Algebra I wyklad 01

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wykład 1.
Wielomiany, rozkład na ułamki pro-
ste. Wprowadzeniedo liczb zespolonych.
1.1. Pojecie ciała liczbowego
Zakładamy, ˙zeznamypojecia: liczbynaturalnej
(n∈
N
), całkowitej (z∈
Z
), wymiernej (q∈
Q
) i
rzeczywistej (r∈
R
).
Otó˙z, w dowolnym zbiorze
X
jest wykonywane
działanie(np. dodawanie,odejmowanie,etc.)
je˙zeli dla ka˙zdej pary liczb x
1
, x
2
nale˙z acych
do
X
ich wynik nale˙zy równie˙zdo
X
.
Przykładowo w zbiorze
N
jest wykonywalne do-
dawanie i mno˙zenie, poniewa˙z suma i iloczyn
s a zawarte w
N
. Pytanie: czy dzielenie jest wy-
konalne na zbiorze
N
?
Definicja 1.1.1. Ka˙zdy zbiór liczb, który zawiera
wiecej ni˙z jedn a liczbe i w którym wykonalne
s a wszystkie cztery działania, oprócz dzielenia
przez zero, nazywamy
ciałem liczbowym
K
.
Definicja 1.1.2. Wielomianemstopnia
n∈
N
∪{0}wzgledem ciała
K
(np. ciała liczb
rzeczywistych) nazywamy funkcje W :
K
→
K
okre´slon a
W (x) = a
n
x
n
+ a
n−1
x
n−1
+ . . . + a
1
x + a
0
∈
K
dla 0≤k≤n oraz a
n
= 0.
Zbiór wszystkich wielomianów wzgledem ciała
K
oznaczamy przez K[x] i nazywamy
pier´scie-
niem wielomianów
wzgledemciała
K
.
Własnosc 1.1.1. (
suma, ró˙znica, iloczyn wielo-
mianów
)Dlaka˙zdejparywielomianów W
1
, W
2
z pier´scienia K[x] istniej a nastepuj ace działa-
nia
(
W
1
±W
2
)
(x) = W
1
(x)±W
2
(x)
(W
1
W
2
) (x) = W
1
(x)W
2
(x)
= 0 z pier-
´
scienia K[x] mo˙zna jednoznacznie wyznaczyc
wielomiany P (
iloraz
) i R (
reszta
) z K[x], które
spełniaj a warunek
W
1
(x) = W
2
(x)P (x) + R(x)
gdzie a
k
Własnosc1.1.2. (
podzielno´scwielomianów
)Dla
ka˙zdej pary wielomianów W
1
, W
2
oraz stopien R (
reszt
y) jest mniejszy od stopnia
W
2
(
dzielnika
).
Je˙zeli R(x)≡0, to mówimy, ˙ze wielomian W
1
dzielisie przez W
2
.
Własnosc1.1.3. (
definicja1.1.3pierwiastkawie-
lomianu
)Liczbe x
0
nazywamypierwiastkiemwie-
lomianu W, je˙zeli W
(
x
0
)
= 0.
Własnosc1.1.4. (
twierdzenie1.1.1Bezout
)Liczba
x
0
jestpierwiastkiemwielomianu W wtedyitylko
wtedy, gdyistnieje wielomian Q taki, ˙ze
W (x) = (x−x
0
) Q(x)
Resztazdzieleniawielomianu W przezdwumian
x−x
0
jest równa W (x
0
).
Własnosc1.1.5. (
definicja1.1.4 pierwiastkawie-
lokrotnego
) Liczba x
0
jest k-krotnym pierwiast-
kiemwielomianu W wtedy,gdyistniejetakiwie-
lomian Q, ˙ze
W (x) = (x−x
0
)
k
Q(x) oraz Q (x
0
) = 0
1.2. Rozkład wielomianuna ułamki proste
Definicja 1.2.1. Funkcj a wymiern a Q(x)∈K[x]
wzgledemzmiennej x∈
K
nazywamy iloraz
Q(x) =
W
1
(x)
∈K[x] s a wielomianami. Przy
czym W
2
(x) = 0 (cecha ciała - patrz definicja
1.1.1.). Je˙zeli stopien W
1
jest mniejszy od stop-
nia W
2
to tak a funkcje nazywamy funkcj a wy-
miern awła´sciw a.
Definicja 1.2.2. Ułamkiem prostym wzgledem
ciała
K
nazywamy funkcje wymiern aopostaci
∈K[x], W
2
jest wielomia-
nem pierwszym w
K
i stopien W
1
jest mniejszy
od stopnia W
2
.
Własnosc 1.2.1. (
definicja 1.2.3. okre´slaj aca ro-
dzaje rzeczywistych ułamków prostych
) Je˙zeli
zało˙zymy, ˙ze
K
=
R
to:
W
2
(x)
gdzie W
1
, W
2
W
1
(x)
[W
2
(x)]
n
przy czym W
1
, W
2
•ułamkiem prostym I rodzaju nazywamy rze-
czywist a funkcje wymiern ao postaci
(
x + a
)
n
, gdziea, A∈
R
, n∈
N
•natomiast ułamkiem prostym II rodzaju be-
dziemynazywac
Ax + B
n
, gdzie b, c, A, B∈
R
, n∈
N
x
2
+ bx + c
przy czym
= b
2
−4c < 0
Twierdzenie 1.2.1. (
o rozkładzie funkcji wymier-
nej na ułamki proste
) Ka˙zd a funkcje wymiern a
wła´sciw a i rzeczywist a mo˙zna przedstawic za
pomoc asumyrzeczywistychułamkówprostych.
Własnosc 1.2.2. Je˙zeli funkcja wymierna wła-
´sciwa jestpostaci
W
1
(x)
a
n
(
x−x
1
)
k
1
. . .
(
x−x
r
)
k
r
(
x
2
+ b
1
x + c
1
)
l
1
. . .
(
x
2
+ b
s
x + c
s
)
l
s
gdzie k
1
+. . .+k
r
jestsum arzeczywistychułam-
kówprostychIrodzajuoraz l
1
+. . .+l
r
jestsum a
rzeczywistych ułamków prostych II rodzaju to
A
[ Pobierz całość w formacie PDF ]