All zakres kol 1

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->UKSWInformatyka2015/2016ALGEBRA LINIOWAKazimierz JezuitaKolokwium 1 - zakres, typowy zestaw zadańZadanie 1.1.1.Iloczyn kartezjański, relacje.Zbadać właściwości następujących relacjiRw zbiorzeA�½0,1, 2�½:(m, n)RAAjeślia)mn�½m,b)mnA,c)m�½maxn,1�½, d)m2n2�½2,e)mn1.2.Relacja, częściowy porządek.NiechB�½, 2, 3, 4�½. Wykazać, że relacja w zbiorzeBBokreślona następująco:1(m, n) ~ (k , l )jeślimkinl, jest relacją porządku? Podać przykład najdłuższego,uporządkowanego ciągu elementów zbioruBB.1.3.Relacja równoważności, klasy równoważności.Wykazać, że relacja wRRtaka, żerównoważności. Opisać klasy równoważności.1.4.Relacja, wykres funkcji.Czy relacjaRNZ,R�½( x, y) : x2�½y2x1, y1~x2, y2jeślix1y2�½x2y1jest relacją�½może być wykresem funkcjif :NZ?1.5.Funkcja, injekcja, surjekcja, obraz zbioru, przeciwobraz zbioru.Czy funkcjaf : ZZZ,f (m, n)�½mn1jest: a) injekcją?Znaleźćb) surjekcją?f ( A{1})orazf1({0})if1({3}).Zadanie 2.2.1.Współrzędne wektora w bazie.Czy układ trzech wektorów z przestrzenijest liniowo zależny? Wybrać spośród tych wektorów takie, które utworzą bazę.Wyznaczyć współrzędne wektoraw tej bazie. W trakcie rozwiązywania zadaniawektor pojawił się w trzech różnych postaciach. Podać te postaci.2.2.Baza w przestrzeni liniowejCzy wielomiany:,,tworzą bazę w przestrzeniR2[]?Wyznaczyć współrzędne wektoraw tejbazie.2.3.Podprzestrzeń liniowa.Wykazać, że następujące zbiory wektorów w przestrzeni liniowej tworzą podprzestrzenieliniowe w przestrzeni. Wyznaczyć bazy i wymiary tych podprzestrzeni:a) pierwsza i ostatnia współrzędne są sobie równe,b) parzyste współrzędne są sobie równe,c) nieparzyste współrzędne są sobie równe.1UKSWInformatyka2015/2016ALGEBRA LINIOWAKazimierz JezuitaZadanie 3.3.1.Przekształcenie liniowe,macierz przekształceniaKtóre z poniższych odwzorowań są przekształceniami liniowymi?a)f:R2R,f(x1,x2)�½2x13x2c)f:RR2,f(x)�½(x2,2x)d)2b)f:R2R,f(x1,x2)�½3x12x2f:R3R2,f(x)�½(3x, 2x).W przypadku przekształcenia liniowego wyznaczyć macierz przekształcenia liniowego w bazachstandardowych.3.2.Przekształcenie liniowe, macierz przekształceniaMacierz przekształcenia liniowegof:R2R2[]w bazach:e1�½(1,0),e2�½(0,1)oraze'1(x)�½x2,e'2(x)�½x,e'3(x)�½1,ma postaćZnaleźć wielomian będący obrazem wektora.Zadanie 4.4.1.Liczba zespolona. Postać algebraiczna i trygonometryczna. Płaszczyzna zespolona.Znaleźć część rzeczywistą i urojoną liczby zespolonejzpostaci:Obliczyć moduł liczby zespolonej z .Czy liczbaznależy do zbioru4.2.Pierwiastki z liczby zespolonej. Płaszczyzna zespolona.Obliczyć i narysować na płaszczyźnie zespolonej pierwiastki:a)4?2i 12b)(54i)44.3.Pierwiastki z liczby zespolonej. Płaszczyzna zespolona. Odległość punktów.Jednym z wierzchołków kwadratu jest punktz1�½4i. Wyznaczyć pozostałe wierzchołkikwadratu oraz długość jego boku, jeśli środkiem tego kwadratu jesta)z�½3ib)z�½2 [ Pobierz całość w formacie PDF ]