Algebra I wyklad 08

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wykład8.
Układyrównanliniowych,układCra-
mera.
8.1. Układy równan liniowych
Definicja 8.1.1.
Uogólnionym układem równan
liniowych
nazywamy układ o postaci
AX = B,
m×n
(dla 1≤i≤m, 1≤j≤n,
m, n∈
N
oraz a
ij
∈
K
)jest
macierz awspółczyn-
ników
(zwan a
macierz agłówn a
), X =
a
ij
n×p
(dla 1≤k≤p, p∈
N
oraz x
jk
∈
K
) jest
macie-
rz a niewiadomych
i B = [b
ik
]
m×p
(dla b
ik
∈
K
)
jest
macierz a wyrazów wolnych
.
x
jk
Dygresja: Równie˙z uogólnionym układem rów-
nan bedziemynazywac układ o postaci
X
′
A
′
= B
′
,
gdzie nazwy poszczególnych macierzy s a to˙z-
samez
def. 8.1.1.
,natomiastichrozmiarywyno-
sz aodpowiednio A
′
=
a
ji
n×m
, X
′
=
x
kj
p×n
,
B
′
=
[
b
ki
]
p×m
.
gdzie A =
Twierdzenie8.1.1. Ka˙zdyukład X
′
A
′
= B
′
mo˙zna
zamienic na postac AX = B.
Dowód: Wykorzystajmy
własnosc6.1.4. -pkt. 4
.
Na mocy tej własno´sci mamy
T
T
i dalej
T
T
=
T
X
′
A
′
=
B
′
A
′
X
′
B
′
,
przy czym
A
′
T
= A,
B
′
T
= B,
T
= X (prosze spojrzec na rozmiary po-
szczególnychmacierzy). Podstawiaj acotrzymu-
jemy AX = B.
€
Dygresja: W dalszych rozwa˙zaniach bedziemy
posługiwac sie zapisem AX = B. Rozpisuj ac
nasz uogólniony układ równan w zapisie ma-
cierzowym otrzymujemy
2
a
11
. . . a
1n
3
2
x
11
. . . x
1p
3
2
b
11
. . . b
1p
3
4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
. . . a
mn
5
4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x
n1
. . . x
np
5
=
4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b
m1
. . . b
mp
5
lub rozpisuj ac na poszczególne równania
8
<
a
11
x
11
+ a
12
x
21
+ . . . + a
1n
x
n1
= b
11
a
11
x
12
+ a
12
x
22
+ . . . + a
1n
x
n2
= b
12
.
.
.
.
a
m1
x
1p
+ a
m2
x
2p
+ . . . + a
mn
x
np
= b
mp
:
X
′
Wkonsekwencjimamy np niewiadomychi mp
równan.
Definicja 8.1.2. Macierz X nazywamy
rozwi aza-
niem uogólnionego układu równan
AX = B
wtedy, gdyspełnia ten układ.
Własnosc 8.1.1. Układ równan AX = B, który:
1. ma dokładnie jedno rozwi azanie jest
ukła-
demoznaczonym
,
2. nie ma rozwi azania jest
układem sprzecz-
nym
.
Definicja 8.1.3. Je˙zeli w układzie zadanym
de-
finicj a 8.1.1.
macierz B jest niezerowa to taki
układnazywamy
układemniejednorodnym
. Na-
tomiastje˙zeli B = 0
m×p
totakiukładnazywamy
układem jednorodnym
.
Dygresja: Jednym z rozwi azan układu jedno-
2
3
4
0 . . . 0
rodnego AX = 0
m×p
jest X =
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 . . . 0
5
.
Definicja 8.1.4. Układ równan liniowych
AX = B
bedziemynazywac
uogólnionymukłademCra-
mera
wtedy, gdy A =
a
ij
n×n
bedzie macie-
n×p
, B = [b
ik
]
n×p
orazdodatkowomacierz A bedzienieosobliwa.
x
jk
Dygresja:
Uogólniony układ Cramera
jest ukła-
dem oznaczonym.
Definicja 8.1.5. W uogólnionym układzie Cra-
meraprzyjmuj ac p = 1 otrzymujemy
układrów-
nan Cramera
o postaci AX = B, gdzie
A =
n
jest wektorem niewiado-
mych i B = [b
i
]
n
jest wektorem wyrazów wol-
nych.
x
j
rz a kwadratow a, X =
n×n
jest nieosobliw a macierz a współ-
czynników, X =
a
ij
8.2. Rozwi azywanieukładów równan Cramera
Twierdzenie 8.2.1. Je˙zeli układ równan
AX = B
jest
układem
równan
Cramera
(lub
uogólnio-
nym układem równan Cramera
) toposiada on
dokładnie jednorozwi azanie w postaci
X = A
−1
B.
Dowód: (
na wykładzie zostawic miejsce
)
€
[ Pobierz całość w formacie PDF ]