Algebra I wyklad 07

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wykład 7.
Rz ad macierzy, macierz odwrotna -
ci ag dalszy.
Przypomnijmysobiezpoprzedniegowykładude-
finicjerzedumacierzy(
def. 6.2.1.
). Przypomnijmy
sobie równie˙z rodzaje macierzy (
def. 5.1.2.
, a
szczególnie
def. 5.1.7.
).
7.1. Rz ad macierzy
Własnosc 7.1.1. Własno
´
sci rzedu macierzy
A =
m×n
:
1. Rz admacierzynieulegazmianieje˙zeli: prze-
stawimy kolumny (wiersze) w macierzy, po-
mno˙zymykolumny(wiersze)przezliczberó˙zn a
od zera, do kolumny (wiersza) dodamy li-
niow a kombinacje kolumn (wierszy) pozo-
stałych.
2. 0≤rzA≤min (m, n) .
3. je˙zeli A jest nieosobliwa (
def. 5.1.7.
) (co
oznacza, ˙ze jest wymiaru n×n) to
rankA = n.
a
ij
4. rank
A
T
= rankA.
5. je˙zeli A = D (tzn. jestmacierz a diagonaln a
-
def. 5.1.2.
-
pkt. 5
)torz admacierzydiago-
nalnej bedzie równy liczbie jej niezerowych
elementów.
m×n
(
def. 5.1.2.
-
pkt. 8
) składaj ac a sie z ma-
cierzy A =
[
a
kl
]
m
1
×n
1
, B =
[
b
kl
]
m
2
×n
2
w
układzie
c
ij
C =
A 0
m
1
×n
2
0
m
2
×n
1
B
(przy czym m = m
1
+ m
2
i n = n
1
+ n
2
)
mo˙zemyobliczyc jej rz ad według wzoru
rankC = rankA + rankB
Przykłady
Obliczyc rzedy macierzy:
4
2−1 3−2 4
3
−1−1−2
1 1 2
,
4−2 5 1 7
2−1 1 8 2
5
6. Maj acdan amacierzblokow a C =
2
7.2. Macierz odwrotna
Wa˙zna dla nas bedzie równie˙z
def. 5.1.6.
(
do-
pełnienie algebraiczne
) oraz definicja macie-
rzy odwrotnej (
def. 6.2.2.
).
n×n
, która jest nieosobliwa i ob-
liczaj ac wszystkie jej dopełnienia algebraiczne
według wzoru(
def. 5.1.6.
)
d
ij
= (−1)
i+j
det M
ij
,
gdzie M
ij
jest macierz a minorów (
def. 5.1.2. -
pkt. 10
), otrzymujemy macierz
dopełnien alge-
braicznych
w formie
A
D
=
d
ij
n×n
Dygresja: Powy˙zszadefinicjajestuzupełnieniem
rodzajów macierzy - def. 5.1.2.
Definicja 7.2.1. Maj ac dan a macierz kwadra-
tow a A =
a
ij
Czynnik (−1)
i+j
w definicji dopełnienia alge-
braicznegotworzytzn. macierz(siatke)znaków,
tzn.
2
3
+−+−. . .
−+−+ . . .
+−+−. . .
−+−+ . . .
4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
n×n
jest nieosobliwa to
macierz od-
wrotn a
obliczamy wedługwzoru
A
−1
=
1
det A
A
D
T
.
Dygresja: Powy˙zsza formuła jest uzupełnieniem
definicji 5.1.2. - pkt. 11
.
Twierdzenie 7.2.1. Je
´
sli macierz kwadratowa
A =
a
ij
n×n
s a
odwracalne i
∈
K
\{0}, n∈
N
to zachodz a
nastepuj ace to˙zsamo´sci:
a
ij
n×n
, B =
b
ij
1. det
A
−1
=
1
det A
2.
A
T
−1
=
A
−1
T
3.
(
A
)
−1
=
1
A
−1
4.
A
−1
−1
= A
5. (AB)
−1
= B
−1
A
−1
6.
(
A
n
)
−1
=
A
−1
n
Własnosc 7.2.1. (
własno´sci macierzy odwrot-
nych
)Je˙zelimacierze A =
[ Pobierz całość w formacie PDF ]