Algebra Liniowa

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Rozdzial 1. Przestrzenie wektorowe
Materiał tego rozdziału jest, z jednej strony, trudny, bo operuje poj¦ciami abs-
trakcyjnymi, a zdrugiej strony łatwy, nie zawiera w sobie istotnych problemów
technicznych, rachunkowych. Wystarczy „tylko” oswoi¢ si¦ z mas¡ noowych poj¦¢.
Potrzeba poj¦¢ abstrakcyjnych powstaje, gdy chcemy jednym j¦zykiem mówi¢ o
rzeczach formalnie podobnych, a poj¦ciowo (na przykład w sensie fizyki) od siebie
odległych.
Poj¦cie przestrzeni wektorowej ma ł¡czy¢ w sobie istotne cechy takich zbiorów
jak:
(A) Niech A b¦dzie punktem naszej przestrzeni fizycznej M. Rozpatrzmy zbiór
V
A
wszystkich pr¦dko±ci w punkcie A wszystkich mo»liwych ruchów puktów
materialnych. Wiedza szkolna podpowiada, »e pr¦dko±ci mo»na dodawa¢ i
mno»y¢ przez liczb¦. Na przykład, je»eli ruch
R3 t 7! p(t) 2 M, p(0) = A
ma pr¦dko±¢ v w chwili 0, to pr¦dko±¢ 2v ma ruch
R3 t 7! p(2t) 2 M.
(B) Niech teraz q b¦dzie punktem jakiego± ciła (na przykład sztywnego). Siły,
które przykładamy do ciała w punkcie q mo»emy (przynajmniej teoretycznie)
dodawa¢ i mno»y¢ przez liczb¦.
(C) We¹my teraz punkt a na płaszczy¹nie (znanej ze szkoły). Strzałki wycho-
dz¡ce z punktu a mo»emy dodawa¢ metod¡ trójk¡ta, mo»emy te» je wydłu-
»a¢, skraca¢, odwraca¢ (czytaj: mno»y¢ przez liczb¦).
(D) Teraz przykład formalny: we¹my zbiór R
3
wszystkich trójek liczb rzeczywi-
stych (x,y,z). Dodawanie i mno»enie przez liczb¦ mo»emy okre±li¢ wzorami:
(x,y,z) + (x
0
,y
0
,z
0
) = (x + x
0
,y + y
0
,z + z
0
), a(x,y,z) = (ax,ay,az).
(E) Tak jak w poprzednim przykładzie, ale w R
n
, czyli w zbiorze n-elementowych
ci¡gów liczbowych:
(x
1
,x
2
,··· ,x
n
) + (y
1
,y
2
,··· ,y
n
) = (x
1
+ y
1
,··· ,x
n
+ y
n
)
i mno»enie
(x
1
,x
2
,··· ,x
n
) = (x
1
,x
2
,··· ,x
n
)
Wszystkie pczytoczone wy»ej przykłady maj¡ wspóln¡ cech¦: mówi¡ o zbiorach, w
których mamy okre±lone działania dodawania i mno»enia przez liczb¦. Działania
te s¡ przemienne, ł¡czne, a mno»enie jest rozdzielne wzgl¦dem dodawania. Inaczej
mówi¡, s¡ to przykłady sytuacji, o których mówi poni»sza definicja.
1
2
1. Przestrzenie wektorowe
1.1. Definicja przestrzeni wektorowej.
Boiskiem dla przestrzeni wektorowej jest zbiór, w którym mo»emy dodawa¢ i
mno»y¢ przez liczb¦.
DEFINICJA 1.1. Przestrzeni¡ wektorow¡ (nad liczbami rzeczywistymi) nazy-
wamy zbiór V z działaniem (dodawania)
+: V ×V −! V : (v,w) 7! v + w
i z mno»eniem przez liczb¦ (rzeczywist¡)
R×V ! V : (,v) 7−! ·v,
maj¡cymi nast¦puj¡ce własno±ci dla wszystkich ,µ 2R, v,w,u 2 V :
(1) v + w = w + v (przemienno±¢ dodawania),
(2) v + (w + u) = (v + w) + u (ł¡czno±¢ dodawania),
(3) istnieje (jedno) „zero” 0 2 V dla dodawania: 0 + v = v,
(4) ( + µ) ·v = ·v + µ·v,
(5) · (v + w) = ·v + ·w,
(6) 1 ·v = v,
(7) · (µ·v) = (µ) ·v.
Elementy przestrzeni wektorowej nazywa¢ b¦dziemy wektorami(!). B¦dziemy te»
pisa¢ po prostu v zamiast · v. A oto proste fakty wynikaj¡ce bezpo±rednio z
powy»szej definicji:
STWIERDZENIE 1.2. Dla ka»dego wektora v 2 V i ka»dej liczby 2R
(1) 0v = 0,
(2) (−1)v = −v, to znaczy v + (−1)v = 0,
(3) 0 = 0,
(4) je»eli v = 0 to = 0 lub v = 0.
Dowod: Niech v 2 V i 2R.
(1) Mamy v = (1 + 0)v = 1v + 0v = v + 0v i st¡d 0 = 0v.
(2) Z powy»szego i z punktu czwartego pierwszego definicji v + (−1)v = (1 +
(−1))v = 0v = 0, czyli −v = (−1) ·v
(3) Z punktu szóstego definicji v = (v + 0) = v + 0 i st¡d 0 = 0.
(4) Je»eli v = 0 i 6= 0, to v = (
−1
)v =
−1
(v) = 0.
1.1. Definicja przestrzeni wektorowej
3
1.1.1. Dalsze przykłady.
(F) Niech X b¦dzie dowolnym zbiorem. Symbolem Map(X,R) oznaczamy zbiór
wszystkich odwzorowa« ze zbioru X w zbiór liczb R. W zbiorze tym okre-
±lamy działania:
(f + g)(a) = f(a) + g(a)
oraz
(f)(a) = f(a).
W przypadku X = R rozpoznajemy tu znane mno»enie i dodawanie funk-
cji. Zbiór Map(X,R) z tak okre±lonymi działaniami jest przestrzeni¡ wek-
torow¡. W szczególnosci, bior¡c A = I
3
= {1, 2, 3}, dostaniemy przykład D
(x = f(1),y = f(2),z = f(3)), a bior¡c A = I
n
= {1, 2,...,n} dostajemy
przykład E.
DEFINICJA 1.3. Niepusty podzbiór S przestrzeni wektorowej V nazywamy pod-
przestrzeni¡ wektorow¡ przestrzeni V , je»eli S z działaniami indukowanymi z V
jest przestrzeni¡ wektorow¡.
STWIERDZENIE 1.4. S jest podprzestrzeni¡ wektorow¡ wtedy i tylko wtedy,
gdy dla wszystkich
1
,
2
2R i v
1
,v
2
,2 S mamy
1
v
1
+
2
v
2
2 S
Dowod: Jedyn¡ rzecz¡ do sprawdzenia jest (oczywista) wykonalno±¢ działa« doda-
wania wektorów i mno»enia ich przez liczb¦. Pozostałe własno±ci działa« spełnione
s¡ automatycznie.
Ci¡g dalszy przykładów:
(G) Funkcje wielomianowe na R tworz¡ podprzestrze« wektorow¡ przestrzeni
wszystkich funkcji na R. Równie» przestrze« W
n
wielomianów stopnia6n
jest przestrzeni¡ wektorow¡, podprzestrzeni¡ przestrzeni wszystkich wielo-
mianów (funkcji wielomianowych).
(H) Inne podprzestrzenie przestrzeni Map(R,R): wielomianów parzystych, funk-
cji ci¡głych, funkcji ró»niczkowalnych, etc.
DEFINICJA 1.5. Niech V b¦dzie przestrzeni¡ wektorow¡ i niech b¦dzie dany ci¡g
wektorów v
1
,v
2
,... ,v
n
2 V . Wektor przestrzeni V postaci
1
v
1
+
2
v
2
+ ··· +
n
v
n
,
gdzie
i
2 K, nazywamy kombinacj¡ liniow¡ wektorów v
1
,... ,v
2
.
Niech teraz S b¦dzie dowolnym, ale niepustym podzbiorem przestrzeni V . Zbiór
kombinacji liniowych wektorów z S oznacza¢ b¦dziemy hSi.
4
1. Przestrzenie wektorowe
STWIERDZENIE 1.6. hSi jest podprzestrzeni¡ wektorow¡ przestrzeni V .
Dowod: Niech v,w 2hSi, tzn. v =
1
v
1
+ ... +
n
v
n
i w = µ
1
w
1
+ .. + µ
n
w
n
gdzie
v
i
, w
i
2 S i
i
,µ
i
2K. Dla dowolnych ,µ 2K mamy
v + µw = (
1
)v
1
+ ··· + (
n
)v
n
+ (µµ
1
)w
1
+ ··· + (µµ
m
)w
m
2 S
Uwagi:
a) Je»eli V W S i W jest podprzestrzeni¡ wektorow¡ to hSi W.
b) hSi jest najmniejsz¡ podprzestrzeni¡ wektorow¡ zawieraj¡c¡ S.
Przykład: S = {1,x,x + x
2
,x}. hSi = W
2
.
Inne przykłady b¦d¡ podane pó¹niej.
1.2. Liniowa niezale»no±¢. Baza.
DEFINICJA 1.7. Przestrze« wektorow¡ V nazywamy sko«czenie wymiarow¡, je-
»eli istnieje sko«czony zbiór wektorów S = {v
1
,v
2
,... ,v
k
} V taki, »e hSi = V .
Przykłady:
(1) V = K
n
i S = {e
1
,... ,e
n
} gdzie e
i
= (
1i
,...,
ni
).
(2) Przestrze« wielomianów stopnia62 i S = {1,x,x
2
}
(3) Przestrze« funkcji Map(R,R) nie jest sko«czenie wymiarowa (jest niesko«-
czenie wymiarowa). Równie» przestrze« wektorowa wszystkich wielomianów
nie jest wymiaru sko«czonego.
DEFINICJA 1.8. Układ wektorów (ci¡g wektorów - je±li uporz¡dkowany)
{v
1
,v
2
,... ,v
k
},v
i
2 V,
nazywamy linowo niezale»nym, je»eli zachodzi z równo±ci
1
v
1
+ ··· +
k
v
k
= 0
wynika, »e liczby
i
s¡ równe zero:
1
=
2
= ··· =
k
= 0.
Je»eli układ wektorów nie jest liniowo niezale»ny, to mówimy, »e jest liniowo zale»ny.
1.2. Liniowa niezale»no±¢. Baza
5
Przykłady:
(1) Wielomiany {1,t,t
3
} sa liniowo niezale»ne.
(2) Wektory (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) w R
3
s¡ liniowo niezale»ne.
(3) Wielomiany {1 + t,t−t
2
, 1 + t
2
} sa liniowo zale»ne:
(−1) · (1 + t) + (t−t
2
) + (1 + t
2
) = 0.
(4) Dowolny układ zawieraj¡cy wektor zerowy jest liniowo zale»ny. Kombinacja
z zerowymi współczynnikami przy wektorach niezerowych i jedynk¡ przy
zerze daje wektor zerowy.
(5) Je»eli v 6= 0 to układ {v} składaj¡cy si¦ z jednego wektora jest liniowo
niezale»ny.
DEFINICJA 1.9. Mówimy, »e wektor v jest liniowo zale»ny od układu wektorów
v
1
,v
2
,... ,v
k
, je»eli istniej¡ liczby
1
,... ,
k
takie, »e
v =
1
v
1
+ ··· +
k
v
k
lub, równowa»nie,
v 2h{v
1
,v
2
,... ,v
k
}i,
lub, równowa»nie,
h{v
1
,v
2
,... ,v
k
}i = h{v
1
,v
2
,... ,v
k
,v}i.
Poni»sze stwierdzenie nie wymaga dowodu.
STWIERDZENIE 1.10. Niech S = {v
1
,...,v
k
} b¦dzie sko«czonym układem
wektorów z przestrzeni wektorowej V . Wówczas
(1) Je±li S
0
S i S
0
jest liniowo zale»ny, to S te» jest liniowo zale»ny.
(2) Je±li S
0
S i S jest liniowo niezale»ny, to S
0
te» jest liniowo niezale»ny.
(3) Je±li 0 2 S, to S jest liniowo zale»ny
(4) S jest liniowo zale»ny wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnego i wektor v
i
jest
kombinacj¡ liniow¡ pozostałych wektorów z S.
DEFINICJA 1.11. Ci¡g (v
1
,...,v
k
) wektorów z V nazywamy baz¡, jezeli ka»dy
wektor v 2 V da si¦ przedstawi¢ jednoznacznie jako ich kombinacja liniowa:
v =
1
v
1
+ ··· +
n
v
n
Przykład:
[ Pobierz całość w formacie PDF ]