Algebra I wyklad 12

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wykład 12.
Wzajemne poło˙zenie prostych w
R
3
, proste skosne.
Denicja12.1.1. Rzutemuko
´
snympunktu P (x, y, z)
wzgledem wektora
−→
a =
[
a
x
, a
y
, a
z
]
na płasz-
czyzne nazywamypunkt P
′
x
′
, y
′
, z
′
tejpłasz-
czyzny, który do niej nale˙zy. (
rysunek
)
Dygresja: W szczególnym przypadku mamy
P P
′
⊥, co oznacza, ˙ze wektor kierunkowy
normalnym
−→
n płaszczyzny (
−→
k =
−→
n ).
Denicja12.1.2. Okre´slaniewielko´scizwi azanych
z płaszczyzn a:
1. Odległo´sc punktu P
0
(
x
0
, y
0
, z
0
)
od płasz-
czyzny : Ax + By + Cz + D = 0 jest
okre´slona jako
d =
|Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ D|
A
2
+ B
2
+ C
2
−→
k prostej l, na której le˙z a punkty jest wektorem
q
Dygresja: Odległo
´
sc punktu od płaszczy-
zny jestrównadługo
´
sci odcinka P P
′
, gdzie
P
′
2. Odległo´scipomiedzydwomarównoległymi
płaszczyznami
1
: Ax+By+Cz +D
1
= 0,
2
: Ax+By +Cz +D
2
= 0 okre´slasiejako
d =
|D
1
−D
2
|
q
A
2
+ B
2
+ C
2
kowym
−→
k dopłaszczyzny owektorzenor-
malnym
−→
n okre´slamy jako
cos
=
−→
n×
−→
k
−→
k
lub sin
=
−→
nâ—¦
−→
k
−→
k
|
−→
n|
|
−→
n|
4. K atmiedzydwiemapłaszczyznami
1
,
2
o
wektorach normalnych
−→
n
1
,
−→
n
2
wyra˙za sie
formuł a
cos
=
|
−→
n
1
â—¦
−→
n
2
|
|
−→
n
1
||
−→
n
2
|
x
′
, y
′
, z
′
jestrzutemprostok atnympunktu
P na płaszczyzne .
3. K at nachylenia prostej l o wektorze kierun-
Dencja12.1.3. Okre
´
slaniewielko
´
scizwi azanych
z prost a:
1. Odległo´scpunktuod P
0
(
x
0
, y
0
, z
0
)
odpro-
−→
k×
−−−→
d =
P
0
P
1
,
gdzie P
1
(
x
1
, y
1
, z
1
)
jest dowolnym punk-
tem le˙z acym na prostej l
2. Odległo´scpomiedzyprostymisko´snymi l
1
, l
2
wyra˙za sie wzorem
−−−→
d =
P
1
P
2
×
−→
k
1
â—¦
−→
k
2
−→
k
1
×
−→
k
2
,
gdzie
−→
k
1
,
−→
k
2
s a wektorami kierunkowymi
prostych sko´snym, natomiast punkty
P
1
(
x
1
, y
1
, z
1
)
, P
2
(
x
2
, y
2
, z
2
)
s apunktami
le˙z acymi na prostych l
1
i l
2
.
3. K atmiedzydwiemaprostymi l
1
i l
2
owekto-
−→
k
1
â—¦
−→
k
2
cos
=
−→
k
1
−→
k
2
stej l o wektorze kierunkowym
−→
k okre´slamy
jako
−→
k
rach kierunkowych
−→
k
1
,
−→
k
2
wyra˙za sie for-
muł a
Literatura
•
Białynicki-BirulaA.,Algebraliniowazgeometri a,PWN,
Warszawa 1976.
•
Biernat G., Matematyka 3, Wydawnictwo PCz, Cze-
stochowa2001.
•
Jurlewicz T., Skoczylas Z., Algebra liniowa cz. 1. De-
nicje,twierdzeniaiwzory., OcynawydawniczaGiS,
Wrocław2000.
•
Kiełbasinski A., Schetlick H., Numeryczna algebra li-
niowa, PWN, Warszawa 1992.
•
Mostowski A., Stark M., Algebra liniowa, PWN, War-
szawa 1968.
•
MostowskiA.,StarkM.,Elementyalgebrywy˙zszej,PWN,
Warszawa 1975.
•
TrajdosT., Matematykacz. III,WNT 1993.
[ Pobierz całość w formacie PDF ]