Algebra I wyklad 02

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wykład2.
Postacieialgebraliczbzespolonych.
Przypomnijmy sobie denicje liczby zespolonej
(
denicja 1.3.2.
+
rysunek
).
2.1. Postac algebraicznaliczby zespolonej
Postac algebraiczna liczby zespolonej:
z = x + iy, z∈
C
, x, y∈
R
oraz i =
√
−1 jest
jednostk a urojon a.
R
) nazywamy liczbe zespo-
lon a z o postaci z = x−iy.
Liczbazespolonasprze˙zonajestobrazemsyme-
triiwzgledemosi Re z.
WÅ‚asnosc 2.1.1. Algebra liczb zespolonych
z
1
, z
2
, z
3
C
w postaci algebraicznej:
1. równo´sc dwóch liczbzespolonych
z
1
= z
2
⇔x
1
= x
2
oraz y
1
= y
2
Denicja 2.1.1. Sprze˙zeniem liczby zespolonej
z = x + iy (x, y∈
∈
2. suma liczb zespolonych (rysunek)
z
1
+ z
2
= (x
1
+ x
2
) + i (y
1
+ y
2
)
3. iloczyn liczb zespolonych (rysunek)
z
1
z
2
=
(
x
1
x
2
−y
1
y
2
)
+ i
(
x
1
y
2
+ x
2
y
1
)
4. dodowanieliczbzespolonychjestprzemienne
z
1
+ z
2
= z
2
+ z
1
5. i Å‚ aczne
(
z
1
+ z
2
)
+ z
3
= z
1
+
(
z
2
+ z
3
)
6. istnieje element neutralny 0 = 0 + i0, dla
którego
z + 0 = z
7. istnieje liczba przeciwna−z =−x−iy, dla
której
z + (−z) = 0
8. mno˙zenieliczbzespolonychjestprzemienne
z
1
z
2
= z
2
z
1
9. liczba zespolona 1 = 1 + i0 spełnia rów-
no´sc
z1 = z
10. dladowolnej liczby z = x + iy
= 0 wyra˙ze-
nie
z
=
x
x
2
+ y
2
−i
y
x
2
+ y
2
spełnia równo´sc
z
= 1
Dygresja: liczbe
z
mno˙zymy przez wyra˙ze-
z
1
nie sprze˙zone, tzn.
zz
11. mno˙zenie liczb zespolonych jest rozdzielne
wzgledemdodawania (odejmowania)
z
1
(z
2
+ z
3
) = z
1
z
2
+ z
1
z
3
12. ró˙zniceliczbzespolonych zapisujemywpo-
staci
z
1
−z
2
= z
1
+ (−z
2
)
1
13. iloraz liczbzespolonych okre´slamy jako
z
1
z
2
= z
1
1
z
2
= z
1
z
2
z
2
je˙zeli z
2
= 0
2.2. Postac trygonometrycznaliczby zespolonej
Wprowad´zmy dodatkowe pojecia.
Denicja 2.2.1.
Modułem
liczby zespolonej
z = x + iy (x, y∈
|z|=
x
2
+ y
2
Dygresja: Moduł liczby z to długo´sc odcinka -
odległo´scpunktu z odpocz atku układuwspół-
rzednych (
rysunek
). Moduł|z
1
−z
2
|jest długo-
´sci a odcinka ł acz acego punkty z
1
, z
2
.
Własnosc 2.2.1. Wła´sno´sci modułów liczb
z
1
, z
2
, z
3
∈
C
:
1.|z
1
|=|z
1
|=|−z
1
|
2. z
1
z
1
=|z
1
|
2
z
2
R
)nazywamyliczberzeczywi-
st a|z|okre´slon a jako
3.|z
1
z
2
|=|z
1
||z
2
|
4.
z
1
z
2
=
|z
1
|
|z
2
|
5.|z
1
+ z
2
|≤|z
1
|+|z
2
|
6.||z
1
|−|z
2
||≤|z
1
−z
2
|
7.|Re z
1
|≤|z
1
| |Im z
1
|≤|z
1
|
8.|Re (z
1
z
2
)|≤|z
1
||z
2
|
Denicja 2.2.2.
Argumentem
liczby zespolonej
z = x + iy
= 0 (x, y∈
R
) nazywamy liczbe
∈
R
, która spełnia poni˙zszy układ równan
8
<
:
cos
=
y
|z|
.
sin
=
Denicja 2.2.3.
Argumentem głównym
liczby
zespolonejnazywamy
argument
okre´slonyprzez
denicje 2.2.2.
, który jest ograniczony do prze-
działu 0≤
< 2 (lub− <
≤).
Argument
główny
oznaczamy przez arg z.
x
|z|
[ Pobierz całość w formacie PDF ]