All zad

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->UKSWInformatyka2015/2016ZADANIA - Seria 1ALGEBRA LINIOWAKazimierz Jezuita1.Relacja rekurencyjna, konwencja sumacyjna, suma ciągu geometrycznego.Znaleźć wzór na ogólny wyraz ciągu opisanego relacją rekurencyjną:x1�½3,xn�½xn12n,sprowadzając problem do obliczania sumyxn�½ak�½nk,ak�½?.2. Konwencjasumacyjna, zmiana wskaźnika sumacyjnego, przemienność sumowania.Obliczyć sumęSn�½(12k)w następujący sposób. Dokonując zamiany wskaźnikak�½nsumacyjnegokl�½nkotrzymujemy nową postać sumySn�½(l�½n). Dodając obawyrażenia na sumę obliczamy2Sn( wskaźniki sumacyjne oznaczamy przy tym tą samą literąj).3. Konwencjasumacyjna, dwumian Newtona, symbol Newtona.Przedstawić wyrażeniexx110w postaci sumy. Obliczyć współczynniki liczbowe przyx5ix.4. Konwencjasumacyjna, symbol Newtona, zasada indukcji 1, suma ciągu arytmetycznego.n1Wykazać metodą indukcji, że(nk)k�½ 3.k�½n5.Relacja rekurencyjna, zasada indukcji 2.Wykazać metodą indukcji, że ogólny wyraz ciągu określonego rekurencyjnie:a1�½6,a2�½18,an2�½2an18an18ma postaćan�½4n2.6.Dowód nie wprost, ciąg arytmetyczny, liczby wymierne i niewymierne.Czy liczby rzeczywiste a,b,c mogą być wyrazami (niekoniecznie kolejnymi) ciąguarytmetycznego, jeśliabc;aibsą wymierne, natomiastcniewymierne?7.Dowód nie wprost, ciąg geometryczny, rozkład liczby naturalnej na czynniki pierwsze.Czy liczby7 , 11 , 17mogą być wyrazami (niekoniecznie kolejnymi) ciągugeometrycznego?8.Iloczyn kartezjański, relacje.Zbadać właściwości następujących relacjiRw zbiorzeA�½0,1, 2�½:(m,n)RAAjeślia)mn�½m,b)mnA,c)m�½maxn,1�½, d)m2n2�½2,e)mn9.Relacja, częściowy porządek.1NiechB�½, 2, 3, 4�½. Wykazać, że relacja w zbiorzeBBokreślona następująco:(m,n) ~ (k,l)jeślimkinl, jest relacją porządku? Podać przykład najdłuższego,uporządkowanego ciągu elementów zbioruBB.Wykazać, że relacja wRRtaka, żex1,y1~x2,y2jeślix1y2�½x2y1jest relacjąrównoważności. Opisać klasy równoważności.Czy relacjaRNZ,R�½(x,y) :x2�½y210.Relacja równoważności, klasy równoważności.11.Relacja, wykres funkcji.�½może być wykresem funkcjif:NZ?b) surjekcją?12.Funkcja, injekcja, surjekcja, obraz zbioru, przeciwobraz zbioru.Czy funkcjaf : ZZZ,f (m, n)�½mn1jest: a) injekcją?Znaleźćf(A{1})orazf1({0})if1({3}).UKSWInformatyka2015/2016ZADANIA - Seria 2ALGEBRA LINIOWAKazimierz Jezuita1. Grupa, element neutralny , element odwrotny.Wykazać, że(Z,), gdzieab�½ab2jest grupą. Wyznaczyć postać elementu neutralnegoeoraz elementu odwrotnegoa1.2. Grupa, podgrupa.Znaleźć najmniejszą podgrupę grupy(Z,)zawierającą następujące liczby:a)4,6�½b)3, 5�½3. Grupa, homomorfizm, izomorfizm.Wykazać, że przekształcenief:ZZgrupy(Z,). Czy jest ono izomorfizmem?postacif(m)�½5mjest homomorfizmem4. Grupa, podgrupa, twierdzenie Lagrange’a, grupa abelowa.Wykazać na trzy różne sposoby, że zbiór A={e,a,b,c,d} z działaniem opisanym w tabelceeabcdeeabcdaaedbcbbcadeccdeabddbceanie jest grupą.a) sprawdzając aksjomaty grupy,b) korzystając z twierdzenia Lagrange’a,c) korzystając z faktu, że każda grupa posiadająca nie więcej niż 5 elementów jest abelowa.5. Grupa przekształceń, podgrupa, grupa abelowa.Opisać grupę przekształceń symetrii trójkąta równobocznego podając tabelkę mnożenia orazwyznaczyć jej podgrupy. Czy jest to grupa abelowa?6.Ciało, równanie kwadratowe.W cieleQ( 2 )rozwiązać równaniex2(42 2 ) x32 2�½7. Definicja ciała. .Czy zbiór liczbA�½0,1, 2, 3, 4, 5)�½z dwoma działaniami: dodawaniem i mnożeniem modulo 6jest ciałem?8. Definicja przestrzeni liniowej.( x1, y1)( x2, y2)�½( x1x2, y1y2)Czy zbiórR2z dodawaniemi mnożeniem przez liczbę( x, y)�½(x, y)jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych.9. Podprzestrzeń liniowa.Czy zbiórSR3taki, żea , v , uR3ustalone3S�½ xR : x�½atvsu , gdzie�½t, sRjest podprzestrzenią liniową?10.Przekształcenie liniowe.Które z poniższych odwzorowań są przekształceniami liniowymi?a)f : R2R,f( x1, x2)�½2 x13x2c)f : RR2,f ( x)�½( x2,2 x)d)2b)f : R2R,f( x1, x2)�½3x12 x2f : R3R2,UKSWInformatyka2015/2016ZADANIA - Seria 3ALGEBRA LINIOWAKazimierz Jezuita1. Czy układ czterech wektorów z przestrzeni:jest liniowo niezależny? Wybrać spośród tych wektorów takie, które utworzą bazę.Wyznaczyć współrzędne wektoraw tej bazie. W trakcie rozwiązywania zadaniawektor pojawił się w trzech różnych postaciach: element zbioru , kombinacja liniowawektorów bazy, wektor kolumnowy współrzędnych. Podać te postaci.2. Znane są współrzędne wektoraw bazie:e1�½(2,1),e2�½(1,1),Wyznaczyć postać naturalną wektora,.. Obliczyć współrzędne wektoraw bazie3. Dobrać wielomianw3( x)tak, aby zbiór wielomianóww1, w2, w3�½, gdzie.w1( x)�½x2x,w2( x)�½2 x21,tworzył bazę w przestrzeni liniowejR2[],wielomianów postaci4.Wyznaczyć macierz przekształcenia liniowegof : R3R2,.w bazach standardowych. Korzystając z postaci macierzy przekształcenia liniowego wyznaczyćobraz wektora.5. Macierz przekształcenia liniowegof : R2R2[]w bazach:e1�½(1,0),e2�½(0,1)e'1( x)�½1,e'2( x)�½x,e'3( x)�½x2,orazma postać:Znaleźć wielomian będący obrazem wektora6. Macierzprzekształcenia liniowego.f : R2R3w bazach:e1�½(1,0),e2�½(0,1)oraze'1�½(1,0,2),e'2�½(0,1,1),e'3�½(2,0,1), ma postaćWyznaczyć współrzędne wektoraw baziedla. Wyznaczyć postać naturalnąwektora. Podać wzór określający to przekształcenie.UKSWInformatyka2015/2016ZADANIA- Seria 4ALGEBRA LINIOWAKazimierz Jezuita1. Postać algebraiczna liczby zespolonej, moduł.Znaleźć część rzeczywistą, urojoną oraz moduł liczby zespolonejzpostaci:a)(1i)2iz�½(1i)2ib)z�½(5i)(76i)3i2. Postać algebraiczna liczby zespolonej, sprzężenie.Rozwiązać równaniea)z1�½ 1z1b)z23z�½3. Płaszczyzna zespolona. Odległość punktów a moduł różnicy liczb zespolonych.Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej zbiory liczb zespolonych spełniających podane warunki:a)z2zi1b)z2i2 z34. Płaszczyzna zespolona. Postać trygonometryczna liczby zespolonej.Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej zbiory liczb zespolonych spełniających podane warunki:a)Re( z2i)1, b)Arg 2iz/ 3,c)zi2, d)Im(iz3i1) 25. Postać trygonometryczna liczby zespolonej. Wzór de Moivre’a.Zapisać w postaci algebraicznej liczbę z:1i 3a)z�½ 1i6.7.20b)z�½(1i)3i33iDwumian Newtona. Wzór de Moivre’a.Wyrazić funkcjęsin 4 xprzez funkcjesin xicos x.Postać trygonometryczna liczby zespolonej. Wzór de Moivre’a.Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej zbiory liczb zespolonych spełniających podane warunki:a)8.Im( z3)b)Re( z4)Postać wykładnicza liczby zespolonej. Wzór Eulera.Rozwiązać równaniea)9.(z)2z2�½4z2b)z�½iz3Wzór Eulera. Pierwiastki z liczby zespolonej.Rozwiązać równaniea)( zi)4�½( zi)410. Pierwiastki z liczby zespolonej.b)z42z24�½Obliczyć i narysować na płaszczyźnie zespolonej pierwiastki:a)42i 12b)(54i)411. Pierwiastki z liczby zespolonej. Płaszczyzna zespolona. Odległość punktów.Jednym z wierzchołków kwadratu jest punktz1�½4i. Wyznaczyć pozostałe wierzchołki jeśliśrodkiem tego kwadratu jesta)z�½3ib)z�½7i2UKSWInformatyka2015/2016ZADANIA - Seria 5ALGEBRA LINIOWAKazimierz Jezuita7. Podane są macierze,Wyznaczyć macierze:działań algebraicznych:8. Podane są macierze,Wyznaczyć macierz.,oraz.. Uzasadnić dlaczego nie można wykonać9. Zapisać wektoryjako wektory kolumnowe, we współrzędnych w baziestandardowej ( zero-jedynkowej ):,,,.Przedstawić kombinację liniową wektorów, w postaci iloczynuodpowiednich macierzy. Sprawdzić słuszność tej równości wykonując działania algebraiczne nawektorach oraz mnożąc tradycyjnie macierze przez siebie.10. Obliczyć wyznaczniki następujących macierzy:,11. Obliczyć wyznacznik, wykorzystując jego różne właściwości,,,,,.a),b)12. Sprawdzić, obliczając odpowiednie wyznaczniki, czy wektory:,,są liniowo niezależneoraz wyznaczyć wymiar powłoki liniowej rozpiętej przez te wektory.13. Wyznaczyć macierz odwrotnąa)dla:,b)- metodą operacji elementarnych na wierszach ( kolumnach) macierzy , dokonującprzekształcenia- metodą macierzy dopełnień algebraicznych,- metodą wektorów ortogonalnych.14. Obliczyć objętość równoległościanu w,,rozpiętego przez wektory:, [ Pobierz całość w formacie PDF ]