Algebra 0-06 ciało liczb ...

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wykład6
Ciałoliczbzespolonych
Rozwa»myrównanie
x
2
+1=0.Oczywi±cierównanietoniemarozwi¡za«
wcieleliczbrzeczywistych.Pytanie,którenasuwasi¦wtymmiejscubrzmi:
Czymo»natakrozszerzy¢ciałoliczbrzeczywistych,»ebyotrzyma¢nowecia-
ło,wktórymtorównaniemarozwi¡zanie(jednozzało»e«jesttakieabynowe
ciałozawierałociałoliczbrzeczywistychimusiby¢takie,»ebydziałaniaw
tymcieleograniczonedozbioruliczbrzeczywistychbyłyzwykłymidziała-
niamidodawaniaimno»enia).Takieciałomo»naskonstruowa¢.Oznaczmy
przez
i
jednozrozwi¡za«równania
x
2
+1=0(oczywi±cie
i
niejestlicz-
b¡rzeczywist¡),awi¦cmamy
i
2
=
−
1.Rozwa»myzbiórelementówpostaci
a
+
bi
,gdzie
a,b
s¡liczbamirzeczywistymi.Teelementymo»emytraktowa¢
jakoparyliczbrzeczwistychtoznaczyelement
a
+
bi
mo»emyuto»samia¢
zpar¡(
a,b
).Równo±¢
a
+
bi
=
c
+
di
zachodziwtedyitylkowtedygdy
a
=
c
i
b
=
d
.Zbiórtakichelementówoznacza¢b¦dziemyprzez
C
inazy-
wa¢b¦dziemyz
zbioremliczbzespolonych
,aka»dyelementtegozbioru
nazywa¢b¦dziemy
liczb¡zespolon¡
.Zapis
a
+
bi
liczbyzespolonejnazy-
wamy
postaci¡algebraiczn¡(lubkanoniczn¡)liczbyzespolonej
.Je±li
z
=
a
+
bi
jestliczb¡zespolon¡toliczb¦rzeczywist¡
a
nazywamy
cz¦±ci¡
rzeczywist¡liczby
z
ioznaczamyj¡przezRe(
z
),aliczb¦rzeczywist¡
b
nazywamy
cz¦±ci¡urojon¡liczby
z
ioznaczamyj¡przezIm(
z
).Naprzy-
kładRe(2
−
3
i
)=2,aIm(2
−
3
i
)=
−
3.Liczbyzespolones¡wi¦celementami
postaci:
(
a
+
bi
)+(
c
+
di
)=(
a
+
c
)+(
b
+
d
)
i,
(
a
+
bi
)(
c
+
di
)=(
ac
−
bd
)+(
ac
+
bd
)
i,
elementemneutralnym+jest0+0
i
,amno»enia1+0
i
.
Liczbypostaci
a
+0
i
uto»samiamyzliczbamirzeczywistymi.Mamyzatem
R
C
.
Przykład
Wykonajmydziałania:
(3+2
i
)
−
(5+4
i
)=
−
2
−
2
i
(2+3
i
)(3
−
4
i
)=18+
i
(2+4
i
)
2
=4+16
i
−
16=
−
12+16
i
1
a
+
bia,b
2
R
,i
2
=
−
1
Wzbiorzeliczbzespolonychmo»nawprowadzi¢działaniadodawaniai
mno»enia,któreoznacza¢b¦dziemyprzez+i
·
.Otoichdefinicje:
Zadanie
Wyznaczy¢liczbyrzeczywiste
x
i
y
dlaktórych:
(
x
+
iy
)(2
−
i
)=2
i
Rozwi¡zanie
(
x
+
iy
)(2
−
i
)=2
x
+
y
+(
−
x
+2
y
)
i
=2
i
st¡dmamy:
(
2
x
+3
y
=0
−
x
+2
y
=2
Zdrugiegorównaniaotrzymujemy
x
=2
y
−
2ipodstawiaj¡cdopierwszego
mamy2(2
y
−
2)+3
y
=0,st¡d7
y
=4,zatem
y
=
4
7
i
x
=2
4
7
−
2=
8
7
−
14
7
=
−
6
7
.
Poka»emyterazjakmo»nawyznaczy¢liczb¦odwrotn¡doliczby
a
+
bi
6
=0
toznaczyliczb¦
1
a
+
bi
:
a
+
bi
=
a
−
bi
1
(
a
+
bi
)(
a
−
bi
)
=
a
−
bi
a
2
+
b
2
=
a
a
2
+
b
2
−
b
a
2
+
b
2
i
Je±liliczba
a
+
bi
6
=0to
a
6
=0lub
b
6
=0iwtedy
a
2
+
b
2
6
=0,awi¦cliczba
a
+
bi
jestwtymprzypadkuodwracalna.Mamywi¦c
C
Twierdzenie1
Struktura
(
C
,
+
,
·
)
jestciałem.
Odwracaj¡cliczb¦
a
+
bi
wymno»yli±mylicznikimianownikprzezliczb¦
a
−
bi
,liczb¦t¡nazywamy
liczb¡sprz¦»on¡
doliczby
z
=
a
+
bi
ioznaczamy
j¡przez¯
z
.Mamyzatem:
Je±li
z
=
a
+
bi
2
C
to¯
z
=
a
−
bi
=
¯
z
¯
w
,
4.Je±li
z
=
a
+
bi
to
z
+¯
z
=2
a
,
z
·
¯
z
=
a
2
+
b
2
.
Je±li
z
6
=0tomamy:
z
w
z
=
¯
z
z
·
¯
z
.
Zadanie
Wyznaczy¢wszystkieliczbzespolone
z
,którespełniaj¡równanie:
¯
z
=
z
.
2
=
C
−{
0
}
.Powy»sze
rozwa»aniaprowadz¡nasdonast¦puj¡cegostwierdzenia:
W
łasno
±cisprz¦»enia
1.
z
±
w
=¯
z
±
¯
w
,
2.
z
·
w
=¯
z
·
¯
w
,
3.Je±li
w
6
=0to
1
 Rozwi¡zanie
Je±li
z
=
a
+
bi
to¯
z
=
a
−
bi
.Zatemmamy
a
−
bi
=
a
+
bi
,
st¡d2
bi
=0tooznacza,»e
b
=0.Zatemrówno±¢¯
z
=
z
jestspełnionawtedy
itylkowtedygdy
z
2
R
.
Zadanie
Wyznaczy¢wszystkieliczbyzespolone
z
,dlaktórych
z
2
=
−
5+12
i
.
Rozwi¡zanie
Niech
z
=
a
+
bi
,wtedy
z
2
=
a
2
−
b
2
+2
abi
=
−
5+12
i
to
namdajeukładrówna«:
(
a
2
−
b
2
=
−
5
2
ab
=12
zdrugiegorównaniaotrzymujemy
b
=
6
a
ipodstawiaj¡cdorównaniapierw-
szegootrzymujemy
a
2
=
−
5
mno»ymyobustronnieprzez
a
2
:
a
4
−
36=
−
5
a
2
przenosimynalew¡stron¦ipodstawiamy
t
=
a
2
:
t
2
+5
t
2
−
36=0
zatem=25+144=169,
p
169=13,wi¦c:
2
=
−
9
t
2
=
−
5+13
2
=4
Poniewa»
a
jestliczb¡rzeczywist¡wi¦c
t
musiby¢wi¦kszeodzera.Zatem
mamy:
a
2
=4
st¡d
a
=
±
2,
b
=
±
3.Poszukiwaneliczbyto:
z
1
=2+3
i,z
2
=
−
2
−
3
i
3
a
2
−
36
t
1
=
−
5
−
13
  [ Pobierz całość w formacie PDF ]