algebra liniowa

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1.Liczbyzespoone
Zadanie 1.1
[1.1]
y
Wykona¢podanedziaªania:
a)
(13i)+(45i);
b)
1+
p
2i
p
36i
;
c)
p
7
p
3i
p
7+
p
3i
;
d)
2+3i
1+i
;
e)
zw,
z
2
w
,
zw
z+w
,
Rez+iImw
z+w
dlaz=52i,w=3+4i:
Zadanie 1.2
[1.2]
ALGEBRALINIOWA1
Znale¹¢liczbyrzeczywistex;y speªniaj¡cepodanerównania:
a)
x(2+3i)+y(52i)=8+7i;
b)
(2+yi)(x3i)=7i;
c)
1+yi
x2i
=3i1;
d)
x+yi
xyi
=
92i
9+2i
.
Zadanie 1.3
[1.3]
;
c)
z
2
4z+13=0;
d)
(z+2)
2
=(z+2)
2
;
e)
2z+z=65i;
f)
(1+i)z+3(zi)=0;
g)
b)
1+i
z
=
23i
z
2+i
z1+4i
=
1i
2z+i
;
h)
z+iz+i=0;
i*)
z
3
6iz
2
12z+8i=0:
Lstazada«
Zadanie 1.4
[1.5]
Napªaszczy¹niezespolonejnarysowa¢zbioryliczbz speªniaj¡cychpodanewarunki:
a)
Re(iz+2)­0;
2003/2004
b)
Imz
2
<0;
=z;
e)
zz+(5+i)z+(5i)z+1=0;
f)
Im
1+iz
1iz
d)
4
z
=1:
Zadanie 1.5
[1.6]
Niech u=
z+4
z2i
, v =
z
iz+4
, gdzie z 2
C: Naszkicowa¢zbiór wszystkich liczb zespolonych z; dla
Opracowanie:drTeresaJurlewicz,drZbigniewSkoczylas
których:
a)
liczbaujestrzeczywista;
b)
liczbaujestczystourojona;
c)
liczbav jestrzeczywista;
d)
liczbav jestczystourojona.
Zadanie 1.6 [1.7]
Punkty z
1
, z
2
, z
3
pªaszczyzny zespolonej s¡ wierzchoªkami trójk¡ta. Wyznaczy¢poªo»enie punktu
przeci¦cia±rodkowychtegotrójk¡ta.
Wskazówka.Wykorzysta¢fakt,»e±rodkowetrójk¡taprzecnaj¡s¦wjednympunkceidze¡
s¦wstosunku2:1cz¡codwerzchoka.
Zadanie 1.7
Zadania z tejlistyznadu¡si¦wobecnymoraz poprzednichwydaniachksi¡»ki ÿAlgebra liniowa
1.Przykªadyi zadania". Ka»dez zada«ma tamswójodpowiednikwpostaci dokªadnierozwi¡za-
negoprzykªadu. Dowszystkichzada«doª¡czonoodpowiedzi. Zakres materiaªuz poprzedniejtzw.
sandardowejlisyzada«(realizowanejwrokuakademickim2002/3)poszerzonoorz¡d macierzyi
twierdzenieKroneckera-Capellego.Zrezygnowanozpodziaªuna14ednosteknarzeczukªadumery-
torycznego.
[2.1]
Obliczy¢moduªypodanychliczbzespolonych:
a)
p
3i;
b)
68i;
c)
4
p
2+
4
p
3i;
d)
1+itg,2
2
;
2
;
e)
1+3i
34i
.
Numeracjazada«zks¡»kiAlgebraliniowa1.Przykªadyizadania,wydaneIX.
y
Numeracjazada«zks¡»kiAlgebraliniowa1.Przykªadyizadania,wydaneVIII.
2
Wzbiorzeliczbzespolonychrozwi¡za¢podanerównania:
a)
z
2
=4z;
c)
zi=z1;
Zadanie 1.8 [2.2]
Poda¢interpretacj¦geometryczn¡moduªuró»nicyliczbzespolonych.Korzystaj¡cztejinterpretacji
narysowa¢zbioryliczbzespolonychz speªniaj¡cychpodanewarunki:
a)
jz3+4ij=1;
Zadanie 1.15
[3.1]
z2i
z+1
=1;
c)
2¬jiz5j<3;
Stosuj¡cposta¢wykªadnicz¡liczbyzespolonejrozwi¡za¢podanerównania:
a)
z
7
=z;
b)
(z
4
)=z
2
z
2
;
c)
(z)
2
z
2
=
4
z
2
;
b)
z
8
=z
4
:
d)
jzj
3
=iz
3
;
e)
z
6
=(z)
6
;
f)
z+i
z
2
+1
­1;
f)
sin
d)
jz+12ij­3orazjz3j<4;
e)
j
z+2i
j
>0;
Zadanie 1.16 [3.2]
Stosuj¡c wzory Eulera wyrazi¢ podane funkcje w postaci sum sinusów i cosinusów wielokrotno±ci
k¡tax:
a)
sin
3
x;
b)
cos
2
x;
c)
sin
5
x;
d)
sin
4
x+cos
4
x:
Zadanie 1.17
¬5:
g*)
3jz+ij¬
z
2
+1
<5jzij;
h)
z1+3i
Zadanie 1.9
[2.4]
3i;
d)
sin+icos;
e)
cos+isin;
f)
1+itg:
Uw aga.
W¢wiczeniach
d)
,
e)
,
f)
k¡tspeªnianierówno±ci0<<
p
3
i;
c)
5+5
p
[3.3]
2
.
Korzystaj¡czdenicjiobliczy¢podanepierwiastki:
a)
512i;
b)
p
11+60i;
c)
3
p
i;
d)
4
p
16:
Zadanie 1.10
[2.5]
Zadanie 1.18
[3.4]
Narysowa¢zbioryliczbzespolonychz speªniaj¡cychpodanewarunki:
a)
argz=
5
4
;
b)
6
< arg(z+3i)<
Obliczy¢inarysowa¢napªaszczy¹niezespolonejpodanepierwiastki:
a)
p
p
p
4;
d)
6
p
3
;
1+
3i;
b)
3
27i;
c)
4
64;
p
p
p
p
c)
¬ arg(iz)<2;
d)
arg
z
6
=;
2+2i:
Zadanie 1.19 [3.5]
Odgaduj¡cjedenzelementówpodanychpierwiastkówobliczy¢pozostaªeelementytychpierwiastków:
a)
32i;
f)
3
1+i;
g*)
4
i;
h*)
3
e)
3
¬ arg(
z)¬
2
;
f*)
arg(z12i)=
3
2
:
Zadanie 1.11
[2.6]
p
p
p
p
(22i)
9
.
(54i)
4
;
b)
4
(2+3i)
4
;
c)
3
(2i)
6
;
d)
3
Obliczy¢warto±cipodanychwyra»e«(wynikpoda¢wpostacialgebraicznej):
a)
(1i)
12
;
b)
1+
p
3i
8
;
c)
2
p
32i
30
;
Zadanie 1.20 [3.6]
Jednym z wierzchoªków kwadratu jest punkt z
1
= 4i. Wyznaczy¢ pozostaªe wierzchoªki tego
kwadratu,je»elijego±rodkiemjest:
a)
pocz¡tekukªaduwspóªrz¦dnych;
b)
punktu=1;
c)
punktu=3+i;
cos
4
isin
4
10
;
e)
(1+i)
22
sin
6
+icos
6
24
d)
;
f)
p
:
6
1i
3
Zadanie 1.12
[2.7]
d)
punktu=7+
p
2i:
Korzystaj¡czewzorudeMoivre'awyrazi¢:
a)
sin3xprzezunkcj¦sinx;
b)
cos4xprzezunkcjesinxicosx;
c*)
tg6xprzezunkcj¦tgx;
d*)
ctg5xprzezunkcj¦ctgx:
Zadanie 1.13
Zadanie 1.21
[3.7]
Znale¹¢rozwi¡zaniapodanychrówna«:
a)
z
4
=(1i)
4
;
b)
(z1)
6
=(iz)
6
;
c)
z
3
=(iz+1)
3
:
[2.8]
Narysowa¢zbioryliczbzespolonychz speªniaj¡cychpodanewarunki:
a)
Im
z
3
<0;
b)
Re
z
4
­0;
2.Wielomiany
Zadanie 2.1
­ Re
(z)
2
;
d)
Im
(1+i)z
(1
[4.1]
c)
Im
z
2
­0:
Obliczy¢iloczynypodanychparwielomianówrzeczywistychlubzespolonych:
a)
P(x)=x
4
3x
3
+x1; Q(x)=x
2
x+4;
b)
W(z)=z
3
+5z
2
iz+3; V(z)=(1+i)z2:
Zadanie 2.2
i)z
Zadanie* 1.14
[2.9]
Wykorzystuj¡cwzórnasum¦wyrazówzespolonegoci¡gugeometrycznegoobliczy¢:
a)
sinx+sin2x+:::+sinnx;
b)
cosx+cos2x+:::+cosnx;
c)
1
[4.2]
2
+cosx+cos2x+:::+cosnx;
d)
sinx+sin3x+:::+sin(2n1)x;
e)
1+(1i)+(1i)
2
+:::+(1i)
n
;
Obliczy¢ilorazyorazresztyzdziele«wielomianówP przezwielomianyQ,je»eli:
a)
P(x)=2x
4
3x
3
+4x
2
5x+6; Q(x)=x
2
3x+1;
b)
P(x)=x
16
16; Q(x)=x
4
+2;
c)
P(z)=z
5
z
3
+1; Q(z)=(zi)
3
:
f)
n
0
n
2
+
n
4
:::+(1)
n
n
2m
,gdzien2
N
orazm=E
n
2
:
3
4
Podaneliczbyzespolonezapisa¢wpostacitrygonometrycznej:
a)
7+7i;
b)
p
p
e)
5
Zadanie 2.3
[4.3]
Zadanie 2.10
[5.3]
Znale¹¢wszystkiepierwiastkicaªkowitepodanychwielomianów:
a)
x
3
+x
2
4x4;
b)
3x
3
7x
2
+4x4;
c)
x
5
2x
4
4x
3
+4x
2
5x+6;
d)
x
4
+3x
3
x
2
+17x+99:
Zadanie 2.4
[4.4]
Podanewielomianyzespoloneprzedstawi¢wpostaciiloczynudwumianów:
a)
z
2
2iz10;
b)
z
4
+5z
2
+6;
c)
z
3
6z9.
Zadanie 2.11 [5.4]
Podanewielomianyrzeczywisteprzedstawi¢wpostaciiloczynunierozkªadalnychczynnikówrzeczy-
wistych:
a)
x
6
+8;
b)
x
4
+4;
c)
x
4
x
2
+1;
d)
4x
5
4x
4
13x
3
+13x
2
+9x9:
Zadanie 2.12 [5.5]
Podane funkcje wymierne (rzeczywiste lub zespolone) rozªo»y¢ na sumy wielomianów oraz funkcji
wymiernychwªa±ciwych:
a)
z
5
3z
2
+z
Znale¹¢wszystkiepierwiastkiwymiernepodanychwielomianów:
a)
x
3
7
2
x
1
x
2
+
1
3
x
1
3
:
3
x
3
Zadanie 2.5
[4.5]
Znale¹¢pierwiastkipodanychrówna«kwadratowychidwukwadratowych:
a)
z
2
4z+13=0;
b)
z
2
(32i)z+(55i)=0;
c)
z
4
+8z
2
+15=0;
d)
z
4
3iz
2
+4=0.
Zadanie 2.6 [4.6]
Znaj¡cniektórepierwiastkipodanychwielomianówrzeczywistych,znale¹¢ichpozostaªepierwiastki:
a)
W(x)=x
3
3
z
3
+4z
2
+1
;
b)
x
5
+3
x
5
+4
;
c)
x
4
+2x
3
+3x
2
+4x+5
x
3
+2x
2
+3x+4
:
p
p
p
Zadanie* 2.13 [5.6]
Zaproponowa¢rozkªadypodanychzespolonychfunkcjiwymiernychwªa±ciwychnazespoloneuªamki
proste(nieoblicza¢nieznanychwspóªczynników):
a)
2+i;
b)
W(x)=x
4
2x
3
+7x
2
+6x30; x
1
=13i;
c)
W(x)=x
4
6x
3
+18x
2
30x+25; x
1
=2+i;
d)
W(x)=x
6
2x
5
+5x
4
6x
3
+8x
2
4x+4; x
1
=i; x
2
=
p
2x
2
+7x
3
2; x
1
=
z
3
+i
z
2
(z2i)
3
;
b)
z
2
+z+5
(z+1)(z+i)
2
[z(1+i)]
3
;
c)
iz+7
(z
4
4)
2
:
Zadanie 2.14 [5.7]
Zaproponowa¢ rozkªady podanych rzeczywistych funkcji wymiernych wªa±ciwych na rzeczywiste
uªamkiproste(nieoblicza¢nieznanychwspóªczynników):
a)
2i;
e)
W(x)=x
6
6x
5
+18x
4
28x
3
+31x
2
22x+14; x
1
=1i;x
2
=2
p
3i:
x
2
+2x7
x
3
(x1)(x+5)
2
;
b)
x
3
8x4
(x
2
+4)(x
2
+x+3)
3
;
c)
x
4
+x
3
(x+3)
2
(x
2
4x+5)
2
:
Zadanie 2.7
[4.7]
Niewykonuj¡cdziele«znale¹¢resztyzdziele«wielomianówP przezwielomianyQ,je»eli:
a)
P(x)=x
8
3x
3
+5x; Q(x)=x
2
x2;
b)
P(x)=x
14
4x
10
+x
2
+
Zadanie* 2.15
[5.8]
p
Podanezespolonefunkcjewymiernewªa±ciwerozªo»y¢nazespoloneuªamkiproste:
a)
2x; Q(x)=x
2
+2;
c)
P(x)=x
30
+3x
14
+2; Q(x)=x
3
+1;
d)
P(x)=x
100
+2x
51
3x
2
+1; Q(x)=x
2
1;
e)
P(x)=x
5
+x2; Q(x)=x
2
2x+5;
f)
P(x)=x
6
+x50; Q(x)=x
3
+8.
Zadanie 2.8 [5.1]
Poda¢przykªadywielomianówzespolonychnajni»szegostopnia,którespeªniaj¡podanewarunki:
a)
liczby0;15is¡pierwiastkamipojedynczymi,aliczby1;3+is¡pierwiastkamipodwójnymi
tegowielomianu;
b)
liczba 4i jest pierwiastkiem podwójnym, a liczby 3;5 pierwiastkami potrójnymi tego wielo-
mianu.
Zadanie 2.9 [5.2]
Poda¢przykªadywielomianówrzeczywistychnajni»szegostopnia,którespeªniaj¡podanewarunki:
a)
liczby1;5;
p
z
2
(z1)(z+2)(z+3)
;
b)
z
(z
2
1)
2
;
c)
16i
z
4
+4
;
d)
z
2
+2z
(z
2
+2z+2)
2
:
Zadanie 2.16
[5.9]
Podanerzeczywistefunkcjewymiernewªa±ciwerozªo»y¢narzeczywisteuªamkiproste:
a)
12
4)
;
b)
x
2
x
4
1
;
c)
4x
(x+1)(x
2
+1)
2
;
(x
1)(x
2)(x
3)(x
d)
x
2
+2x
(x
2
+2x+2)
2
;
e)
1
x
3
+x
;
f)
x
2
+1
x
3
(x+1)
2
:
2oraz13is¡pierwiastkamipojedynczymitegowielomianu;
b)
liczba 1+i jest pierwiastkiem pojedynczym, liczby i oraz 3 s¡ pierwiastkami podwójnymi, a
liczba4+3ijestpierwiastkiempotrójnymtegowielomianu.
3.Macierzeiwyznaczniki
Zadanie 3.1 [6.1]
a)
Zaproponowa¢ opis, w formie macierzy zªo»onej z liczb caªkowitych, poªo»enia gur w grze w
szachy.Wjakisposóbmo»nabysprawdzi¢,czydanamacierzodzwierciedlapozycj¦mo»liw¡do
uzyskaniawczasiegry?
5
6
6
x
2
3
3
;
b)
4x
4
+4x
3
+3x
2
x1;
c)
4x
3
+x1;
d)
x
5
+
4
<
:
"
#
b)
Zaproponowa¢zapis,wpostacijednejmacierzy,odlegªo±cidrogowychikolejowychwkmmi¦dzy
stolicamiwszystkichwojewództwwPolsce.
c)
Ekranmonitorakomputerowegojestzªo»onyz1024768punktów.Ka»dypunktmo»e±wieci¢
jednymz20kolorów.Koloroweobrazynaekraniemo»nazapisywa¢wpostacimacierzyzªo»onej
zliczbcaªkowitych.Zaªo»y¢,»eekranmonitoraprzedstawiapierwsz¡¢wiartk¦ukªaduwspóªrz¦d-
nych,zpocz¡tkiemukªaduwlewymgórnymroguekranu.Zapisa¢wformiemacierzyprzybli»ony
ksztaªt¢wiartkikolorowejt¦czyzªo»onejzpier±cienikoªowych(rysunek).
X+Y =
2 0 0
0 2 0
0 0 2
;
<
:
X+
h
1 1
1 3
i
h
1 0
0 1
i
Y =
;
c)
"
#
d)
h
i
h
i
0 0 2
0 2 0
2 0 0
3 1
1 1
2 1
1 1
X+Y =
:
XY =
;
Zadanie 3.4 [6.4]
Obliczy¢kilkapocz¡tkowychpot¦gmacierzyA;nast¦pniewysun¡¢hipotez¦opostacimacierzyA
n
,
gdzien2
N
iuzasadni¢j¡zapomoc¡indukcjimatematycznej,je»eli:
a)
A=
200250300350400
q q q q q
-
x
Narysunku:
0{oznaczakolorbiaªy,
1{oznaczakolorniebieski,
2{oznaczakolorzielony,
3{oznaczakolor»óªty,
4{oznaczakolorczerwony.
0
h
i
h
i
1
1 1
0 1
2 1
3 2
b)
A=
2
3
;
;
h
i
h
i
4
0
cos sin
sin cos
chx shx
shx chx
c)
A=
,gdzie2
R
;
d)
A=
;gdziex2
R
;
"
#
"
#
0 0 1
0 1 0
1 0 0
a 1 0
0 a 1
0 0 a
?
y
e)
A=
;
f*)
A=
,gdziea2
R
;
d)
Narysunkachprzedstawionokonstrukcepr¦towezponumerowanymiw¦zªami:
1)pªaski czworok¡tzprzek¡tnymi; 2)czworo±cian; 3)konstrukcja przestrzenna
g*)
A=[a
ij
,gdziea
ij
=0dlai­j,i;j=1;2;:::;k:
Zadanie 3.5 [6.5]
Ukªadaj¡codpowiednieukªadyrówna«znale¹¢wszystkiemacierzezespoloneX speªniaj¡cepodane
równaniamacierzowe:
a)
a
a
a
a
a
a
a
r
r
4
4
r
9
r
H
H
H
H
H
H
%
"
"
"
"
Z
Z
Zr
5
r
8
r
3
3
r
h
ih
i
h
i
h
i
T
1 1 0
0 1 0
0 2 1
1 1 0
2 2
1 2
1 2
2 3
c
H
r
7
r
X=
;
b)
X=X
T
;
5
%
%
r
r
1
"
#
"
#
1
1
4
h
i
1 1
2 1
3 1
1
0
1
%
4i 0
62i 2
r
r
2
2
r
r
c)
XiX
T
=
;
d)
X=
;
h
i
h
i
h
i
h
i
Zapisa¢wpostacimacierzyschematbezpo±rednichpoª¡cze«mi¦dzyw¦zªami.
1 1 2
0 1 1
73
4 1
3 1
0 1
4 1
3 0
e)
X=
;
f)
X=X
;
Z adanie 3.2
[6.2]
h
i
h
i
1 1
0 1
0 0
0 0
g)
X
2
=
h)
X
2
=
Obliczy¢:
"
#
"
#
;
;
h
i
h
i
h
i
h
i
03
1 1
1 0
00
02
1 1
0 2
2 0
1 1
3 0
0 4
5 1
1 1
3 2
i)
XX
T
=
,X jesttumacierz¡stopnia2;
j)
XX
T
=X
2
+
a)
2
;
b)
+4
;
:
"
#
Zadanie 3.6 [6.6]
Korzystaj¡czwªasno±cidziaªa«zmacierzamiorazwªasno±cioperacjitransponowaniamacierzyuza-
sadni¢podaneto»samo±ci:
a)
(ABC)
T
= C
T
B
T
A
T
, gdzie A;B;C s¡ macierzami o wymiarach odpowiednio nm, mk,
kl;
b)
(AB)
2
=A
2
2AB+B
2
,gdzieAiBs¡przemiennymimacierzamikwadratowymitychsamych
stopni.
Uw aga. Mówimy,»emacierzeAiB s¡przemienne,gdyspeniaj¡warunekAB=BA:
c*)
(A+I)
n
=
h
i
h
ih
i
2 3 5
1 4 2
3 1 1
1 5 3
2 3 1
cos sin
sin cos
cos sin
sin cos
c)
;
d)
;
2
4
1 0
01
1 0
01
1 0
3
5
h
1 3 5
2 4 6
i
2
4
5
4
3
2
1
3
5
e)
;
f)
1 2 3 4 5
:
n
0
n
1
n
2
n
n1
n
n
Z adanie 3.3
I;
gdzieAiI s¡macierzamikwadratowymitychsamychstopni,przyczymI jestmacierz¡jednost-
kow¡.
Zadanie 3.7
A
n
+
A
n1
+
A
n2
+:::+
A+
[6.3]
Rozwi¡za¢podanerównaniamacierzoweiukªadyrówna«macierzowych:
a)
X+
h
i
=
1
2
h
i
;
1 0 0
0 2 0
0 0 2
0 4 0
X
[7.1]
"
#
"
#
"
#
Obliczy¢podanewyznacznikidrugiegoitrzeciegostopnia:
3 0 1
0 4 0
1 0 2
1 0 1
0 1 0
1 0 1
2 0 2
0 4 0
2 0 0
1 1 1
1 i 1+i
b)
2Y
=
+Y
;
a)
3 2
8 5
;
b)
sin cos
sin cos
;
c)
1 2 3
1 3 6
;
d)
i 1 0
1i 0 1
7
8
r
6
r
2
3
Zadanie 3.8 [7.2]
Napisa¢rozwini¦ciaLaplace'apodanychwyznacznikówwzgl¦demwskazanegowierszalubkolumny:
1 2 3 4
,drugiwiersz.
a)
.
.
.
1 1 ::: 4 4
1 1 ::: 1 4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
;
b)
1 2 3 ::: n
2 2 3 ::: n
3 3 3 ::: n
.
.
.
;
c*)
1 1 1 ::: 1
1 2 2
2
::: 2
n1
1 3 3
2
::: 3
n1
.
.
.
:
i 1+i 2
.
.
.
n n n ::: n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1 n n
2
::: n
n1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a)
12i 3 i
4 1i 3+i
,trzeciakolumna;
b)
0 5 3 7
1 3 5 9
2 2 4 6
Zadanie 3.14 [8.3]
Stosuj¡c operacje elementarne na wierszach lub kolumnach podanych wyznaczników (powoduj¡ce
obni»enieichstopni)obliczy¢:
Zadanie 3.9 [7.3]
Stosuj¡crozwini¦cieLaplace'aobliczy¢podanewyznaczniki.Wyznacznikirozwin¡¢wzgl¦demwier-
szalubkolumnyznajwi¦ksz¡liczb¡zer.
4 2 1 1
1 1 0
1 4 0
;
c)
:
3 2 0 5
;
b)
3 2 0 0 0
0 3 2 0 0
0 0 3 2 0
0 0 0 3 2
2 0 0 0 3
2 7 1 3 2
0 0 1 0 1
2 0 7 0 2
3 2 4 5 3
1 0 0 0 1
a)
2 3 5
4 0 6
;
b)
2 5 2
3 0 3
;
c)
1 1 0 2
3 0 1 3
2 2 0 3
;
2 1 2 2
0 2 5 0
5 0 3 4
a)
;
f)
:
1 0 1 1
;
e)
1 2 1 0 3
2 4 5 1 6
1 2 3 0 2
2 2 1 1 1
2 4 2 0 3
2 7 1 3 2
0 2 1 3 1
2 4 7 2 2
3 2 4 5 3
1 2 0 1 1
2 1 1 2
1 2 1 3
3 1 4 0
d)
Zadanie* 3.10 [7.4]
Korzystaj¡czzasadyindukcjimatematycznejuzasadni¢podaneto»samo±ci(noznaczastopie«wy-
znacznika):
=
Zadanie* 3.15
[8.4]
=
4
n+1
1
a ::: 0 0 ::: b
.
.
.
5 1 0 ::: 0 0
4 5 1 ::: 0 0
0 4 5 ::: 0 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 ::: a b ::: 0
0 ::: b a ::: 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Korzystaj¡czalgorytmuChióobliczy¢podanewyznaczniki:
:
4 2 3
3 2 1 1
;
c)
3 4 1 0 1
2 1 5 1 2
1 3 2 1 4
2 1 1 5 2
3 1 1 1 1
a)
W
n
=
.
.
.
0 0 0 ::: 5 1
0 0 0 ::: 4 5
.
.
.
.
.
.
.
.
.
;
b)
W
2n
=
a
2
b
2
n
;
a)
;
b)
1 0 1 2
2 1 1 1
1 1 1 0
3
2 5 1
1 6 2
.
.
.
b ::: 0 0 ::: a
.
.
.
.
.
.
.
.
.
=
sin[(n+1)x]
2cosx 1 0 ::: 0 0
1 2cosx 1 ::: 0 0
0 1 2cosx::: 0 0
.
.
.
Zadanie 3.16 [8.5]
Korzystaj¡cztwierdzeniaopostacimacierzyodwrotnejznale¹¢macierzeodwrotnedopodanych:
"
#
c)
W
n
=
h
i
h
i
;
2 7 3
3 9 4
1 5 3
.
.
.
0 0 0 :::2cosx 1
0 0 0 ::: 1 2cosx
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3 5
6 2
cos sin
sin cos
sinx
a)
;
b)
,gdzie2
R
;
c)
:
gdziex6=k orazk2Z:
Zadanie 3.11
Zadanie 3.17
[8.6]
[7.5]
Korzystaj¡czmetodybezwyznacznikowejobliczy¢macierzeodwrotnedopodanych:
"
#
2
4
1 0 0 1
3
5
2
4
1 2 3 4
3
5
Nieobliczaj¡cwyznacznikówznale¹¢rozwi¡zaniapodanychrówna«:
1 2 2
2 1 2
2 2 1
1 1 1 1
=0;
b)
1 2 3 4
=0:
0 0 2 1
0 1 1 1
2 1 1 2
2 3 1 2
1 1 1 1
1 0 2 6
a)
;
b)
;
c)
:
a)
2 5x 2 2
3 3 5x 3
4 4 4 5x
1 x 3 4x
1 2 x 4
1 x x x+3
Zadanie 3.18
[8.7]
Zadanie 3.12
[8.1]
Rozwi¡za¢podanerównaniamacierzowewykorzystuj¡coperacj¦odwracaniamacierzy:
a)
X
h
i
h
i
h
i
h
i
h
i
1 1
3 4
2 1
3 4
3 1
2 1
1 3
1 2
3 3
2 2
Obliczy¢podanewyznacznikiwykorzystuj¡cwyst¦puj¡cewnichregularno±ci:
=
;
b)
X
=
;
:
;
c)
1 1 1 3 3 3
0 1 1 3 3 0
0 0 1 3 0 0
0 0 3 1 0 0
0 3 3 1 1 0
3 3 3 1 1 1
h
i
h
i
h
i
h
i
1 2 3 4
;
b)
1 1 1 1 1
1 2 2 2 2
1 2 3 3 3
1 2 3 4 4
1 2 3 4 5
0 3
5 2
1
1 2
3 4
1 3
2 1
5 6
7 8
c)
+4X
=
;
d)
3X+
=
X:
a)
4 3 2 1
5 6 7 8
8 7 6 5
Zadanie 3.19
[8.8]
Jakies¡mo»liwewarto±ciwyznacznikamacierzyrzeczywistejAstopnian,je»eli:
a)
A
2
=8A
1
;
b)
A
3
A=0;
c)
A
T
=4A
1
?
Zadanie 3.13
[8.2]
Obliczy¢podanewyznacznikistopnian­2wykorzystuj¡cwyst¦puj¡cewnichregularno±ci:
9
10
4 4 ::: 4 4
1 4 ::: 4 4
.
.
.
.
.
.
[ Pobierz całość w formacie PDF ]