Algebra 1-04 przestrzenie i ...

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wykład4
Udowodnimyteraz,»eje±li
U,W
s¡podprzetrzeniamisko«czeniewymiarowej
przestrzeni
V
tozachodziwzór:
dim(
U
+
W
)=dim
U
+dim
W
−
dim(
U
\
W
)
Rzeczywi±cie
U
\
W
jestpodprzetrzeni¡przestrzeni
U
i
W
,awi¦c
U
\
W
jestsko«czeniewymiarowa.Przestrze«
U
\
W
posiada,wi¦csko«czon¡baz¦
v
1
,...,v
k
.ZgodnieztwierdzeniemSteinitzabaz¦t¡mo»nauzupełni¢dobaz
przestrzeni
U
iprzestrzeni
W
.Istniej¡,wi¦cwektory
u
1
,...,u
n
i
w
1
,...,w
m
,
»e:
v
1
,...,v
k
,u
1
,...,u
n
jestbaz¡przestrzeni
U
,
v
1
,...,v
k
,w
1
,...,w
m
jestbaz¡przestrzeni
W
.
Dodowodupowy»szejrówno±ciwystarczysprawdzi¢,»eukład
v
1
,...,v
k
,u
1
,...,u
n
,w
1
,...,w
m
jestbaz¡przestrzeni
U
+
W
.
Je±li
x
2
U
+
W
to
x
=
u
+
w
,gdzie
u
2
U
,
w
2
W
,wtedy
u
jestliniow¡
kombinacj¡wektorów
v
1
,...,v
k
,u
1
,...,u
n
,a
w
liniow¡kombinacj¡wekto-
rów
v
1
,...,v
k
,w
1
,...,w
m
,azatemwektor
x
jestliniow¡kombinacj¡wekto-
rów
v
1
,...,v
k
,u
1
,...,u
n
,w
1
,...,w
m
.Sprawdzimyterazliniow¡niezale»no±¢.
Rozwa»myrównanie:
1
v
1
+
...
+
k
v
k
+
1
u
1
+
...
+
n
u
n
+
1
w
1
+
...
+
m
w
m
=
0
poniewa»
w
i
62
U
to
1
=
...
=
m
=0inaszarówno±¢przybieraposta¢:
1
v
1
+
...
+
k
v
k
+
1
u
1
+
...
+
n
u
n
=
0
alewektory
v
1
,...,v
k
,u
1
,...,u
n
s¡liniowoniezale»ne,wi¦c
1
=
...
=
k
=
1
=
...
=
m
=0iudowodnili±myliniow¡niezale»no±¢.
Przykład
Wyznaczymybazyiwymiaryprzestrzeni
U,V,U
\
V,U
+
V
,gdzie:
U
=Lin
{
(1
,
2
,
1
,
1)
,
(0
,
1
,
1
,
−
1)
,
(1
,
3
,
2
,
0)
,
(2
,
6
,
4
,
0)
}
V
=Lin
{
(1
,
1
,
0
,
0)
,
(0
,
0
,
1
,
1)
,
(2
,
3
,
2
,
2)
}
Przestrze«
U
składasi¦zwszystkichwektorów,któremo»nazapisa¢wposta-
ci
(1
,
2
,
1
,
1)+
(0
,
1
,
1
,
−
1)+
(1
,
2
,
2
,
0)+
(2
,
5
,
4
,
0),dla
,,,
2
R
.Je±li
jedenzwektorówjestliniowozale»nyodpozostałychtomo»nagozzestawu
wektorówgeneruj¡cych
U
wykre±li¢.Zatemznalezieniebazytejprzestrzeni
jestrównowa»nezeznalezieniemmaksymalnegozbioruliniowoniezale»nego
wzbiorzewektorów
{
(1
,
2
,
1
,
1)
,
(0
,
1
,
1
,
−
1)
,
(1
,
2
,
2
,
0)
,
(2
,
5
,
4
,
0)
}
.Zestawmy
naszewektorywmacierz:
2
121 1
011
−
1
132 0
264 0
3
6
6
6
4
7
7
7
5
1
wtedyoperacjeelementarnenawierszachtejmacierzyodpowiadaj¡opera-
cjomnawektorach.
2
6
6
6
4
3
7
7
7
5
−!
w
4
−
2
w
1
2
6
6
6
4
1211
011
−
1
011
−
1
022
−
2
3
7
7
7
5
−!
w
3
−
w
2
2
6
6
6
4
1211
011
−
1
0000
0000
3
7
7
7
5
zatembaz¡przestrzeni
U
s¡wektory(1
,
2
,
1
,
1)
,
(0
,
1
,
1
,
−
1),ajejwymiarjest
równy2(zauwa»my,»ewymiartejprzestrzenijestrównyrz¦dowimacierzy).
Obliczymyterazwymiarprzestrzeni
V
:
2
6
4
1100
0011
2322
3
7
5
−!
w
3
−
2
w
2
2
6
4
1100
0011
0100
3
7
5
iponiewa»rz¡dtejmacierzyjestrówny3towektory(1
,
1
,
0
,
0),(0
,
0
,
1
,
1),
(0
,
1
,
0
,
0)s¡liniowoniezale»ne.Zatemwymiarprzestrzeni
V
jestrówny3.
Zajmiemysi¦terazprzestrzeni¡
U
+
V
.Nietrudnozauwa»y¢,»e:
U
+
V
=Lin
{
(1
,
2
,
1
,
1)
,
(0
,
1
,
1
,
−
1)
,
(1
,
1
,
0
,
0)
,
(0
,
0
,
1
,
1)
,
(0
,
1
,
0
,
0)
}
2
1211
011
−
1
1100
0011
0100
3
6
6
6
6
6
6
4
7
7
7
7
7
7
5
rz¡dtejmacierzyjestrówny4,wi¦cdim(
U
+
V
)=4.Zewzoru
dim(
U
+
W
)=dim
U
+dim
W
−
dim(
U
\
W
)
otrzymujemy:dim(
U
\
W
)=1.
Zadanie
Wyznaczy¢wszystkiepodprzestrzenieprzestrzeni
R
(nadciałem
R
).
Rozwi¡zanie
Poniewa»dim
R
=1toka»dapodprzestrze«mawymiar0lub
1.Je±liwymiarpodprzestrzenijestrówny0topodprzestrze«jestzerowa,
je±liwymiarjestrówny1topodprzestrze«pokrywasi¦z
R
,awi¦c
R
ma
tylkodwiepodprzestrzenie.
Niech
B
=
{
b
1
,...,b
n
}
b¦dziebaz¡przestrzeniliniowej
V
.Wtedyka»dy
wektor
v
2
V
dasi¦jednoznaczniezapisa¢wpostacikombinacjiliniowej
wektorów
b
1
,...,b
n
,zatemistniej¡skalary
k
1
,...,k
n
,»e
v
=
k
1
v
1
+
...
+
k
n
v
n
.
Skalary
k
1
,...,k
n
nazywamywspółrz¦dnymiwektora
v
wzgl¦dembazy
B
i
piszemy
v
=(
k
1
,...,k
n
)
B
.
2
1211
011
−
1
1320
2640
w
3
−
w
1
w
4
−
2
w
2
w
3
−
2
w
1
Przekształcenialiniowe
Niech
V
i
W
b¦d¡przestrzeniamiliniowyminadtymsamymciałem
K
.
Przekształcenie:
f
:
V
!
W
nazywa¢b¦dziemy
przekształceniemliniowym
przestrzeni
V
wprzestrze«
W
je±li:
8
v
1
,v
2
2
Vf
(
v
1
+
v
2
)=
f
(
v
1
)+
f
(
v
2
)
,
oraz
8
v
2
V
8
k
2
Kf
(
kv
)=
kf
(
v
)
Prost¡konsekwencj¡tejdefinicjijestfakt,»e
f
(
0
)=
0
.Rzeczywi±cie
f
(
0
)=
f
(
0
+
0
)=
f
(
0
)+
f
(
0
)st¡dwynika,»e
f
(
0
)=
0
.
Przykład
Dladowolnychprzestrzeniliniowych
U
,
V
nadtymsamymciałem
przekształcenie(
v
)=
0
jestprzekształceniemliniowym.Przekształcenieto
nazywamy
przekształceniemzerowym
.
Zadanie
Udowodni¢,»efunkcja:
2
f
(
x,y,z
)=(
x
+
y,x
−
y
)
f
:
R
3
!
R
jestprzekształceniemliniowym.
Przykład
Funkcja:
R
[
x
]
!
R
[
x
],danawzorem(
g
)=
g
0
jestprzekształ-
ceniemliniowym.
Przekształcenieliniowenazywanejestrównie»
homomorfizmem
przestrze-
niliniowych.Przekształcenieliniowe,któreprzekształcaprzestrze«
V
wsie-
bienazywa¢b¦dziemy
operatoremliniowym
.Je±liprzekształcenieliniowe
przestrzeniliniowychjestrównie»bijekcj¡tonazywa¢jeb¦dziemy
izomor-
fizmem
przestrzeniliniowych.
Zadanie
Udowodni¢,»efunkcja
f
:
R
3
!
R
3
nasiebie.
3
!
R
danawzorem
f
(
x,y,z
)=
x
+
y
+
z
jest
przykłademfunkconałuliniowego.
Je±li
V
i
W
s¡przestrzeniamiliniowyminadtymsamymciałem
K
toprzez
Hom(
V,W
)oznacza¢b¦dziemyzbiórwszystkichprzekształce«liniowych
V
w
W
.
3
3
,zadanawzorem
f
(
x,y,z
)=
(
x
+
y
+
z,y
+
z,z
)jestizomorfizmemprzestrzeni
R
Niech
V
b¦dzieprzestrzeni¡liniow¡nadciałem
K
,wtedyprzekształcenie
liniowe,któreprzekształca
V
w
K
(jakojednowymiarow¡przestrze«)nazy-
wamy
funkcjonałemliniowym
Przykład
Funkcja
f
:
R
Zadanie
Wyznaczy¢Hom(
R
,
R
).
Rozwi¡zanie
We¹my
f
2
Hom(
R
,
R
)iprzyjmijmy
a
:=
f
(1).Wtedymamy
f
(
x
)=
f
(
x
·
1)=
xf
(1)=
xa
dlaka»dego
x
2
R
.Zatemka»dyoperator
liniowywprzestrzeni
R
jestfunkcj¡
f
(
x
)=
ax
.
WzbiorzeHom(
V,W
)mo»nawprowadzi¢działaniadodawaniahomomor-
fizmówimno»eniahomomorfizmuprzezskalar.Sum¡funkcji
f
(
x
)i
g
(
x
)
jestfunkcja
f
(
x
)+
g
(
x
),ailoczynemliczby
k
przezfunkcj¦
f
(
x
)jestfunk-
cja
kf
(
x
).ZbiórHom(
V,W
)ztakokre±lonymidziałaniamijestprzestrzeni¡
liniow¡nadciałem
K
.
Zadanie
Udowodni¢,»eprzestrze«Hom(
R
,
R
)jestizomorficznazprzestrze-
ni¡
R
.
Rozwi¡zanie
Jakstwierdzili±mywcze±niejzbiórHom(
R
,
R
)skadasi¦zfunk-
cji
f
(
x
)=
ax
.Niech
f
(
x
)=
ax
,
g
(
x
)=
bx
,wtedy
f
(
x
)+
g
(
x
)=(
a
+
b
)
x
,
kf
(
x
)=
kax
.Zatemprzekształcenie,któreka»dejfunkcji
f
(
x
)=
ax
przypo-
rz¡dkowujeliczb¦
a
jestposzukiwanymprzeznasizomorfizmem.
Twierdzenie1
NiechVbedzieprzestrzeni¡liniow¡nadciałemKiniech
dim
V
=
n<
1
.Wtedyprzestrze«Vjestizomorficznazprzestrzeni¡K
n
.
Dowód
Poniewa»wymiarprzestrzeni
V
jestrówny
n
tow
V
istniejebaza
składaj¡casi¦z
n
wektorów.Niech
B
=
{
b
1
,...,b
n
}
b¦dziejak¡kolwiekba-
z¡przestrzeni
V
.Wtedyka»demuwektorowimo»naprzyporz¡dkowa¢jego
współrz¦dne(
k
1
,...,k
n
)
B
wzgl¦dembazy
B
.Zatemnaszymodwzorowaniem
jestfunkcja:
(
k
1
,...,k
n
)
B
!
(
k
1
,...,k
n
)
Twierdzenie2
NiechVb¦dzieprzestrzeni¡liniow¡nadciałemKiniech
B
=
{
b
1
,...,b
n
}
b¦dziebaz¡przestrzeniV.Wtedydladowolnejprzestrze-
niWnadciałemKidladowolnegoukładuwektoróww
1
,...,w
n
2
W
istniejedokładniejednoprzekształcenieliniowef
:
V
!
W,»ef
(
b
1
)=
w
1
,...,f
(
b
n
)=
w
n
.
Dowód
Niech
v
2
V
wtedyistniej¡skalary
k
1
,...,k
n
,»e
v
=
k
1
v
1
+
...
+
k
n
v
n
.
Wtedynaszeprzekształcenie
f
danejestwnast¦puj¡cysposób:
f
(
k
1
v
1
+
...
+
k
n
v
n
)=
k
1
w
1
+
...
+
k
n
w
n
4
J¡droiobrazprzekształcenialiniowego
Niech
f
b¦dzieprzekształceniemliniowymprzestrzeni
V
wprzestrze«
W
.
Wtedyzbiórtychwektorów
v
,dlaktórych
f
(
v
)=
0
nazywamy
j¡drem
przekształcenia
f
ioznaczamygoprzezKer(
f
).Mamyzatem:
Ker(
f
)=
{
v
2
V
:
f
(
v
)=
0
}
Obrazemprzekształcenia
f
nazywamyzbiórtakichelementów
w
2
W
,dla
którychistnieje
v
2
V
,»e
f
(
v
)=
w
ioznaczamygoprzezIm(
f
).
Twierdzenie3
Niechf
:
V
!
Wb¦dzieprzekształceniemliniowym.Wte-
dyKer
(
f
)
jestpodprzestrzeni¡przestrzeniV,aIm
(
f
)
jestpodprzestrzeni¡
przestrzeniW.
Dowód
Je±li
u,v
2
Ker(
f
)to
f
(
u
)=
f
(
v
)=
0
imamy:
f
(
u
+
v
)=
f
(
u
)+
f
(
v
)=
0
+
0
=
0
zatem
u
+
v
2
Ker(
f
).Drugizwarunkówpodprzestrzenisprawdzasi¦po-
dobnie.
We¹myteraz
w
1
,w
2
2
Im(
f
),wtedyistniej¡
v
1
,v
2
2
V
,»e
f
(
v
1
)=
w
1
,
f
(
v
2
)=
w
2
imamy
w
1
+
w
2
=
f
(
v
1
)+
f
(
v
2
)=
f
(
v
1
+
v
2
)
2
Im(
f
).
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]