Algebra I wyklad 10

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wykład10.
Geometriaanalitycznawprzestrzeni
R
3
.
Iloczynskalarny,wektorowyimieszanywek-
torów.
10.1. Podstawowe definicje,własnosci.
Definicja 10.1.1. Przestrzeni a
R
3
bedziemy na-
zywac zbiór uporz adkowany (x, y, z) liczb rze-
czywistych
R
3
={(x, y, z) : x, y, z∈
R
}.
(
rysunek
-
przestrzen kartezjanska - orientacja
)
Dygresja: Współrzednepunktu P bedziemyozna-
czac przez P
(
x, y, z
)
, natomiast współrzedne
wektoraoznaczamyjako
−→
a =
[
a
x
, a
y
, a
z
]
. Baza
, gdzie
poszczególne wektory s a wersorami osi układu
współrzednych.
−→
i ,
−→
j ,
−→
k
Przestrzen
R
3
bedziemygeometrycznie uto˙zsa-
miac:
OP
0
, . . .
maj acych wspólny pocz atek w punkcie
O(0, 0, 0) - wektory te bedziemy nazywac
wektorami zaczepionymi
,
•ze zbiorem innych wektorów w przestrzeni,
P
1
P
0
- te wektory bedziemy na-
zywac
wektorami swobodnymi
.
Dladanychpunktów P
0
(
x
0
, y
0
, z
0
)
, P
1
(
x
1
, y
1
, z
1
)
P
1
P
0
wyra˙za sie przez
współrzedne
−→
u =
[
u
x
, u
y
, u
z
]
=
[
x
1
−x
0
, y
1
−y
0
, z
1
−z
0
]
,
OP
0
dlapunktu
wukładzieortokartezjanskim:
•zezbioremwszystkichliczbypunktów A, B, . . .
rozmieszczonych w tej przestrzeni,
•zezbioremwszystkichwektorów
−→
r
0
=
−−→
np.
−→
u
0
=
−−−→
wektor swobodny
−→
u =
−−−→
natomiast
wektorzaczepiony
−→
r =
−−→
P
0
jestokre´slony jako
−→
r = [r
x
, r
y
, r
z
] = [x
0
, y
0
, z
0
] . Dowolnywektor
−→
u =
[
u
x
, u
y
, u
z
]
mo˙zemy równie˙z przedstawic
jako
−→
u = u
x
−→
i + u
y
−→
j + u
z
−→
k ,
gdzie
−→
i ,
−→
j ,
−→
k s a wersorami osi układu współ-
rzednych.
Definicja10.1.2.
Długo´sci a
dowolnego
wektora
−→
a = [a
x
, a
y
, a
z
] nazywamy liczbe
|
−→
a|=
a
x
+ a
y
+ a
z
.
Dygresja: Je˙zeli
długo´scwektora
|
−→
a|jestnieze-
rowa to mo˙zemy okre´slic k aty kierunkowe tego
wektora jako
cos
=
|
−→
a|
, cos
=
|
−→
a|
, cos
=
|
−→
a|
.
Ponadto obowi azuje zale˙zno
´
sc
cos
2
+ cos
2
+ cos
2
= 1.
a
x
a
y
a
z
−→
a ,
−→
b∈
R
3
:
1.|
−→
a|≥0, natomiast|
−→
a|= 0⇔
−→
a =
−→
0
2.|
−→
a|=|
||
−→
a|dla
∈
R
3.
−→
a +
−→
b
≤|
−→
a|+
−→
b
4.
|
−→
a|−
−→
b
≤
−→
a−
−→
b
.
Definicja 10.1.3. W przestrzeni
R
3
punkty
P
1
, P
2
, . . . , P
n
s a współliniowe wtedy, gdy le˙z a
na jednej prostej.
Definicja 10.1.4. W przestrzeni
R
3
punkty
P
1
, P
2
, . . . , P
n
s awspółpłaszczyznowewtedy,gdy
s a zawarte w jednej płaszczy´znie.
Własnosc 10.1.2. Działania na wektorach:
1. sume (ró˙znice) wektorów
−→
a =
[
a
x
, a
y
, a
z
]
,
−→
b =
[
b
x
, b
y
, b
z
]
okre´slamynastepuj aco(re-
guła równoległoboku)
−→
a±
−→
b = [a
x
±b
x
, a
y
±b
y
, a
z
±b
z
]
Własnosc10.1.1. Własno
´
scidługo
´
sciwektorów,
2. mno˙zenie wektora
−→
u =
[
a
x
, a
y
, a
z
]
przez
liczbe
∈
R
−→
a = [
a
x
,
a
y
,
a
z
] .
torów
−→
a ,
−→
b∈
R
3
na prost a l jest równy sumie
rzutów wektorów na t a prost a, tzn.
L
−→
a +
−→
b
= L
(
−→
a
)
+ L
−→
b
.
Definicja 10.1.5. Wektory
−→
a ,
−→
b∈
R
3
s a współ-
liniowe (kolinearne) wtedy, gdy le˙z a na jednej
prostej.
Dygresja: Wektory współliniowe bedziemy rów-
nie˙z nazywac równoległymi i bedziemy ozna-
Definicja10.1.6. Wektory
−→
a ,
−→
b∈
R
3
s aortogo-
nalne (prostopadłe) wtedy, gdy rzut jednego
wektora na prost a, w której zawarty jest drugi
wektor, tworzywektor zerowy.
Własnosc 10.1.3. Rzut prostok atny L sumy wek-
czac przez
−→
a||
−→
b .
[ Pobierz całość w formacie PDF ]