Algebra I wyklad 05

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wykład 5.
Wyznaczniki, definicja i własnosci.
Macierze, definicja i własnosci
5.1. Podstawowe pojecia
N
,
gdzie 1≤i≤m i 1≤j≤n, przyporz adkujemy
dowoln a liczbe a
ij
∈
K
(lub funkcje) to otrzy-
mamy
2
a
11
a
12
. . . a
1j
. . . a
1n
3
4
5
a
21
a
22
. . . a
2j
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
A =
a
i1
a
i2
. . . a
ij
. . . a
in
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
a
m2
. . . a
mj
. . . a
mn
któr abedziemynazywac
macierz aprostok atn a
o wymiarze m×n.
Dygresja: Macierze bedziemy zazwyczaj ozna-
czac du˙zymi literami, np. A, B, C lub
a
ij
m×n
lub
a
ij
.
Definicja 5.1.1. (
Macierzy
) Je˙zeli ka˙zdej upo-
rz adkowanej parze liczb naturalnych i, j∈
Przykłady macierzy:
A =
1 2 3 4
0−3−2 1
B =
1 + i 1−
√
3i 2 + 2
√
3i
X =
ln x e
−2x
tgx−cos x
Definicja 5.1.2. Rodzaje macierzy:
1. Macierz A bedziemynazywac
macierz akwa-
dratow a
, gdy m = n. Dodatkowo dla ma-
cierzy kwadratowych m (czy n) nazywa sie
stopniem macierzy
. Elementy a
ii
, dla
1≤i≤n, tworz a
główn a przek atn a
ma-
cierzy. Przykłady:
[1] - macierz stopnia pierwszego,
−macierz stopnia drugiego
2.
Macierz zerowa
:
2
3
4
0 0 . . . 0
0
m×n
=
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . 0
5
−3 4
2−1
0 0 . . . 0
3. Macierz kwadratowa
trójk atna dolna
2
3
a
11
0 0 . . . 0
a
21
a
22
4
0 . . . 0
5
L =
a
31
a
31
a
33
. . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
a
n2
a
n3
. . . a
nn
4. Macierz kwadratowa
trójk atna górna
2
3
a
11
a
12
a
13
. . . a
1n
0 a
22
a
23
. . . a
2n
0 0 a
33
. . . a
3n
U =
4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 0 . . . a
nn
5
5.
Macierz diagonalna
2
3
a
11
0 0 . . . 0
0 a
22
0 . . . 0
0 0 a
33
D =
4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 0 . . . a
nn
. . . 0
5
6.
Macierz jednostkowa
2
3
1 0 0 . . . 0
0 1 0 . . . 0
0 0 1 . . . 0
I = E =
4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 0 . . . 1
5
Czesto
macierzjednostkow a
oznaczamysym-
bolem
ij
=
1 dla i = j
0 dla i = j
,
który nazywamy delt aKroneckera.
7.
Macierz
kwadratowa
charakterystyczna
2
a
11
−
a
12
. . .
a
1n
3
4
5
a
21
a
22
−
. . .
a
2n
W (
) =
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
a
n2
. . . a
nn
−
gdzie
∈
K
jestdowoln a zmienn a.
8.
Macierz blokowa
2
3
A
11
A
12
A
13
. . . A
1n
A
21
A
22
A
23
. . . A
2n
A
31
A
32
A
33
. . . A
3n
B =
4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
A
m1
A
m2
A
m3
. . . A
mn
5
gdzie macierze A
i1
, A
i2
, . . . , A
in
stoj ace w
i-tym wierszumusz a miec tak a sam a liczbe
wierszy. Podobniedla A
1j
, A
2j
, . . . , A
mj
sto-
j acew j-tejkolumniemusz amiectakiesame
liczbykolumn. Czestou˙zywamypojecia
ma-
cierzy doł aczonej
, która jest macierz a blo-
kow a.
9.
Macierztransponowana
powstajeprzezza-
miane wierszy z kolumnami dla 1≤i≤m i
1≤j≤n. Wtedy piszemy A
T
- co oznacza
macierz transponowan a
. Czesto te˙z nazy-
wamyj a
macierz a przestawion a
. Np.:
A =
a
1
a
2
,
A
T
=
a
1
a
2
B =
b
11
b
12
b
21
b
22
, B
T
=
b
11
b
21
b
12
b
22
10.
Macierz minorów
- powstaje przez skre
´
sle-
niewewn atrzmacierzy A i-tegowierszaoraz
j-tejkolumny. Przykładowomaj acdan ama-
cierz
2
3
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
A =
4
5
tworzymyprzykładowemacierzedopełnien
algebraicznych
M
11
=
a
22
a
23
−skre´slaj ac 1 wierszi 1 kolumne
a
32
a
33
[ Pobierz całość w formacie PDF ]