7, 13]w tej bazie.6.Wyznacz baz¦ i wymiar przestrzeni rozwi¡za« równania jednorodnego:x1+x2+x4−x5= 0.2x +x3= 01−x1+x2−x3+x4−x5= 07. Wyznacz wymiar i baz¦ przestrzeni liniowejV= [x1, x2, x3, x4]T∈R4:x1+x2+x3= 0,x2+x3+x4= 0.8. Niech W podprzestrzeni¡ V. Wyznacz wymiar i baz¦ podprzestrzeniW, je»eli:(a)V=R4,W=lin(v1, v2, v3, v4),v1= [1, 1, 0,−1]T, v2= [0, 0, 1, 0]T, v3= [2, 2, 1,−2]T, v4= [1, 1, 2,−1]T,(b)V=R3,W=lin(v1, v2, v3),v1= [1, 2, 1]T, v2= [−1, 2, 0]T, v3= [1, 0,−1]T.9. Czy nast¦puj¡ce przeksztaªcenie jest liniowe? Je±li tak, wyznacz macierz tego przeksztaªcenia w bazie kanonicznej:(a)f:R3→R3, f(x1, x2, x3) = [x2+x2, x2+x3,2x1−x2+x3]T,1(b)f:R4→R2, f(x1, x2, x3, x4) = [2x1−x2+x3, x2+ 5x4]T.10. Niech[1, 0, 0, 0]T,[1, 1, 0, 0]T,[1, 1, 1, 0]T,[1, 1, 1, 1]Tb¦dzie baz¡ przestrzeniR4a[1, 0]T,[1, 1]Tbaz¡R2. Wyznacz ma-cierz przeksztaªcenia liniowegof:R4→R2w tych bazach, je±li:(a)f(x1, x2, x3, x4) = [2x1−x2+x3, x2+ 5x4]T,(b)f(x1, x2, x3, x4) = [−x3+x4, x1−x2+x4]T.11. WyznaczdimKerforazdimImfdla przeksztaªcenia liniowego:x1−x2+x3−x5.x2−x4+x5f:R5→R3, f(x1, x2, x3, x4, x5) =x1+x2+x3−2x4+x512. WyznaczKerfje±li:x1−x2+x4f:R4→R3, f(x1, x2, x3, x4) =x1+ 2x3−x4.x1−x2+x3Ostatnia modykacja: 11.12.2014 [ Pobierz całość w formacie PDF ]