Algebra 2-08 równania stopnia 2

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wykład8
Wzorynarozwi¡zywanierówna«stopnia2,3,4wciele
C
Wszystkierozwa»aneturównaniamaj¡współczynnikizespolone.
Je±lirozwa»amyrównanie
az
2
+
bz
+
c
=0toznamyalgorytmrozwi¡zy-
waniategorównania.
Rozwa»myterazrównaniestopnia3:
az
3
+
bz
2
+
cz
+
d
=0.Poka»emy
jakrozwi¡zywa¢takierównania.
Przypadek1.
Niech
b
=0,awi¦cmamyrównanie
az
3
+
cz
+
d
=0.Po
pierwszeje±li
a
6
=0tomo»emynaszerównaniepodzieli¢obustronnieprzez
a
.Iprzyjmuj¡c,»e
s
=
c
a
,
t
=
d
a
,otrzymujemyrównanie:
z
3
+
sz
+
t
=0
Przedstawmyrozwi¡zanietegorównaniawpostaci
z
=
+
wtedyotrzy-
mujemy:
(
+
)
3
+
s
(
+
)+
t
=0
st¡d:
3
+3
2
+3
2
+
3
+
s
(
+
)+
t
=0
idalej:
3
+
3
+3
(
+
)+
s
(
+
)+
t
=0
awi¦c:
3
+
3
+
t
+(
+
)(3
+
s
)=0
Torównaniejestspełnionemi¦dzyinnymiwprzypadkugdy:
3
+
3
=
−
t
3
=
−
s
Podzielmydrugierównanieprzez3ipodnie±mydotrzeciejpot¦gi:
3
+
3
=
−
t
3
3
=
−
s
3
27
Wstawmy
u
za
3
i
v
za
3
wtedyotrzymujemy:
u
+
v
=
−
t
uv
=
−
s
3
27
Obliczmy
u
zdrugiegorównaniaiwstawmydopierwszego:
27
v
+
v
=
−
t
1
−
s
3
 Pomnó»myobiestronyprzez
v
:
−
s
3
27
+
v
2
=
−
tv
przenie±mynajedn¡stron¦:
27
=0
Otrzymali±myzale»no±¢kwadratow¡na
v
,atakierównaniaumiemyrozwi¡-
zywa¢.Tonampozwoliwyznaczy¢
v
,oraz
u
.Zwi¦crównie»
i
.Coda
namrozwi¡zaniewyj±ciowegorównania.
Przykład
Rozwi¡za¢opisan¡powy»ejmetod¡równanie
x
3
+3
x
−
4=0.
Przypadek2.
Je±li
b
6
=0todokonujemypodstawienia:
z
=
y
−
b
3
a
.Iotrzy-
mujemyrównanie:
v
2
+
tv
−
s
3
a
1
z
3
+
c
1
z
+
d
1
=0
gdzie
a
1
=
a,c
1
=3
as
2
−
2
bs
+
c,d
1
=
s
2
−
cs
+
d
−
as
3
,
s
=
b
3
a
.Awi¦cotrzymu-
jemyrównaniezprzypadkupierwszego.Je±lipotrafimyrozwi¡za¢równanie
a
1
z
3
+
c
1
z
+
d
1
=0topotrafimyrównie»rozwi¡za¢równaniewyj±ciowe.
Przykład
Rozwi¡za¢równanie
x
3
−
2
x
2
−
x
+2=0.
Rozwa»myterazrównaniestopnia4:
az
4
+
bz
3
+
cz
2
+
dz
+
e
=0.Podobnie
jakpoprzedniorozpatrzymydwaprzypadki:
Przypadek1.
Załó»my,»e
b
=0.Wtedymamyrównanie:
az
4
+
cz
2
+
dz
+
e
=
0.Podzielmynaszerównanieobustronnieprzez
a
iwstawmy:
s
=
c
a
,t
=
d
a
,r
=
e
z
4
+
sz
2
+
tz
+
r
=0
Spróbujmyrozło»y¢wielomiannailoczyndwóchwielomianówstopnia2:
z
4
+
sz
2
+
tz
+
r
=(
z
2
+
z
+
)(
z
2
+
z
+
)
Obliczmy:
(
z
2
+
z
+
)(
z
2
+
z
+
)=
z
4
+(
+
)
z
3
+(
+
+
)
z
2
+(
+
)
z
+
Poporównaniuzrównaniemwyj±ciowymotrzymujemyukładrówna«:
8
>
>
>
<
+
=0
+
+
=
s
+
=
t
=
r
>
>
>
:
2
a
.Wtedyrównanieprzybieraposta¢:
Terazkorzystaj¡czpierwszegorównaniamo»emywsz¦dziepozby¢si¦zmien-
nej
.
+
−
2
=
s
−
=
t
=
r
Przekształcaj¡cdwapierwszerównaniaotrzymujemy:
(
>
:
+
=
s
+
2
−
=
t
2
=
s
+
2
+
t
2
=
s
+
2
−
t
Wymnó»myterazterównaniaprzezsiebie:
4
=(
s
+
2
−
t
)(
s
+
2
+
t
)
wiemyte»»e
=
r
,awi¦cotrzymujemyrównanie:
)(
s
+
2
+
t
)=
s
2
+2
s
42
−
t
2
2
Wymnó»mytorównanieprzez
2
:
4
r
2
=
s
2
+2
s
6
−
t
2
Wstawmyza
2
zmienn¡
u
wtedyotrzymamy:
4
ru
=
s
2
+2
su
3
−
t
2
Otrzymali±myrównaniastopnia3nazmienn¡
u
topozwalanamwyznaczy¢
u
(stosujemypoprzednialgorytm).Aje±limamy
u
toznamyrównie»
,a
wi¦crównie»
i
.
Przypadek2.
Je±liwrównaniu
az
4
+
bz
3
+
cz
2
+
dz
+
e
=0mamy
b
6
=0
topodobniejakwprzypadkurówna«stopnia3mo»emysi¦pozby¢współ-
czynnikaprzytrzyciejpot¦dzedokonuj¡cpodstawienia
z
=
y
−
b
4
a
.Idalej
rozwi¡zujemyrównaniejakwprzypadkupoprzednim.
3
8
>
<
(
Anast¦pniedodaj¡ciodejmuj¡cstronamitedwaostatnierównaniaotrzy-
mujemy:
4
r
=(
s
+
2
−
t
[ Pobierz całość w formacie PDF ]