al2

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
ALGEBRA
LINIOWA
2
Listazada«
2003/2004
Opracowanie:
drTeresaJurlewicz,drZbigniewSkoczylas
Listapierwsza
Zadanie1.1
Uzasadni¢zdefinicji,»ezbiórwszystkichrzeczywistychmacierzytrójk¡tnychgórnychstopnia2wrazzdodawaniem
macierzyimno»eniemmacierzyprzezliczbyrzeczywistestanowiprzestrze«liniow¡.
Zadanie1.2
Sprawdzi¢,»epodanezbiory
W
s¡podprzestrzeniamiliniowymiodpowiednichprzestrzeniliniowych
V
:
a)W
=
(2
x
−
y,y
+
z
)
2
R
2
:
x,y,z
2
R
,
V
=
R
2
;
b)W
=
(
x,y,z,t
)
2
R
4
:
x
−
y
=
z
−
t
,
V
=
R
4
;
c)W
=
p
2
R
2
[
x
]:
p
(1)=
p
0
(0)
,
V
=
R
[
x
];
d)W
=
A
2
M
3
×
3
:
A
=
A
T
,
V
=
M
3
×
3
.
Zadanie1.3
Któryznarysowanychni»ejzbiorówjestpodprzestrzeni¡liniow¡płaszczyzny?
a)
y
b)
y
c)
y
d)
y
6
1
6
6
6
@
@
@
@
@
r
x
-
@
-
x
-
x
-
−
1
1
x
@
@
@
e)
y
f)
y
g)
y
h)
y
6
6
6
6
1
1
−
1 1
−
1
−
1
-
x
-
x
-
x
-
x
Zadanie1.4
Opisa¢wszystkiepodprzestrzenielinioweprzestrzeni
R
3
.
Zadanie1.5
Okre±li¢,którezpodanychzbiorów
U
,
W
,
X
,
Y
s¡podprzestrzeniamiliniowymiwskazanychprzestrzeniliniowych
V
:
o
,
W
=
(
x
n
): istnieje
n
0
2
N
takie,»e
x
n
=0dlaka»dego
n
­
n
0
,
X
=
{
(
x
n
):ci¡g(
x
n
)jestzbie»nylubstały
}
,
Y
=
(
x
n
):
x
n
+2
=
x
n
+
x
n
+1
dlaka»dego
n
2
N
;
d)V
=
R
[
x
],
U
=
{
p
:stopie«wielomianu
p
jestrówny4
}
,
W
=
p
:2
p
(
x
)=
p
(2
x
)dlaka»dego
x
2
R
,
X
=
p
:
p
(0)=0lub
p
0
(0)=0
,
Y
=
{
p
:wielomian
p
jestfunkcj¡parzyst¡
}
;
e)V
=
C
(
R
),
U
=
f
:funkcja
f
jestniemalej¡ca
,
W
=
f
:funkcja
f
jestró»niczkowalna
,
X
=
f
:funkcja
f
jeststałanazbiorze
N
,
Y
=
f
:
f
(
x
+
y
)=
f
(
x
)
f
(
y
)dladowolnych
x,y
2
R
;
f)V
=
M
2
×
2
,
U
=
n
A
:
AA
T
=
h
0 0
0 0
|
x
n
|
=
1
lub lim
n
!1
x
n
=0
io
,
W
=
A
:det
A
­
0
,
X
=
nh
a b
c d
i
:
abcd
=0
o
,
Y
=
nh
a b
c d
i
:
a
+
c
=
b
o
.
2
a)V
=
R
2
,
U
=
{
(
x,y
):
|
x
−
y
|¬
1
}
,
W
=
(
x,y
):ln
1
−
x
2
−
y
2
­
0
,
X
=
(
x,y
):9
x
2
+12
xy
+4
y
2
=0
,
Y
=
(
x,y
):3
x
2
+5
xy
−
2
y
2
=0
;
b)V
=
R
4
,
U
=
{
(
x,y,z,t
):3
|
x
|
=2
|
y
|}
,
W
=
(
xy,y,x,
0):
x,y
2
R
,
X
=
(
x,y,z,t
):
x
2
+
z
6
=0
,
Y
=
(
x,x
+
y,
−
x,
−
y
):
x,y
2
R
;
c)V
=
R
1
,
U
=
n
(
x
n
): lim
n
!1
Zadanie1.6
Którezpodanychzbioróws¡podprzestrzeniamiwskazanychprzestrzeniliniowych:
a)W
1
=
(
x,y
)
2
R
2
:
x
2
+
y
2
=0lub
x
=
y
,
W
2
=
(
x,y
)
2
R
2
:
x
2
+
y
2
=0i
x
=
y
,
V
=
R
2
;
b)W
1
=
(
x,y
)
2
R
2
:
xy
=0i
x
=0
,
W
2
=
(
x,y
)
2
R
2
:
xy
=0lub
x
=0
,
V
=
R
2
;
c)W
1
=
(
x,y,z
)
2
R
3
:
x
+4
y
=0i3
x
−
z
=0
,
W
2
=
(
x,y,z
)
2
R
3
:
x
+4
y
=0lub3
x
−
z
=0
,
V
=
R
3
;
d)W
1
=
(
x,y,z,t
)
2
R
4
:
x
=2
y
lub
x
2
=4
y
2
,
W
2
=
(
x,y,z,t
)
2
R
4
:
x
=2
y
i
x
2
=4
y
2
,
V
=
R
4
;
e)W
1
=
n
(
x
n
)
2
R
1
: lim
n
!1
x
n
istniejei lim
n
!1
x
n
=0
o
,
o
,
V
=
R
1
;
f)W
1
=
p
2
R
[
x
]:
p
(0)=
p
(1)=0lub
n
!1
x
n
istniejelub lim
n
!1
x
n
=0
W
2
=
p
2
R
[
x
]:
p
(0)=
p
(1)=0i
wielomian
p
maconajmniejdwamiejscazerowe
}
,
wielomian
p
maconajmniejdwamiejscazerowe
}
,
V
=
R
[
x
];
g)W
1
=
n
f
2
C
(
R
): istnieje
f
0
na
R
i
f
jestfunkcj¡stał¡
o
;
W
2
=
n
f
2
C
(
R
): istnieje
f
0
na
R
lub
f
jestfunkcj¡stał¡
o
;
V
=
C
(
R
)?
Zadanie*1.7
Uzasadni¢bezpo±redniozdefinicjiprzestrzeniliniowej,»e
a)
istniejetylkojedenwektorzerowy;
b)
istniejetylkojedenwektorprzeciwnydoka»degowektora;
c)
·
~
0
=
~
0
dlaka»dego
2
R
.
Listadruga
Zadanie2.1
Wektory(3
,
−
2
,
5),(0
,
1
,
1)przedstawi¢nawszystkiemo»liwesposobyjakokombinacjeliniowewektorów:
a)
(3
,
−
2
,
5),(1
,
1
,
1);
b)
(3
,
−
2
,
5),(1
,
1
,
1),(0
,
−
5
,
2);
c)
(1
,
−
2
,
3),(1
,
0
,
1),(0
,
2
,
−
1);
d)
(1
,
−
2
,
3),(1
,
0
,
1),(
−
1
,
−
2
,
1)
.
Zadanie2.2
Zbada¢zdefinicjiliniow¡niezale»no±¢podanychukładówwektorówwodpowiednichprzestrzeniachliniowych:
a)
(1
,
4)
,
(2
,
3)
,
(1
,
1)
,
(5
,
6)wprzestrzeni
R
2
;
b)
(1
,
−
2
,
3)
,
(1
,
0
,
1)
,
(0
,
2
,
−
1);(1
,
−
2
,
3)
,
(1
,
0
,
1)
,
(
−
1
,
−
2
,
1)wprzestrzeni
R
3
;
c)
3
−
x
,4+
x
,2
x
+3;2
−
x
3
,3
x
+2,
x
2
+
x
−
1wprzestrzeni
R
[
x
];
d)
1
,
cos
x,
cos2
x,
cos
2
x
;1
,x,
cos
x,e
x
wprzestrzeni
C
(
R
);
e)
h
2
−
1
3 0
i
,
h
−
1 0
1 0
i
,
h
0 2
−
2 1
i
wprzestrzeni
M
2
×
2
;
f)I
,
A
,
A
2
dla
A
=
h
1
−
1
2 1
i
wprzestrzeni
M
2
×
2
.
Zadanie2.3
Uzasadni¢liniow¡zale»no±¢podanychwektorówwodpowiednichprzestrzeniachliniowychprzedstawiaj¡cjedenz
tychwektorówjakokombinacj¦liniow¡pozostałych:
a)
(1
,
2
,
3),(2
,
3
,
4),(1
,
1
,
1)wprzestrzeni
R
3
;
b)
x
4
−
x
3
+
x
2
−
x
+1,
x
3
+
x
2
+
x
,
x
3
−
x
2
+
x
,
x
4
+
x
3
+
x
2
+
x
+1wprzestrzeni
R
4
[
x
];
c)
sin
x,
sin
3
−
x
wprzestrzeni
C
(
R
);
d)
arcsin
x,
arccos
x,
1wprzestrzeni
C
([
−
1
,
1])
.
Zadanie2.4
Wektory
~
u
,
~
v
,
~
w
,
~
x
s¡liniowoniezale»newprzestrzeniliniowej
V
.
Zbada¢liniow¡niezale»no±¢wektorów:
3
W
2
=
n
(
x
n
)
2
R
1
: lim
i
,
h
1 1
2 1
,
sin
2
−
x
 a)
~
u
+
~
v
,
~
v
+
~
w
,
~
u
+
~
w
;
b)
~
u
,
~
u
+
~
v
,
~
u
+
~
v
+
~
w
,
~
u
+
~
v
+
~
w
+
~
x
;
c)
~
u
−
~
v
,
~
v
−
~
w
,
~
w
;
d)
~
u
−
~
v
,
~
v
−
~
w
,
~
w
−
~
x
,
~
x
−
~
u
;
e)
~
u
−
3
~
v
+5
~
w
,
2
~
u
+
~
v
+3
~
w
,
3
~
u
+2
~
v
+4
~
w
;
f)
2
~
u
+3
~
v
+
~
w
,
~
u
+2
~
v
+
~
x
,
4
~
u
+7
~
v
+
~
w
+2
~
x
.
Zadanie2.5
Niech
V
b¦dzieprzestrzeni¡liniow¡,a
~
u
,
~
v
,
~
w
,
~
x
wektoramiztejprzestrzeni.Uzasadni¢,»eje»eliwektory:
a)
~
u
,
~
v
,
~
w
s¡liniowozale»ne,towektory
~
u
,
~
v
,
~
w
,
~
x
te»s¡liniowozale»ne;
b)
~
u
,
~
v
s¡liniowoniezale»ne,awektory
~
u
,
~
v
,
~
w
liniowozale»ne,towektor
~
w
jestkombinacj¡liniow¡wektorów
~
u
,
~
v
;
c)
~
u
,
~
v
,
~
w
s¡liniowoniezale»neiwektor
~
x
niejestkombinacj¡liniow¡tychwektorów,towektory
~
u
,
~
v
,
~
w
,
~
x
s¡
liniowoniezale»ne;
d)
~
u
,
~
v
,
~
w
s¡liniowoniezale»ne,awektory
~
u
,
~
v
,
~
w
,
~
x
s¡liniowozale»ne,towektor
~
x
jestkombinacj¡liniow¡
wektorów
~
u
,
~
v
,
~
w
.
e*)
Como»napowiedzie¢oliniowejniezale»no±ciwektorów
~
u
+
~
v
,
~
u
+
~
w
,
~
v
−
~
w
,
je»eliwektory
~
u
,
~
v
,
~
w
s¡liniowo
zale»ne?
Zadanie2.6
Uzasadni¢liniow¡niezale»no±¢podanychniesko«czonychukładówwektorówzodpowiednichprzestrzeniliniowych:
a)
{
(1
,
0
,
0
,...
)
,
(1
,
1
,
0
,...
)
,
(1
,
1
,
1
,...
)
,...
}
,
R
1
;
b)
1
,x,x
2
,...
,
R
[
x
];
c)
n
p
n
2
R
[
x
]:
p
n
(
x
)=
x
n
−
1
Zadanie2.7
Uzasadni¢,»edowolnetrzyniewspółpłaszczyznowewektorywprzestrzeni
R
3
s¡liniowoniezale»ne.
Listatrzecia
Zadanie3.1
Opisa¢(geometrycznielubsłownie)zbiorylin
A
dla:
a)
A
=
{
(5
,
−
1
,
4)
,
(
−
10
,
2
,
−
8)
}
R
3
;
b)
A
=
x
+3
,x
(
x
+3)
,x
2
(
x
+3)
,x
3
(
x
+3)
R
[
x
];
("
0 1 0
−
1 0 0
0 0 0
#
"
0 0
−
2
0 0 0
2 0 0
#
"
0 0 0
0 0 3
0
−
3 0
#)
c)
A
=
,
,
M
3
×
3
;
d*)
A
=
{
(1
,
1
,
1
,
1
,
1
...
)
,
(0
,
2
,
2
,
2
,
2
...
)
,
(0
,
0
,
3
,
3
,
3
,...
)
,...
}
R
1
.
Zadanie3.2
Wyznaczy¢generatorypodanychprzestrzeniliniowych:
a)V
=
(
x,y,z
)
2
R
3
:4
x
−
y
+2
z
=0
;
b)V
=
(2
r
+
s
−
t,t
−
u,r
+3
s
+
u,s
+
u,t
−
u
):
r,s,t,u
2
R
;
c)V
=
(
x,y,z,t
)
2
R
4
:
x
−
y
=
y
−
z
=
z
−
t
;
d)V
=
p
2
R
3
[
x
]:
p
(1)+
p
(2)=
p
(3)+
p
0
(0)
.
Zadanie3.3
Sprawdzi¢zdefinicji,czypodanezbiorywektoróws¡bazamiwskazanychprzestrzeniliniowych:
a)
B
=
{
(2
,
5)
,
(3
,
1)
,
(6
,
−
7)
}
,
R
2
;
b)
B
=
{
(2
,
3
,
−
1)
,
(1
,
−
3
,
2)
}
,
R
3
;
c)
B
=
{
(1
,
−
1
,
4)
,
(3
,
0
,
1)
,
(2
,
1
,
−
2)
}
,
R
3
;
d)
B
=
2
x
+4
,
3
x
−
x
2
,
−
2
x
2
+4
x
−
4
,
R
2
[
x
]
.
4
x
−
1
dla
x
6
=1
,n
2
N
o
,
R
[
x
];
d*)
{
1
,
cos
x,
cos2
x,...
}
,
C
(
R
);
e*)
e
tx
:
t
2
R
,
C
(
R
)
.
 Zadanie3.4
Wektory
~
u
,
~
v
,
~
w
tworz¡baz¦przestrzeniliniowej
V
.Zbada¢zdefinicji,czypodanezbiorywektorówte»s¡bazami
przestrzeni
V
:
a)
~
u
−
2
~
v
+
~
w
,
3
~
u
+
~
w
,
~
u
+4
~
v
−
~
w
;
b)
~
u
,
2
~
u
+
~
v
,
3
~
u
−
~
v
+4
~
w
.
Zadanie3.5
Dlajakichwarto±ciparametru
p
2
R
podanezbiorywektorówstanowi¡bazyodpowiednichprzestrzeni
R
n
:
a)
B
=
{
(
p
−
2
,
−
p
)
,
(3
,
2+
p
)
}
,
R
2
;
b)
B
=
{
(1
,
3
,p
)
,
(
p,
0
,
−
p
)
,
(1
,
2
,
1)
}
,
R
3
;
c)
B
=
(1
,
1
,
1
,
1)
,
(1
,p,
2
,
3)
,
1
,p
2
,
4
,
9
,
1
,p
3
,
8
,
27
,
R
4
;
d*)
B
=
{
(0
,
1
,
1
,...,
1)
,
(
p,
0
,
1
,...,
1)
,
(
p,p,
0
,...,
1)
,...,
(
p,p,p,...,
0)
}
,
R
n
?
Zadanie3.6
Wskaza¢bazyiokre±li¢wymiarypodanychprzestrzeniliniowych:
a)V
=
(
x
+
y
+
z,x
−
y,x
−
z,y
−
z
):
x,y,z
2
R
;
b)V
=
(
a
+2
b
+
c,
3
a
−
b
+2
c,
5
a
+3
b
+4
c
):
a,b,c
2
R
;
c)V
=
(
x,y,z,t
)
2
R
4
:2
x
−
y
=
z
−
t
=0
;
d)V
=
p
2
R
4
[
x
]:
p
(2
x
)=4
x
p
0
(
x
)+
p
(0)
;
e)V
=
A
=[
a
ij
]
2
M
3
×
4
:
a
ij
=0dla
i
¬
j
;
f)V
=lin
1
,e
x
,e
−
x
,
sh
x,
ch
x
,
przyczym
V
C
(
R
)
.
Zadanie3.7
Znale¹¢bazypodanychprzestrzeniliniowychzawieraj¡cewskazanezbiorywektorów:
a)
{
(
−
1
,
5
,
3)
}
,
R
3
;
b)
{
(1
,
0
,
1
,
−
1)
,
(2
,
3
,
−
1
,
2)
,
(3
,
3
,
2
,
1)
}
,
R
4
;
c)
2
x
−
3
,x
3
+4
x
−
1
,
R
3
[
x
];
d)
x
2
+5
,x
2
−
3
x,x
4
−
2
x
3
,
R
4
[
x
];
e*)
1
,
1+
x
2
,
1+
x
2
+
x
4
,
1+
x
2
+
x
4
+
x
6
,...,
,
R
[
x
]
.
Listaczwarta
Zadanie4.1
Znale¹¢zdefinicjiwspółrz¦dnepodanychwektorówwewskazanychbazachodpowiednichprzestrzeniliniowych:
a)
~
v
=(1
,
4)
2
R
2
,B
=
{
(1
,
5)
,
(1
,
6)
}
;
b)
~
v
=(8
,
1
,
7
,
5)
2
R
4
,B
=
{
(1
,
0
,
0
,
0)
,
(1
,
1
,
0
,
0)
,
(1
,
1
,
1
,
0)
,
(1
,
1
,
1
,
1)
}
;
c)p
=
x
2
−
3
x
+3
2
R
2
[
x
]
,B
=
x
2
+3
x
−
1
,
−
x
2
+
x
+3
,
2
x
2
−
x
−
2
;
d)A
=
h
32
13
i
,
h
41
00
i
,
h
22
13
i
,
h
−
10
01
io
.
Zadanie4.2
Wyznaczy¢współrz¦dnewektora
~
v
wpodanejbazie
B
0
pewnejprzestrzeniliniowejmaj¡cdanejegowspółrz¦dne
wbazie
B
:
a)
[4
,
−
3]
,B
=
n
~
b
1
,
~
b
2
o
,
B
0
=
n
~
b
1
−
~
b
2
,
~
b
2
−
~
b
3
,...,
~
b
n
−
1
−
~
b
n
,
~
b
n
o
.
Zadanie4.3
Obliczy¢współrz¦dnewskazanychwektorówwwybranychbazachpodanychprzestrzeniliniowych:
a)V
=
(
x
−
5
y,x
+
y,
2
x
+
y,x
+
y
):
x,y
2
R
,
~
v
=(
−
2
,
4
,
7
,
4);
b)V
=
(
x,y,z,t
)
2
R
4
:
x
−
2
y
=
y
−
2
z
=0
,
~
v
=(8
,
4
,
2
,
9);
c)V
=
p
2
R
3
[
x
]:
p
(1)=
p
(0)
,
q
=2
x
3
−
x
2
−
x
+5;
d)V
=
A
=[
a
ij
]
2
M
2
×
2
:
a
11
+
a
22
=0
,
B
=
h
3 1
−
2
−
3
i
.
5
i
2
M
2
×
2
,B
=
nh
10
00
o
;
b)
[1
,
1
,
−
2]
,B
=
x,x
+1
,x
2
+1
,B
0
=
1
,
1+
x
2
,x
+
x
2
;
c*)
[1
,
2
...,n
]
,B
=
n
~
b
1
,
~
b
2
,...,
~
b
n
o
,B
0
=
n
2
~
b
1
−
~
b
2
,
~
b
1
+2
~
b
2
[ Pobierz całość w formacie PDF ]