Algebra I wyklad 06

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wykład 6.
Działania na macierzach. Rz ad ma-
cierzy, macierzodwrotna.
6.1. Działaniana macierzach
Definicja 6.1.1. W wyniku sumy (ró˙znicy) macie-
rzy A =
a
ij
i B =
b
ij
orozmiarach m×n po-
wstaje macierz C =
c
ij
m×n
, której elementy
okre´slone s a wzorem
c
ij
= a
ij
±b
ij
dla 1≤i≤m, 1≤j≤n. Wynik oznaczamy
przez C = A±B.
m×n
przez liczbe
∈
K
powstaje ma-
cierz C =
c
ij
m×n
, której elementy okre
´
slone
s a wzorem
c
ij
=
a
ij
dla 1≤i≤m, 1≤j≤n. Wynik oznaczamy
przez C =
A.
Definicja6.1.2. Wwynikupomno˙zeniamacierzy
A =
a
ij
Dygresja: Zobacz
wykład 5 - własnosc 5.2.1.
Własnosc 6.1.1. (
liniowo
´
sc działan na macier-
zach
)Je˙zelimacierze A, B, C bed amacierzami
tego samego wymiaru, których elementy na-
le˙z adotegosamegociałaorazniech
,
∈
K
to zachodz a nastepuj ace zale˙zno´sci:
1. A±B = B±A
2. A±0 = 0±A = A
3.
(
A±B
)
=
A±
B
4. 1A = A
5. A±(B±C) = (A±B)±C
6. A + (−A) = 0
7.
(
±
)
A =
A±
A
8.
(
)
A =
(
A
)
Definicja 6.1.3. W wyniku pomno˙zenia dwóch
macierzy A =
a
ij
m×n
(1≤i≤m, 1≤j≤n)
n×o
(1≤j≤n, 1≤k≤o) po-
wstaje macierz C = [c
ik
]
m×o
, której elementy
okre´slone s a wzorem
b
jk
c
ik
=
n
a
ij
b
jk
.
j=1
Dygresja: Mno˙zeniemacierzyjestantyprzemienne.
Aby pomno˙zyc dwie macierze przez siebie to
liczba kolumn w pierwszej macierzy musi byc
równa liczbie wierszyw drugiejmacierzy.
Własnosc6.1.2. Najwygodniejwykonujesiemno-
˙zenie macierzy przy pomocy schematu Falka:
2
k−kolumna
3
b
1k
4
.
.
.
. . . b
jk
5
.
.
.
b
nk
. . .
2
.
.
.
a
i1
. . . a
ij
3
2
.
.
.
. . . c
ik
3
i−wiersz
4
.
.
.
. . . a
in
5
4
.
.
.
. . .
5
i B =
Własnosc6.1.3. Działaniazuwzglednieniemilo-
czynu macierzy s a nastepuj ace:
1. dla macierzy A =
a
ij
m×n
, B =
b
jk
n×o
i
n×o
zachodzi
A (B±C) = AB±AC
2. dla macierzy A =
c
jk
a
ij
m×n
, B =
b
ij
m×n
i
n×o
zachodzi
(A±B) C = AC±BC
3. dla macierzy A =
c
jk
a
ij
m×n
i B =
b
jk
n×o
,
i
∈
K
zachodzi
A (
B) = (
A) B =
(AB)
4. dla macierzy A =
a
ij
m×n
, B =
b
jk
n×o
i
C =
[
c
kl
]
o×p
zachodzi
(
AB
)
C = A
(
BC
)
5. dla macierzy A =
a
ij
m×n
, I
n
=
jk
n×o
,
o×m
zachodzi
AI
n
= I
m
A = A
6. dlamacierzy A =
kj
n×n
i p∈
N
zachodzi
(
A
)
p
= A . . . A
a
ij
p−
razy
C =
C =
I
m
=
Własnosc6.1.4. Działaniazuwzglednieniemtrans-
pozycji macierzy (zobacz
wykład 5 - definicja
5.1.2. pkt. 9
):
1. dlamacierzy A =
a
ij
m×n
zachodzi
A
T
T
= A
2. dla macierzy A =
a
ij
m×n
, B =
b
ij
m×n
zachodzi
(A + B)
T
= A
T
+ B
T
3. dla macierzy A =
a
ij
m×n
i
∈
K
zacho-
dzi
(
A)
T
=
A
T
4. dla macierzy A =
a
ij
m×n
, B =
b
jk
n×o
zachodzi
(
AB
)
T
= B
T
A
T
5. dlamacierzy A =
a
ij
m×n
i p∈
N
zachodzi
(
A
p
)
T
=
A
T
p
[ Pobierz całość w formacie PDF ]