Algebra I wyklad 13

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wykład 13.
Klasykacja powierzchni stopnia
drugiegow
R
3
.
Denicja 13.1.1. (
Zamiana układu współrzed-
nych
)Translacje(przesuniecie)wprzestrzeni
R
3
okre
´
slamy jako
<
x
′
= x−x
0
y
′
= y−y
0
z
′
= z−z
0
,
:
gdziex, y, z s awspółrzednymidowolnegopunktu
P w pierwotnym układzie współrzednych (
sta-
rym
),x
′
, y
′
, z
′
s awspółrzednymipunktuP
′
wprze-
sunietymukładziewspółrzednych(
nowym
),na-
tomiast x
0
, y
0
, z
0
s a współrzednymi punktu P
0
(
pocz atkunowegoukładuwspółrzednych
)okre-
´slonymi wzgledem pierwotnego układu współ-
rzednych Oxyz. (
rysunek
)
Denicja13.1.2. (
Obrótukładuwspółrzednych
)
Maj acdanecosinusykierunkowe(
patrz: dygre-
sja w denicji 10.1.2.
) nowych osi Ox
′
, Oy
′
, Oz
′
wzgledemosi pierwotnych Ox, Oy, Oz
Ox
′
Oy
′
Oz
′
Ox cos
1
cos
2
cos
3
Oy cos
1
cos
2
cos
3
Oz cos
1
cos
2
cos
3
otrzymujemywzorynaobrótukładuwspółrzed-
nych
<
x
′
= x cos
1
+ y cos
1
+ z cos
1
y
′
= x cos
2
+ y cos
2
+ z cos
2
z
′
= x cos
3
+ y cos
3
+ z cos
3
.
:
Dygresja: WprzypadkuobrotuukładuOx
′
, Oy
′
, Oz
′
do układu Ox, Oy, Oz (czyli odwrotnie ni˙z po-
przednio) otrzymujemy
<
x = x
′
cos
1
+ y
′
cos
2
+ z
′
cos
3
y = x
′
cos
1
+ y
′
cos
2
+ z
′
cos
3
z = x
′
cos
1
+ y
′
cos
2
+ z
′
cos
3
.
:
Dygresja: Mo˙zemy jeszcze podac wyznacznik
przekształcenia jako
=
cos
1
cos
2
cos
3
cos
1
cos
2
cos
3
cos
1
cos
2
cos
3
lub
,
=
cos
2
cos
2
cos
2
cos
3
cos
3
cos
3
który jestniezmiennikiemprzekształcenia.
Denicja 13.1.3. Poło˙zenie dowolnego układu
współrzednychOx
′
, Oy
′
, Oz
′
wzgledemukładu
Ox, Oy, Oz mo˙zna okre
´
slic za pomoc a trzech
k atów Eulera (
rysunek
):
1. k atanutacji
zawartegomiedzydodatnimi
cze
´
sciami osi Oz i Oz
′
(0≤
< ),
2. k ata precesji zawartego miedzy dodat-
ni acze´sci aosiOxiprost alutworzon aprzez
przesuniecie płaszczyzn Oxy i Ox
′
y
′
i jest li-
czony w kierunku od osi Ox do Oy
(0≤ < 2),
3. k ataobrotuwła
´
sciwego
,któryzawartyjest
pomiedzy osi a Ox
′
i prost a l i jest liczony w
kierunku od osi Ox
′
do Oy
′
(0≤
< 2).
cos
1
cos
1
cos
1
Dygresja: Kosinusy kierunkowe mo˙zna wyzna-
czyc za pomoc a k atów Eulera jako
<
cos
1
= cos cos
−cos
sin sin
cos
2
=−cos sin
−cos
sin cos
cos
3
= sin
sin
,
:
8
<
cos
1
= sin cos
+ cos
cos sin
cos
2
=−sin sin
+ cos
cos cos
cos
3
=−sin
cos
,
:
<
cos
1
= sin
sin
cos
2
= sin
cos
cos
3
= cos
.
:
Denicja 13.1.4. Równanie ogólne powierzchni
stopnia drugiegow
R
3
ma postac
a
11
x
2
+ a
22
y
2
+ a
33
z
2
+
+2a
12
xy + 2a
23
yz + 2a
13
zx+
2a
14
x + 2a
24
y + 2a
34
z + a
44
= 0,
gdzie a
ij
∈
R
(1≤i≤4, 1≤j≤4) s a współ-
czynnikami powierzechni, przyczym a
12
= a
21
,
a
13
= a
31
, a
23
= a
32
, a
14
= a
41
, a
24
= a
42
,
a
34
= a
43
.
Twierdzenie 13.1.1. Nastepuj ace wielko´sci
a
11
a
12
a
13
a
14
,
a
21
a
22
a
23
a
24
=
a
31
a
32
a
33
a
34
a
41
a
42
a
43
a
44
=
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
,
S = a
11
+ a
22
+ a
33
,
T = a
11
a
22
+a
22
a
33
+a
33
a
11
−a
12
−a
23
−a
31
s aniezmiennikamipowierzchnistopniadrugiego.
Dygresja: Niezmienniki oznaczaj a takie wielko-
´
sci,któreniezmieniaj asiepodczaszamiany(trans-
lacji)układuwspółrzednychiprzyobrocieukładu
współrzednych.
[ Pobierz całość w formacie PDF ]