Algebra liniowa i geometria

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
ALGEBRALINIOWAIGEOMETRIA1
MAREKSZYJEWSKI
Date:26stycznia2005.
1
2
SpisTre±ci
§1. Informacjeogólne
3
1.Planwykładu
3
§2.Plan
3
§3.Literatura
4
3.1.Podr¦czniki
4
3.2.Zbioryzada«
5
§4.
Małysłownikczłowieka±redniowykształconego
5
§5.Alfabetgrecki
15
2.Zbiórzada«
17
§6.Przestrzeniewektorowe
17
§7.Podprzestrzenieprzestrzeniwektorowych.
19
§8.Kombinacjeliniowe
21
§9.Podprzestrzeniegenerowaneprzezwektory.
23
§10.Bazy
26
§11.Wyznaczniki
28
§12.Rz¦dymacierzy
36
§13.Macierze
39
§14.Układyrówna«
43
§15.Zadaniaró»ne:łamigłówki
44
§16.Przekształcenialiniowe
47
§17.Przekształcenialiniowe2
51
§18.Macierzeprzekształce«liniowych
53
§19.Przestrzeniesprz¦»one
57
§20.Wektorywłasneiwarto±ciwłasne
60
§21.Wielomiancharakterystycznyiwielomianminimalnyendomorfizmu
65
§22.Zadaniaró»ne:Macierzewielomianoweidiagonalnaposta¢kanoniczna
69
§23.Zadaniaró»ne:kwadratymagiczne
71
§24.Posta¢kanonicznaJordana
74
§25.Zadaniaró»ne:RozkładJordana
75
§26.Funkcjonałydwuliniowe
76
§27.Przestrzeniedwuliniowe(ortogonalne)
78
§28.Zadaniaró»ne:Wektoryizotropoweipłaszczyznyhiperboliczne.
81
§29.Przekształceniaortogonalne.Izomorfizmyprzestrzeniortogonalnych.
83
§30.Rzutyprostopadłeisymetrie.
84
§31.Bazyprostopadłe.
86
ALGEBRALINIOWAIGEOMETRIA1
3
§1.Informacjeogólne
Algebraliniowaigeometria1
ALN1-03
Specjalno±¢:F+I+N+T+ZPoziom:2Status:O
Liczbagodzin:
3W+3w
1.Planwykładu
Planodpowiadaoficjalnemuprogramowiz
Wykładb¦dzie
prowa
d
zonywoparc
iuopodr¦cznikioznaczonew
spisieliteratury
podkre±le-
niemisymbolami
BG1
,
BG2
,
BB
.Oznaczato,»esłuchaczemaj¡obowi¡zekprzestudiowa¢
podanefragmentypodr¦czników,atre±ci¡wykładub¦d¡wyja±nieniaikomentarzedomateriału
zpodr¦czników.
§2.Plan
(1)Przestrzenieliniowe(wektorowe):
(a)Poj¦cieprzestrzeniwektorowej
BB
32-47,
BG1
165-170;
(b)Podprzestrzenieprzestrzenilinowych
BB
47-50,
BG1
170-173;
(c)Przestrze«generowanaprzezukładwektorów
BB
50-52,
BG1
189-198;
(d)Sumaalgebraicznapodprzestrzeni;sumyproste
BB
55-59,
BG1
173-180;
(e)Warstwywzgl¦dempodprzestrzeni
BB
53-55,
BG1
181-182
(f)Przestrze«ilorazowa
BB21
3-215,
BG1
182-184;
(g)Liniowaniezale»no±¢wektorów
BB
59-63,
BG1
199-207;
(h)Bazaprzestrzeniwektorowej
BB
64-68,
BG1
214-224;
(i)Wymiarprzestrzeniliniowej
BB
69-75,
BG1
225-236.
(2)Macierzeiwyznaczniki:
(a)Działanianamacierzach
BB
145-14
8, BG1
82-88;
(b)Wyznacznikmacierzyijegowłasno±ci
BB
15
6-166, BG1
106-131;
(c)Rz¡dmacierzy
BB
14
8-151, BG1
6
1-68,25
5-263;
(d)Iloczynmacierzy
BB
236-23
9, BG1
83-88;
(e)TwierdzenieCauchy’ego
BB
2
41-242
,
BG1
131-135;
(f)Macierzeodwracalne
BB
239-241,
BG1
90-102,141-153.
(3)Układyrówna«liniowych:
(a)MetodaeliminacjiGaussa
1
BB
138-144,151-155,
BG1
44-65,70-81;
1
CarlF.Gauss(1777-1855)matematykniemiecki,jedenznajwybitniejszychinajwszechstronniejszychmatem-
atykówwszystkichczasów.
tydz.
L.pkt.:7Socratescode:11.1
Zaliczenieprzedmiotu:zaliczenie
4 MAREKSZYJEWSKI
(b)TwierdzenieKroneckera
2
-Capelli
3
BB1
48-15
1, BG1
68-69;
(c)Strukturazbiorurozwi¡za«układurówna«liniowych
BB
210,
BG1
263-269;
(d)WzoryCramera
BB
167-172,
BG1
150-153.
(4)Przekształcenialiniowe:
(a)Przekształcenialinioweiichmacierze;
(b)Macierzeprzej±cia;
(c)Przestrze«przekształce«liniowychaprzestrze«macierzy;
(d)Algebraendomorfizmówaalgebramacierzy;
(e)Przestrze«sprz¦»ona,przekształceniesprz¦»one.
(5)Diagonalizacjaipostaciekanoniczneendomorfizmów:
(a)Podprzestrzenieniezmiennicze;
(b)Warto±ciwłasneiwektorywłasne;
(c)Diagonalizowalno±¢endomorfizmu;
(d)TwierdzenieJordana
4
.
(6)Przestrzenieortogonalne:
(a)Funkcjonałydwulinioweiichmacierze;
(b)Nieosobliwo±¢funkcjonałudwuliniowego;
(c)Formykwadratowe;
(d)Przestrzenieortogonalneiichpodprzestrzenie.
(7)Bazyprostopadłe:
(a)Prostopadło±¢;
(b)Dopełnienieortogonalnepodprzestrzeni;
(c)Istnieniebazprostopadłych;
(d)Posta¢kanonicznaformykwadratowej.
§3.Literatura
3.1.Podr¦czniki.
(1)
G.Banaszak,W.GajdaElementyalgebryliniowej,cz.1,WNT2002;352str. BG1
(2)
G.Banaszak,W.GajdaElementyalgebryliniowej,cz.2,WNT2002;298str. BG2
(3)A.Białynicki-BirulaAlgebra (M40),PWN1971,287str.
(4)
A.Białynicki-BirulaAlgebraliniowazgeometri¡ (M48),PWN1976,589str. BB
(5)N.W.Jefimow,E.R.RozendornAlgebraliniowawrazzgeometri¡wielowymiarow¡,PWN
1976,
(6)J.KomorowskiOdliczbzespolonychdotensorów,spinorów,algebrLiegoikwadryk,PWN
1978,323str.
(7)A.I.Kostrykin,J.I.ManinAlgebraliniowaigeometria PWN1993,
(8)A.Mostowki,M.StarkAlgebraliniowa PWN1975,190str.
Uwaga3.1.Wykładowcaniezalecapodr¦cznikaM.Moszy«skiejiJ.wi¦cickiej.
2
LeopoldKronecker(1823-1891)matematykniemiecki.
3
AlfredCapelli(1855-1910)matematykwłoski.
4
CamilleM.E.Jordan(1838-1922)matematykfrancuski.
 ALGEBRALINIOWAIGEOMETRIA1
5
3.2.Zbioryzada«.
(1)L.Je±mianowicz,J.Ło±Zbiórzada«zalgebry,PWN1975,
(2)A.I.Kostrykin(red.)Zbiórzada«zalgebry,PWN1995,
(3)D.K.Faddiejew,I.S.Somi«skiSbornikzadaczpowysszejałgiebrie,Moskwa1977(wj¦z.
rosyjskim)
(4)I.W.PrskurjakowSbornikzadaczpoliniejnojałgiebrie,Moskwa1978(wj¦z.rosyjskim)
§4.
Małysłownikczłowieka±redniowykształconego
„...
-Apocojasi¦wła±ciwietejMowyucz¦,co?
-Poto,»ebyj¡pozna¢.Tego,czegosi¦nieznawypadasi¦uczy¢.Ten,ktonie
znaj¦zyków,jestkalek¡.
-Wszyscyitakmówi¡wspólnym!
-Fakt.Aleniektórzynietylko.Zar¦czamci,Ciri,»elepiejzalicza¢si¦doniek-
tórychni»dowszystkich.”
A.Sapkowski„Krewelfów”
=:WprowadzonyprzezRobertaRecorde(1510-1558)w1557symbolrelacjirówno±ci,iden-
tyczno±ci.Napisa=bjestzdaniemorzekaj¡cym,»eaibs¡jednymitymsamymobiektem.
Dokładniej,relacjaidentyczno±cispełnianast¦puj¡ceaksjomaty:
(1)Dlaka»degoxzachodzix=x;
(2)Dlaka»dychx,yje±lix=y,toy=x;
(3)Dlaka»dychx,y,zje±lix=yiy=z,tox=z;
(4)Dlaka»dejfunkcjinzmiennychf,dlaka»dychx,y,t
2
,...,t
n
je±lix=y,to
f(x,t
2
,...,t
n
)=f(y,t
2
,...,t
n
);
(5)Dlaka»dejrelacjin-argumentowejP,dlaka»dychx,y,t
2
,...,t
n
je±lix=y,to
P(x,t
2
,...,t
n
))P(y,t
2
,...,t
n
).
Pierwszyaksjomatorzeka,»erelacjarówno±cijestzwrotna,zdrugiegoaksjomatu
wynika,»erelacjarówno±cijestsymetryczna.Trzeciaksjomatstwierdzaprzechod-
nio±¢relacjirówno±ci.Ostatniedwaaksjomatystwierdzaj¡,»erównychobiektównie
mo»naw»adensposóbodsiebieodró»ni¢.
Jedenzaksjomatówteoriimnogo±ci,
aksjomatufundowania
(albo:regularno±ci),
zabrania(mi¦dzyinnymi)pisaniaznakurówno±cimi¦dzyzbioremajegoelementem.
:małapierwszaliteraalfabetugreckiego;nazwa:alfa;warto±¢fonetyczna:a;łaci«ski
odpowiednik:a;pochodziodfenickiejliteryalef(A,a).
[ Pobierz całość w formacie PDF ]