algebra-wektorow-5-wyklad

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Algebra wektorów w przestrzeni R
3
.
Niech w przestrzeni R
3
będzie zadany prostokątny prawoskrętny układ współrzędnych
Oxyz
.
Mówimy, że punkt
M
ma współrzędne
x
,
y
,
z
pisząc
1
1
1
M
=
(
x
,
y
,
z
)
.
1
1
1
Niech
.
Odległość między dwoma punktami
P
=
(
x
,
y
,
z
)
2
2
2
M
=
(
x
,
y
,
z
)
i
1
1
1
P
=
(
x
,
y
,
z
)
określamy wzorem:
2
2
2
2
2
2
d
(
M
,
P
)
=
MP
=
(
x
-
x
)
+
(
y
-
y
)
+
(
z
-
z
)
2
1
2
1
2
1
(jest to długość odcinka
MP
).
W szczególności odległość punktu
M
od początku układu
współrzędnych
O
=
(
0
0
0
)
wynosi
2
2
2
d
=
x
+
y
+
z
.
1
1
1
Podział odcinka.
Jeżeli punkt
Q
dzieli odcinek
MP
w stosunku
l (tzn.
MQ
=
l
)
, to współrzędne punktu
Q
=
(
x
,
y
,
z
)
określamy
QP
3
3
3
wzorami
x
l
x
y
l
y
z
l
z
+
+
+
x
z
.
1
2
1
2
1
2
=
,
y
=
,
=
1
+
l
1
+
l
1
+
l
3
3
3
W szczególności współrzędne środka
S
=
(
x
,
y
,
z
)
odcinka
MP
0
0
0
określamy wzorami
x
x
y
y
z
z
+
+
+
x
1
2
1
2
z
1
2
.
=
,
y
=
,
=
0
2
0
2
0
2
Wektorem
M
C
(dokładnie: wektorem związanym) nazywamy parę uporządkowaną punktów
M
i
P
. Punkt
M
to początek, punkt
P
to koniec wektora
M
C
C
C
. Jeżeli
M
=
P
, to wektor
M
=
nazywamy wektorem zerowym.
Długością (modułem)
M
C
M
C
wektora
nazywamy długość odcinka
MP
.
Kierunkiem wektora
M
C
nazywamy kierunek prostej, do której
odcinek
MP
jest równoległy.
Zwrotem wektora
M
C
nazywamy jedno z dwu możliwych
uporządkowań punktów na prostej
l
wyznaczonej przez punkty
M
i
P
.
Dwa wektory nazywamy równymi, jeżeli mają tę samą długość, ten sam kierunek i ten sam
zwrot.
Zbiór wszystkich wektorów równych między sobą nazywamy wektorem swobodnym (krótko:
wektorem) i oznaczamy symbolem
C
C
C
C
Każdy wektor związany wyznacza jednocześnie pewien wektor swobodny.
a
,
b
,
...,
u
,
r
,
...
C
Współrzędne wektora
a
=
[
a
,
a
,
a
]
, gdy dany jest początek
M
=
(
x
,
y
,
z
)
i koniec
x
y
z
1
1
1
P
=
(
x
,
y
,
z
)
obliczamy następująco:
a
=
x
-
x
,
a
=
y
-
y
,
a
=
z
-
z
.
x
y
z
2
2
2
2
1
2
1
2
1
C
C
2
2
2
Stąd długość wektora
a
=
[
a
,
a
,
a
]
określa wzór
a
=
a
+
a
+
a
.
x
y
z
x
y
z
W układzie kartezjańskim
Oxyz
określamy wektory
jednostkowe, równoległe do poszczególnych osi układu
współrzędnych i mające zwrot zgodny ze zwrotem tych osi.
Nazywamy je wersorami:
]
i
C
=
[
1
0
0
,
C
=
[
0
1
0
]
,
C
=
[
0
0
1
C
Każdy wektor
a
=
[
a
,
a
,
a
]
możemy zapisać jako
x
y
z
C
C
C
kombinację liniową wersorów
i
,
j
,
k
:
C
C
C
C
a
=
a
i
+
a
j
+
a
k
x
y
z
Oznaczmy przez
a
,
b
,
g
kąty, jakie tworzy wektor
C
z odpowiednimi osiami układu
C
współrzędnych.
cos
a
,
cos
b
,
cos
g
to cosinusy kierunkowe wektora
a
=
[
a
,
a
,
a
]
:
x
y
z
a
a
a
y
x
z
cos
a
=
,
cos
b
=
,
cos
g
=
.
C
C
C
a
a
a
2
2
2
Zachodzi związek:
cos
a
+
cos
b
+
cos
g
=
1
.
C
C
C
C
Przykład. Niech
A
B
=
-
2
i
+
j
+
5
k
oraz
B
=
(
-
1
2
)
. Znaleźć współrzędne początku
A
tego
wektora, jego długość i cosinusy kierunkowe.
Jeśli oznaczymy
A
=
(
x
,
y
,
z
)
, to
1
-
x
=
-
-
1
-
y
=
1
2
-
z
=
5
1
1
1
1
1
1
Stąd
x
=
3
y
=
-
z
=
-
, czyli
A
=
(
-
2
-
3
;
1
1
1
C
30
30
30
-
2
1
5
2
2
2
B
=
(
-
2
)
+
1
+
5
=
30
;
cos
a
=
,
cos
b
=
,
cos
g
=
.
=
-
=
=
15
30
6
30
30
30
Suma dwóch wektorów:
C
C
Jeżeli
a
=
[
a
,
a
,
a
]
,
b
=
[
b
,
b
,
b
]
,
x
y
z
x
y
z
C
C
to
a
+
b
=
[
a
+
b
,
a
+
b
,
a
+
b
]
x
x
y
y
z
z
Iloczyn wektora przez liczbę
l
:
C
C
Jeżeli
a
=
[
a
,
a
,
a
]
, to
l
a
=
[
l
a
,
l
a
,
l
a
]
.
x
y
z
x
y
z
C
C
C
Przykład. Wyznaczyć
5
a
-
3
b
jeżeli
C
=
[
-
2
1
i
=
[
2
3
-
2
]
.
C
C
C
C
C
5
a
-
3
b
=
[
15
,
-
10
,
5
+
[
-
6
-
9
6
]
=
[
9
-
19
,
1
1
=
9
i
-
19
j
+
11
k
.
C
C
Uwaga. Wektory
a
i
l
a
są równoległe i mają ten sam zwrot gdy
l
>
0
, a przeciwne zwroty, gdy
l
<
0
.
1
Uwaga. Mnożąc wektor
C
przez liczbę
otrzymamy wektor jednostkowy (wersor) o zwrocie
C
C
są cosinusy kierunkowe wektora
C
.
C
C
wektora
C
:
=
1
. Współrzędnymi wektora
a
a
C
6
C
3
-
1
C
C
[
]
Przykład. Jeżeli
=
[
-
1
6
]
, to
=
9
+
1
+
6
=
16
=
4
i wtedy wektor
=
,
,
4
4
4
a
jest wektorem jednostkowym (o długości 1).
Iloczyn skalarny dwóch wektorów
.
Iloczynem skalarnym dwóch wektorów
C
i
C
nazywamy liczbę równą iloczynowi długości tych
wektorów przez cosinus kąta zawartego między nimi:
C
C
C
C
C
C
a
A
b
=
a
×
b
×
cos
(
a
,
b
)
Ð
C
C
C
Zauważmy, że dla wersorów
i
,
j
,
k
mamy:
C
C
C
C
C
C
o
i
A
j
=
1
×
1
×
cos
90
=
0
,
i
A
k
=
0
,
j
A
k
=
0
,
C
C
C
C
C
C
o
i
A
i
=
1
×
1
×
cos
0
=
1
,
j
A
j
=
1
,
k
A
k
=
1
.
C
C
C
C
C
C
C
C
Jeżeli więc
a
=
[
a
,
a
,
a
]
=
a
i
+
a
j
+
a
k
,
b
=
[
b
,
b
,
b
]
=
b
i
+
b
j
+
b
k
, wtedy
x
y
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
a
A
b
=
(
a
i
+
a
j
+
a
k
)
A
(
b
i
+
b
j
+
b
k
)
=
a
b
i
A
i
+
a
b
i
A
j
+
a
b
i
A
k
+
a
b
j
A
i
+
x
y
z
x
y
z
x
x
x
y
x
z
y
x
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
+
a
b
j
A
j
+
a
b
j
A
k
+
a
b
k
A
i
+
a
b
k
A
j
+
a
b
k
A
k
=
a
b
+
a
b
+
a
b
.
y
y
y
z
z
x
z
z
z
x
x
y
y
z
z
y
Iloczyn skalarny dwóch wektorów obliczamy więc też wg wzoru:
C
C
a
A
b
=
a
b
+
a
b
+
a
b
x
x
y
y
z
z
Nieznany cosinus kąta między wektorami
C
i
C
możemy wyznaczyć ze wzoru
C
C
C
C
a
A
b
cos
(
a
,
b
)
=
C
Ð
C
a
×
b
Własności iloczynu skalarnego wektorów:
1.
C
C
C
C
C
C
2
a
A
a
=
a
(czyli
a
=
a
A
a
),
C
C
C
C
C
C
C
C
2.
a
A
b
=
0
Û
a
=
0
Ú
b
=
0
Ú
a
^
b
,
C
C
C
C
3.
a
A
b
=
b
A
a
(iloczyn skalarny jest przemienny)
,
C
C
C
C
C
C
C
4.
a
A
(
b
+
c
)
=
a
A
b
+
a
A
c
(rozdzielność mnożenia skalarnego względem dodawania wektorów),
C
C
C
C
C
C
5.
(
m
)
A
b
=
a
A
(
m
)
=
m
(
a
A
b
)
.
C
C
G
C
C
C
C
p
Przykład. Niech
a
C
u
C
w
G
b
= 2
u
-
w
=
2
=
1
(
u
,
w
)
=
=
+
3
,
,
,
,
.
Ð
3
,
C
,
C
,
C
C
a
C
C
a
A
b
Obliczyć
cos
(
,
)
.
Ð
Rozwiązanie:
C
C
C
G
C
G
C
C
C
C
C
C
C
C
a
A
b
=
(
u
+
3
w
)
A
(
2
u
-
w
)
=
2
u
A
u
-
u
A
w
+
6
w
A
u
-
3
w
A
w
=
C
C
C
G
1
=
2
×
4
+
5
u
A
w
-
3
×
1
=
5
+
5
×
2
×
1
×
cos
(
u
,
w
)
=
5
+
10
×
10
=
.
Ð
2
C
C
G
C
G
C
C
C
G
G
G
1
a
=
(
u
+
3
w
)
A
(
u
+
3
w
)
=
u
A
u
+
6
u
A
w
+
9
w
A
w
=
4
+
6
×
2
×
+
9
=
19
.
C
C
G
C
G
C
C
C
G
G
G
1
b
=
(
2
u
-
w
)
A
(
2
u
-
w
)
=
4
u
A
u
-
4
u
A
w
+
w
A
w
=
16
-
4
×
2
×
+
1
=
13
.
a
C
C
10
10
cos
(
,
)
=
.
=
»
0
6363
Ð
19
×
13
247
Przykład. Iloczyn skalarny wykorzystywany jest w fizyce, np. przy obliczaniu pracy:
Ciało przesuwa się pod działaniem siły
F
C
o wektor
C
.
Interesuje
nas praca
L
tej siły wzdłuż przesunięcia
C
. Pracę wykonuje
składowa
F
C
.
C
C
C
C
C
C
cos
Praca jest równa iloczynowi skalarnemu wektora siły przez wektor
przesunięcia.
L
=
F
×
S
=
F
×
S
×
a
=
F
A
S
s
Iloczyn wektorowy dwóch wektorów w przestrzeni
R
3
.
Iloczyn wektorowy wektorów
C
i
C
oznaczamy symbolem:
C
C
a
´
b
Definicja.
Jeżeli
C
C
C
C
i
C
nie jest równoległy do
C
, to
C
C
C
a
¹
i
b
¹
a
´
b
=
c
, przy czym
C
C
1
o
.
C
C
c
^
a
i
c
^
b
,
C
C
C
C
C
2
o
.
c
=
a
×
b
×
sin
(
a
,
b
)
,
Ð
C
C
C
3
o
. układ wektorów
a
,
b
,
c
jest prawoskrętny
(zorientowany zgodnie z układem kartezjańskim Oxyz).
Geometrycznie długość iloczynu
wektorowego
C
C
´
jest równa ilości
jednostek pola równoległoboku
zbudowanego na wektorach
C
i
C
.
a
b
Przypomnijmy, że pole
równoległoboku
S
=
a
×
h
h
ale
, więc
,
=
sin
j
h
=
b
×
sin
j
.
skąd
S
=
a
×
b
×
sin
j
Własności iloczynu wektorowego:
1.
C
C
C
C
b
´
a
=
-
a
´
b
(antyprzemienność)
,
C
C
C
C
C
C
C
a
C
C
2.
a
´
b
=
jeśli
a
=
lub
b
=
lub
,
C
C
C
C
C
C
3.
(
m
)
´
b
=
a
´
(
m
)
=
m
(
a
´
b
)
,
C
C
C
C
C
C
C
4.
a
´
(
b
+
c
)
=
a
´
b
+
a
´
c
(rozdzielność mnożenia wektorowego względem dodawania wektorów),
C
C
C
Zauważmy, że dla wersorów
i
,
j
,
k
mamy:
C
C
C
C
C
C
C
i
´
i
=
j
´
j
=
k
´
k
=
;
C
C
C
C
C
C
C
C
C
i
´
j
=
k
,
j
´
k
=
i
,
k
´
i
=
j
,
C
C
C
C
C
C
C
C
C
j
´
i
=
-
k
,
k
´
j
=
-
i
,
i
´
k
=
-
j
.
C
C
najwygodniej
jest obliczać wg następującego wzoru, w którym wykorzystujemy symboliczny wyznacznik:
Współrzędne iloczynu wektorowego wektorów
a
=
[
a
,
a
,
a
]
i
b
=
[
b
,
b
,
b
]
x
y
z
x
y
z
C
C
C
i
j
k
C
C
a
a
C
C
a
a
a
a
C
y
z
x
y
x
z
a
´
b
=
a
a
a
=
i
-
j
+
k
x
y
z
b
b
b
b
b
b
y
z
x
y
x
z
b
b
b
x
y
z
Przykład. Dane są trzy punkty w przestrzeni R
3
:
M
=
(
2,
-
1
,
P
=
(
2,
2)
,
Q
=
(
2
1,
1)
.
M
C
M
C
Obliczyć iloczyn wektorowy wektorów
i
. Wyznaczyć pole trójkąta o wierzchołkach
M
,
P
,
Q
.
M
C
M
C
Mamy tu
=
[
2
0,
3]
,
=
[
-
1,
2]
.
C
C
C
i
j
k
C
C
C
C
C
C
C
C
0
3
2
3
2
0
M
´
M
=
=
i
-
j
+
k
=
3
i
-
j
-
2
k
=
[
-
1
-
2
]
.
2
0
3
-
1
2
1
2
1
-
1
1
-
1
2
C
C
14
1
1
S
MPQ
=
M
´
M
=
9
+
1
+
4
=
.
2
D
Uwaga.
Dla wektorów na płaszczyźnie R
2
:
C
C
a
=
[
a
x
a
,
]
,
b
=
[
b
x
b
,
]
, pole równoległoboku zbudowanego
y
y
na tych wektorach obliczamy wg wzoru:
a
a
x
y
S
=│
│.
b
b
x
y
Przykład. Iloczyn wektorowy ma zastosowanie w fizyce do obliczania np. momentu siły.
F
C
. Siła
F
C
Obliczyć moment siły
=
[
2,
1]
względem punktu
P
=
(
2
2,
3)
zaczepiona jest w punkcie
Q
=
(
2,
0)
.
C
C
C
i
j
k
C
C
C
C
C
C
M
(
F
)
=
P
´
F
=
[
-
0
-
3
´
[
2
1
=
=
6
i
-
8
j
-
2
k
=
[
6
-
8
-
2
].
-
1
0
-
3
P
C
(wektor
to
3
2
1
ramię siły)
Iloczyn mieszany trzech wektorów.
Niech
C
C
C
a
=
[
a
,
a
,
a
]
,
b
=
[
b
,
b
,
b
]
,
c
=
[
c
,
c
,
c
]
. Iloczyn mieszany tych trzech wektorów
x
y
z
x
y
z
x
y
z
C
C
C
zapisujemy symbolicznie
a
b
c
. Zachodzą równości:
C
C
C
C
C
C
C
C
C
a
b
c
=
(
a
´
b
)
A
c
=
a
A
(
b
´
c
)
[ Pobierz całość w formacie PDF ]