Algebra I wyklad 09

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wykład 9.
TwierdzenieKroneckera-Capelliego.
Przypomnienie o rzedzie macierzy. Przypomnie-
nie definicji układu równan liniowych.
Definicja9.1.1. Napodstawie
definicji8.1.1.
okre-
´slamy jeszcze raz układ równan liniowych jako
8
<
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ . . . + a
1n
x
n
= b
1
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ . . . + a
1n
x
n
= b
2
:
.
.
.
a
m1
x
1
+ a
m2
x
2
+ . . . + a
mn
x
n
= b
m
lub w zapisie macierzowym
2
a
11
a
12
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
3
2
x
1
x
.
.
.
x
n
3
2
b
1
b
.
.
.
b
m
3
4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
a
m2
. . . a
mn
5
4
5
=
4
5
lub AX = B, gdzie A =
a
ij
m×n
, X =
x
j
n
,
B = [b
i
]
m
.
Dygresja: Układ równan zadany
definicj a8.1.1.
da sie sprowadzic do powy˙zszego układu rów-
nan. Wtedy macierz A bedzie macierz a blo-
kow a.
Twierdzenie9.1.1. (
Kroneckera-Capellego
)Układ
równan liniowych o n niewiadomych (zadany
definicj a9.1.1.
),marozwi azaniewtedy,gdyrz ad
macierzy współczynników A jest równy rzedowi
macierzy rozszerzonej C = [A|B] , tzn.
rankA = rankC = rank[A|B] ,
przyczymrozwi azaniema n−rankA stopniswo-
body.
Dygresja: Macierzrozszerzona C tomacierzblo-
kowa (patrz wykład 5,
def. 5.1.2. - pkt. 8
) o
nastepuj acej konstrukcji
C = [A|B] =
a
ij
|b
i
m×(n+1)
.
Twierdzenie9.1.2. (
Orodzajachrozwi azanukładu
równan liniowych
) Układ równan liniowych
AX = B o n niewiadomych, zadany
definicj a
9.1.1.
:
1. ma dokładnie jednorozwi azanie je˙zeli
rankA = rankC = n (jest
układem ozna-
czonym
-
własnosc 8.1.1. pkt. 1
),
2. nie ma rozwi azan, gdy rankA = rankC (jest
układem sprzecznym
-
własnosc 8.1.1. pkt.
2
),
3. ma nieskonczenie wielerozwi azan je˙zeli
rankA = rankC < n zale˙znychod n−rankA
parametrów (jest
układem nieoznaczonym
-
twierdzenie 9.1.1.
).
Przykłady rozwi azan układów równan.
Sposoby postepowania z układem nieoznaczonym.
Literatura
•
Białynicki-BirulaA.,Algebraliniowazgeometri a,PWN,
Warszawa 1976.
•
Biernat G., Matematyka 3, Wydawnictwo PCz, Cze-
stochowa2001.
•
Jurlewicz T., Skoczylas Z., Algebra liniowa cz. 1. Defi-
nicje,twierdzeniaiwzory., OficynawydawniczaGiS,
Wrocław2000.
•
Kiełbasinski A., Schetlick H., Numeryczna algebra li-
niowa, PWN, Warszawa 1992.
•
Mostowski A., Stark M., Algebra liniowa, PWN, War-
szawa 1968.
•
MostowskiA.,StarkM.,Elementyalgebrywy˙zszej,PWN,
Warszawa 1975.
•
TrajdosT., Matematykacz. III,WNT 1993.
[ Pobierz całość w formacie PDF ]