Algebra 0-07 ciało liczb ...

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wykład7
Ciałoliczbzespolonychcd.
Interpretacjageometrycznaliczbyzespolonej
Ka»daliczbazespolona
z
=
a
+
bi
jestopisanaprzezpar¦liczbrzeczywi-
stych.Zatemmo»naj¡interpretowa¢jakopunkt(lubwektor)napłaszczy¹nie
owspółrz¦dnych(
a,b
):
Im
z
6
`
b
`
z
=
a
+
bi
`
a
-
Re
z
Odległo±¢liczby
z
odpocz¡tkuukładuwspółrz¦dnychnazywamy
modu-
łemliczby
z
ioznaczamygoprzez
|
z
|
.
Je±li
z
=
a
+
bi
to
|
z
|
=
p
a
2
+
b
2
.
a
2
=0.Zatem
rozwi¡zaniemrównanias¡wszystkieliczbyrzeczywistemniejszeodzera.
Własno±cimodułówliczbzespolonych
1.
|
z
·
w
|
=
|
z
|·|
w
|
,
2.Je±li
w
6
=0to
|
z
w
|
=
|
z
|
p
|
w
|
z
+
w
,wtedy
|
t
|
=1i
t
(
z
+
w
)=
|
z
+
w
|2
R.St¡dmamy:
|
z
+
w
|
=
t
(
z
+
w
)=
tz
+
tw
=Re(
tz
+
tw
)=
=Re(
tz
)+Re(
tw
)
¬|
tz
|
+
|
tw
|
=
|
z
|
+
|
w
|
,
4.
z
·
¯
z
=
|
z
|
2
.
Zadanie
Poda¢interpretacj¦geometryczn¡zbioru
{
z
2
C:
|
z
|
=1
}
oraz
zbioru
{
z
2
C:
|
z
−
i
|
=1
}
.
Rozwi¡zanie
{
z
2
C:
|
z
|
=1
}
:
1
Zadanie
Rozwi¡za¢równanie
|
z
|
+
z
=0.
Rozwi¡zanie
Poniewa»
|
z
|
interpretujemyjakoodległo±¢,wi¦c
|
z
|2
R.Wi¦c
je±li
z
=
−|
z
|
toIm(
z
)=0zatem
z
=
a
2
R.St¡dmamy
a
+
3.
|
z
+
w
|¬|
z
|
+
|
w
|
Dowód
Niech
t
=
|
z
+
w
|
 Im
z
6
`
1
-
Re
z
{
z
2
C:
|
z
−
i
|
=1
}
:
Im
z
6
`
i
-
Re
z
K¡t
mi¦dzydodatni¡stron¡osiRe,apromieniemwodz¡cymliczby
z
nazywamyargumentemtejliczbyioznaczamyprzezarg(
z
).
Im
z
6
z
=
a
+
bi
'$
Arg
z
-
Re
z
&%
Argumentemliczbyzespolonejjestzbiórliczbrzeczywistychbonp.argu-
mentemliczby1+
i
jestzbiór
{
4
+2
k
:
k
2
Z
}
.
Argumentemgłównym
liczby
z
nazywamytenzargumentówktóry
zawartyjestwprzedziale[0
,
2
).Argumentgłównyliczby
z
oznaczamyprzez
Arg(
z
),np.Arg(1+
i
)=
4
.
Zadanie
Narysowa¢napłaszczy¹niezbiór
{
z
2
C:Arg(
z
)=
2
3
}
.
Rozwi¡zanie
2
`
Im
z
6
A
A
A
A
A
A
-
Re
z
Je±li
jestargumentemliczby
z
=
a
+
bi
tomamy:
cos
=
a
|
z
|
,
sin
=
b
|
z
|
Je±li
z
=
a
+
bi
6
=0tomamy:
|
z
|
+
i
b
!
z
=
|
z
|
=
|
z
|
(cos
+
i
sin
)
|
z
|
posta¢t¡nazywamy
postaci¡trygonom
etrycz
n¡
li
c
zby
z
.
Przykład
Niech
z
=1
−
i
,wtedy
|
z
|
=
p
1
2
+1
2
=
p
2,
cos
=
1
p
p
2
,
sin
=
−
1
p
2
p
2
2
2
=
2
=
−
st¡dArg(
z
)=2
−
4
=
7
4
,awi¦cpostaci¡trygonometryczn¡liczby
z
=1
−
i
jest:
p
cos
7
4
+
i
sin
7
z
=1
−
i
=
2
4
.
|
w
|
(cos(
−
)+
i
sin(
−
))
.
Dowód
z
·
w
=
|
z
|
(cos
+
i
sin
)
|
w
|
(cos
+
i
sin
)=
|
z
||
w
|
((cos
cos
−
sin
sin
)+
i
(cos
sin
+cos
sin
))=
|
z
||
w
|
(cos(
+
)+
i
sin(
+
))
,
todajedowódpunktu1.
Punkt2.jestindukcyjnymuogólnieniempunktu1.,apunkt3.udowadnia
si¦podobniejakpunkt1.
Zadanie
Wyznaczy¢liczb¦(
−
1+
i
p
3)
125
.
1
AbrahamdeMoivre1667-1754,matematykangielski
3
a
Niech
z
=
|
z
|
(cos
+
i
sin
)
,w
=
|
w
|
(cos
+
i
sin
)wtedymamy:
1.
zw
=
|
z
||
w
|
(cos(
+
)+
i
sin(
+
)),
2.
8
n
2
N
z
n
=
|
z
|
(cos(
n
)+
i
sin(
n
))(wzórMoivre’a
1
),
3.
z
w
=
|
z
|
Rozwi¡zanie
Szuka
myp
o
stacitrygonometrycznejliczby
z
=
−
1+
i
p
3.
p
p
4=2,cos
=
−
1
2
,
sin
=
2
,st¡dArg(
z
)=
3
−
3
=
2
3
.Zatem:
3
+
i
sin
2
z
=2
3
.
Wykorzystuj¡cwzórMoivre’amamy:
z
125
=2
125
cos
2
·
125
3
+
i
sin
2
·
125
3
,
poniewa»2
·
125=250=3
·
83+1,to:
z
125
=2
125
cos
4
3
+
i
sin
4
=2
125
−
1
p
3
2
!
3
2
−
i
.
Pierwiastkowanieliczbzespolonych
Liczb¦
w
nazywamypierwiastkiem
n
-tegostopniazliczbyzespolonej
z
,je±li
w
n
=
z
.
Twierdzenie1
Dladowolnejliczbyzespolonejz
6
=0
istniejedokładnien
ró»nychpierwiastkówstopnianzz.Je±liz
=
|
z
|
(cos
+
i
sin
)
topier-
wiastkin-tegostopniazzwyra»aj¡si¦wzorami:
k
=
n
q
cos
+2
k
n
+
i
sin
+2
k
!
|
z
|
n
,
gdziek
=0
,
1
,...,n
−
1
,a
n
q
|
z
|
oznaczapierwiastekarytmetycznyzliczby
rzeczywistejdodatniej
|
z
|
.
Dowód
Je±li
w
jest
n
-tympierwiastkiemz
z
=
|
z
|
(cos
+
i
sin
)i
w
=
|
w
|
(cos
+
i
sin
)tozrówno±ci
w
n
=
z
izewzoruMoivre’amamy:
(
|
w
|
n
=
|
z
|
,
n
=
+2
k
n
,je±li
k>n
tomo»emypodzieli¢
k
przez
n
zreszt¡.Otrzymamywtedy
k
=
qn
+
r,
0
¬
rlen
,imamy
=
+2
k
n
=
n
+2
q
.Poniewa»sinicoss¡funkcjamiookresie2
wi¦c
parzyst¡wielokrotno±¢k¡ta
mo»naodrzuci¢imamy
=
+2
r
n
dla0
¬
r<n
.Łatworównie»sprawdzi¢,»edla
k
6
=
l
mamy
k
6
=
l
.
4
Mamy
|
z
|
=
p
1+3=
cos
2
gdzie
k
2
Z.St¡d
=
+2
k
+2(
qn
+
r
)
n
=
+2
r
Zadanie
Wyznaczy¢wszystkiepierwiastkitrzeciegostopniazliczby
i
.
Rozwi¡zanie
Przedstawiamyliczb¦
i
wpostacitrygonometrycznej:
i
=cos
2
+
i
sin
2
.
Zgodniezpowy»szymtwierdzeniempierwiastkamistopniatrzeciegozliczby
i
s¡:
2
+2
k
2
+2
k
z
k
=cos
3
+
i
sin
3
,
dla
k
2{
0
,
1
,
2
}
.St¡dotrzymujemy:
2
+
i
1
2
,
z
1
=cos
5
6
+
i
sin
5
6
=
−
p
3
2
+
i
1
2
,
z
2
=cos
9
6
+
i
sin
9
6
=
−
i.
p
3
5
z
0
=cos
6
+
i
sin
6
=
[ Pobierz całość w formacie PDF ]