Algebra teoria 2010 2011

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Struktury algebraiczne.
Rozważmy dwa niepuste zbiory X i Y.
Parą uporządkowaną nazywamy parę
(
b
a
złożoną z elementów
X
,
)
a
∈
oraz
Y
b
∈
, w
której wiadomo, który element jest pierwszy, a który drugi.
Mówimy wówczas, że
a
jest poprzednikiem, zaś
b
następnikiem pary uporządkowanej
a
.
)
Iloczynem kartezjańskim zbioru X i zbioru Y nazywamy zbiór wszystkich par
uporządkowanych
)
(
b
a
takich, że
X
a
∈
oraz
Y
b
∈
, tzn. zbiór
X
×
Y
=
a
,
b
;
a
∈
X
∧
b
∈
Y
.
Niech X będzie dowolnym niepustym zbiorem. Działaniem dwuargumentowym
wewnętrznym nazywamy każdą funkcję
f
:
X
×
X
→
X
Zbiór
X
z wprowadzonym działaniem wewnętrznym „ * ” oznaczamy jako parę
(X,*)
.
Działanie „ * ” nazywamy :
a)
łącznym, gdy
∀
a,
b,
c
∈
X
(a
∗
b)
∗
c
=
a
∗
(b
∗
c
)
,
b)
przemiennym, gdy
∀
a,
b
∈
X
a
∗
b
=
b
∗
a
.
Jeżeli
∃
∈
X
∀
a
∈
X
e
∗
a
=
a
∗
e
=
a
, to element
X
e
∈
nazywamy elementem
neutralnym względem działania „*”
Przykład.
W zbiorze R, liczb rzeczywistych, elementem neutralnym względem dodawania
jest 0, zaś elementem neutralnym względem mnożenia jest 1.
TWIERDZENIE.
Jeżeli w zbiorze X określone jest działanie wewnętrzne „ * ” i e jest
elementem neutralnym względem tego działania, to jest to element jedyny.
(
b
,
,
e
W zbiorze
X
, w którym określone jest działanie „ * ” mające element neutralny
e
, element
a
'
X
nazywamy elementem symetrycznym do elementu
a
∈ względem działania „ * ”,
X
jeżeli
a'
∗
a
=
a
∗
a'
=
e
TWIERDZENIE.
Jeżeli w zbiorze X określone jest działanie łączne „ * ” mające element
neutralny e , i dla dowolnego elementu
a
∈
istnieje element symetryczny
X
a
'
X
, to element
ten jest jedyny,
Niech dane będą dwa niepuste zbiory
X
i
K
.
Funkcję
g
:
K
×
X
→
X
, która każdej parze
( )
X
k
×
,
a
∈
K
przyporządkowuje pewien
element
( )
g
, ze zbioru
X
nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze
X
.
k
x
Strukturą algebraiczną określoną na zbiorze
A
nazywamy każdy zespół
(
,
K
1
,...,
K
n
;
f
1
,...,
f
m
,
g
1
,...,
g
n
)
złożony ze zbioru
A
, z pewnej liczby działań wewnętrznych
f
,...,
f
m
w zbiorze
A
oraz z
pewnej liczby działań zewnętrznych
g
,...,
1
g
n
określonych w zbiorze
A
za pomocą zbiorów
K
,...,
1
K
n
.
Parę
( )
G
nazywamy
grupą,
jeżeli
G
jest niepustym zbiorem, w którym określone jest
,
działanie wewnętrzne
o
:
G
×
o
G
∋
(a,
b)
a
a
b
=
c
∈
G
,
mające wymienione niżej własności:
∧
−
jest łączne
a,b,
c
G
(a
o
=
b)
o
c
a
o
(b
o
c
)
∨
o
−
ma element neutralny
e
G
a
∈
G
e
o
a
=
a
e
=
a
,
−
każdy element
a ∈ ma element symetryczny
G
a'∈
G
Jeżeli działanie „
o
” jest przemienne grupę
( )
G
nazywamy
przemienną
lub
abelową
.
,
A
1
∈
∧
Uporządkowaną trójkę (P,+,*), gdzie P jest niepustym zbiorem P wyposażonym w dwa
działania wewnętrzne oznaczone przez + i * nazywamy
pierścieniem
jeżeli
1.
(P,+) jest grupą abelową,
2.
(P,*) jest półgrupą tzn. jest to zbiór P z działaniem łącznym,
3.
drugie działanie jest rozdzielne względem pierwszego
Inaczej
(P,+) jest grupą abelową
•
+ : PP
+
:
P
×
P
∋
(
a
,
b
)
a
a
+
b
∈
P
,
∧
•
a
,
b
,
c
P
(
a
+
b
)
+
c
=
a
+
(
b
+
c
)
∨
∈
∧
•
0
P
a
∈
P
0
+
a
=
a
+
0
=
a
Element neutralny 0 pierwszego działania nazywamy
zerem
pierścienia,
∧
a
∈
∨
•
Element symetryczny do a względem pierwszego działania
nazywamy
elementem przeciwnym
i oznaczamy symbolem -a.
P
−
a
∈
P
a
+
(
−
)
=
0
.
∧
•
a
,
b
P
a
+
b
=
b
+
a
.
(P,*) jest półgrupą
•
*
:
P
×
P
∋
(
a
,
b
)
a
a
*
b
∈
P
∧
•
a
,
b
,
c
P
(
a
*
b
)
*
c
=
a
*
(
b
*
c
)
drugie działanie jest rozdzielne względem pierwszego
∧
a
,
b
,
c
∈
P
(
a
+
b
)
*
c
=
a
*
c
+
b
*
c
∧
c
*
(
a
+
b
)
=
c
*
a
+
c
*
b
a
,
b
,
c
∈
P
Pierścień (P,+,*) nazywamy
*
przemiennym
jeżeli drugie działanie jest przemienne
a
,
∧
P
a
*
b
=
b
*
a
*
pierścieniem z jednością
lub
pierścieniem unitarnym,
jeżeli istnieje w nim element
∨
1
neutralny drugiego działania
1
∈
∧
P
a
∈
P
1
*
a
=
a
*
=
a
.
Element neutralny drugiego działania oznaczamy przez 1
i nazywamy
jednością pierścienia.
Co najmniej dwuelementowy pierścień (K,+,*), w którym (K\{0},*) jest grupą, nazywamy
ciałem
i oznaczamy analogicznie jak pierścień tzn. (K,+,*).
a
,
b
Oznacza to, że dla każdego
( )
x
∈
K
\0
},*
istnieje takie
x
∈
−
1
K
\0
}
że
x
*
x
−
1
=
x
−
1
*
x
=
1
,
czyli po usunięciu ze zbioru K elementu neutralnego pierwszego działania, każdy z
pozostałych elementów tego zbioru ma element symetryczny względem drugiego działania.
Jeżeli w ciele (K,+,*) drugie działanie jest przemienne, to ciało nazywamy
przemiennym.
W ciele (K,+,*), równanie x + a = 0 ma dokładnie jedno rozwiązanie -a
,
podobnie
równanie a*x = 1, ma dokładnie jedno rozwiązanie a
-1
. Można więc powiedzieć, że w ciele
istnieje odejmowanie i dzielenie.
Przykłady.
Ciałami przemiennymi ze względu na dodawanie i mnożenie są zbiory
wszystkich liczb
1.
wymiernych
Q
2.
rzeczywistych
R
3.
zespolonych
C
.
Przestrzeń liniowa.
Przy podanych wyżej oznaczeniach przestrzenią liniową nad ciałem K
nazywamy
czwórkę
( )
+ ,
•
,
gdzie
:
1.
para
( )
,
L
jest grupą abelową
+
2.
trójka
( )
L
jest zbiorem
L
wyposażonym w działanie zewnętrzne nad ciałem
K
tj.
takie, które dowolnej parze
(
α
,
K
,
a
,
gdzie
a
∈ α
i
∈
L
,
przypisujemy element
a
α
L
tzn.
( )
L
a
,
α
a
α
a
∈
,
3.
oba działania dodawanie w zbiorze L i mnożenie zewnętrzne, spełniają cztery warunki
zgodności : dla dowolnych
a
∈
,
K
i dowolnych
α,
β
L
¾
( )
a
•
α
+
β
=
a
•
α
+
a
•
β
rozdzielność mnożenia przez skalar względem dodawania
wektorów
¾
( )
a
+
b
•
α
=
a
•
α
+
b
•
α
rozdzielność mnożenia przez wektor względem dodawania
skalarów
¾
( ) ( )
α
a
•
b
•
α •
=
ab
"łączność"
¾
1
•α
=
a
jedność ciała K jest jednością mnożenia zewnętrznego.
L
,
K
K
Przykład.
Zbiór wektorów w przestrzeni R
3
z dodawaniem wektorów i mnożeniem wektora
przez liczbę rzeczywistą, jest przestrzenią liniową nad ciałem R liczb rzeczywistych.
Niech dane będą: ciało liczbowe (K,+,.)oraz zbiory {1, 2,...,m} i {1, 2,... ,n}.
Macierzą
nazywamy funkcję
f
:
{1,
2,...,
m}
×
{1,
2,...
,
n
∋}
(i,
k)
→
f(i,
k)
=
a
ik
∈
K
czyli
skończony dwuwskaźnikowy ciąg elementów
a
ik
.
a
11
a
12
.....
a
1
n
a
21
a
22
.....
a
2
n
Macierz zapisujemy w postaci tablicy prostokątnej
A
=
.....
.....
.....
.....
lub
.....
.....
.....
.....
a
m
1
a
m
2
.....
a
mn
symbolicznie
[ ]
( )
a
ij
m
n
. Symbol (m,n) określa
wymiar macierzy
(na pierwszym miejscu liczba
wierszy, na drugim liczba kolumn)
.
Dwie macierze tego samego wymiaru
A
=[a
ik
]
(m,n)
i
B
=[b
ik
]
(m,n)
są
równe,
jeżeli dla
każdego
1,2,…,
i dla każdego
1,2,…,
mamy a
ik
= b
ik
.
Symbolem Kroneckera
nazywamy funkcję
δ
=
gdy
i
=
j
,
i
,
j
∈
N
ij
0
gdy
i
≠
j
Macierz kwadratową
[ ]
( )
A
=
a
ij
n
n
nazywamy:
•
diagonalną,
gdy jest postaci
[ ]
( )
D
=
δ
ij
a
ij
n
n
•
skalarną,
gdy jest postaci
[ ]
( )
S
=
ij
a
n
n
•
jednostkową,
gdy jest postaci
[ ]
( )
1
=
δ
ij
n
,
n
,
1
,
,
δ
,
[ Pobierz całość w formacie PDF ]