Algebra macierzy

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
D1.
Algebra macierzy
W niniejszym dodatku podamy podstawowe operacje macierzowe oraz niektóre techniki
algebry macierzowej nie dbając szczególnie o formalizm matematyczny. Zakres jest wy
starczającydla zrozumieniai swobodnegoposługiwaniasię wiadomościamizawartymiw
tym podręczniku.
D1.1. Definicje
Prostokątna tablica
m
razy
n
liczb umieszczonych w
m
poziomych wierszach i
n
piono
wych kolumnach nazywa się macierzą:
2
4
a
11
a
12
... a
1
n
3
A
=
a
ij
=
a
21
a
22
... a
2
n
... ... ... ...
a
m
1
a
m
2
... a
mn
5
(D11)
Liczby
a
ij
są elementami macierzy; indeks
i
oznacza numer wiersza, indeks
j
– numer
kolumny, w którychznajduje się element
a
ij
. Liczby
a
11
,
a
22
,
a
33
,
a
44
,...
znajdujące się
na głównej przekątnej określają diagonalę macierzy. Wymiar macierzy oznacza się przez
(
m
×
n
). W szczególności,wiersz
2
4
a
1
a
1
a
2
... a
n
3
jest przykładem macierzy wierszowejo
wymiarze (1
×
n
), a kolumna
a
2
...
a
m
5
– macierzy kolumnowej o wymiarze (
m
×
1).
Macierz kolumnowa nazywana jest wektorem i niekiedy oznaczana przez
col(
a
1
,a
2
,...,a
m
)
lub
a
1
a
2
... a
m
T
albo
a
1
, a
2
, ... , a
m
.
Jeśli elementami macierzy są inne macierze, to taka macierz nazywa się blokową,np.
2
4
a
11
a
12
... a
1
n
3
A
=
B
11
B
12
B
21
B
22
=
a
21
a
22
... a
1
n
... ... ... ...
a
m
1
a
m
2
... a
mn
5
.
(D12)
Macierz, w której liczba wierszy i kolumn jest jednakowa, nazywa się kwadratową, a
liczbę tę stopniem macierzy, np.
2
3
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
A
=
4
5
(D13)
398
MetodaElementówSkończonych
jestmacierząkwadratowąstopniatrzeciego.Macierzkwadratowa,wktórejwszystkieele
mentyzwyjątkiemleżącychnadiagonalisąrównezeru,nazywasięmacierządiagonalną:
A
=
2
4
a
11
0
...
0
3
5
.
(D14)
Szczególnym przypadkiem macierzy diagonalnej jest macierz jednostkowa, zawierająca
na diagonali same 1.
Macierz kwadratowa,której elementy spełniają równość:
a
ij
=
a
ji
, nazywa się syme
tryczną.
Macierz kwadratowa,w której tylko elementy leżące na diagonali i powyżej są różne
od zera, nazywa się macierzą trójkątną górną:
2
4
a
11
a
12
... a
1
n
3
A
=
0
a
22
... a
2
n
... ... ... ...
0 0
... a
nn
5
(D15)
Macierz kwadratowa, w której tylko elementy leżące na diagonali i poniżej są różne od
zera, nazywa się macierzą trójkątną dolną:
A
=
2
4
a
11
0
...
0
a
21
a
22
...
0
... ... ... ...
a
n
1
a
n
2
... a
nn
3
5
.
(D16)
Macierz zawierająca same zera nazywa się zerową.
Macierzpasmowajestmacierzą,którejwszystkieniezeroweelementyleżąnadiagonali
i w
k
równoległychdo niej liniach z obu stron, tworząc pasmo wokół diagonali:
2
a
11
a
12
0
...
0
a
21
a
22
a
23
...
0
0
a
32
a
33
...
0
... ... ... ... ...
0 0
... a
nn
3
A
=
4
5
.
(D17)
Szerokość pasma wynosi 2
k
+1. Liczbę k+1 nazywa się szerokością półpasma. Na przy
kład, macierz:
=
2
4
11
12
21
22
23
0
32
33
34
43
44
45
0
54
55
3
5
jest macierzą pasmową o szerokościpasma równej 3.
0
a
22
...
0
... ... ... ...
0 0
... a
nn
Działanianamacierzach
399
D1.2. Działania na macierzach
D1.2.1. Dodawanie i odejmowanie macierzy
Dodawanie i odejmowanie macierzy może być dokonywanejedynie na macierzacho tych
samych wymiarach
2
4
a
11
a
12
... a
1
n
3
5
±
2
4
b
11
b
12
... b
1
n
3
5
=
(D18)
2
4
a
11
±
b
11
a
12
±
b
12
...
a
1
n
±
b
1
n
3
5
=
a
21
±
b
21
a
22
... a
2
n
±
b
2
n
... ... ... ...
a
m
1
±
b
m
1
a
m
2
±
b
m
2
... a
mn
±
b
mn
.
Zachodzą przemienność dodawania oraz łączność:
A
−
B
=
−
B
+
A
,
(
A
+
B
)
−
C
=
A
+(
B
−
C
)
.
(D19)
D1.2.2. Mnożenie macierzy przez liczbę
Możliwe jest mnożenie macierzy przez liczbę rzeczywistą
k
:
2
4
ka
11
ka
12
... ka
1
n
3
5
k
A
=
ka
21
ka
22
... ka
2
n
... ... ... ...
ka
m
1
ka
m
2
... ka
mn
.
(D110)
D1.2.3. Transpozycja
Macierz
A
T
o elementach
a
ij
jest macierzą transponowaną do macierzy
A
, jeśli między
ich elementami zachodzi związek
a
ij
=
a
ji
.
(D111)
Prawdziwe są następujące równości:
(
A
T
)
T
=
A
,
(
A
±
B
)
T
=
A
T
±
B
T
,
(
A
)=
A
T
,
−−
liczba
,
(
AB
)
T
=
B
T
A
T
,
det(
A
)=det(
A
T
)
,
tzn. wyznacznik macierzy kwadratowejnie zmienia się przy jej transponowaniu.
Jeśli
A
T
=
A
, to macierz kwadratowa jest symetryczna.
Jeśli
A
T
=
−
A
, to macierz kwadratowa jest skośnie symetryczna (na diagonali są
wtedy same zera).
Macierz transponowana do macierzy blokowej (D12) ma postać:
A
T
=
B
11
B
12
B
21
B
22
.
(D112)
a
21
a
22
... a
2
n
... ... ... ...
a
m
1
a
m
2
... a
mn
b
21
b
22
... b
2
n
... ... ... ...
b
m
1
b
m
2
... b
mn
400
MetodaElementówSkończonych
D1.2.4. Mnożenie macierzy
Mnożenie macierzy zdefiniowane jest związkiem
C
=
AB
,
(D113)
gdzie wymiary poszczególnychmacierzy są następujące:
A
[
m
×
p
],
B
[
n
×
p
],
C
[
m
×
p
].
Elementy
c
ij
macierzy
C
są określone wzorem
n
c
ij
=
a
ik
b
kj
=
a
i
1
b
1
j
+
a
i
2
b
2
j
+
...
+
a
in
b
nj
.
(D114)
k
=1
Elementy macierzy
C
są otrzymywane przez mnożenie kolumn macierzy
B
i wierszy
macierzy
A
.
Bardzopomocnymnarzędziempodczaswykonywaniamnożeńmacierzyjesttakzwany
schemat Falka. Schemat ten zostanie przedstawiony na przykładzie.
Przykład D1-1
Weżmy dwie prostokątne macierze
A
i
B
, których elementami są liczby rzeczywiste:
2
4 0 5 1 3
2 2 0 0 0
3 2 1 1 2
3 2 2 2 1
2 1 1 1 3
1 0 1 1
−
1
3
2
4 2 1 0 1 2
0 0
−
1 1 2 2
1 1
−
2 1 0 3
3
4
5
.
(D115)
A
=
4
5
,
B
=
Zatem zgodnie z D113 i D114
C
=
A B
.
3
×
5 3
×
6 6
×
5
(D116)
Jeśli macierze te zapiszemy zgodnie z rys. D11, to elementy macierzy
C
otrzymamy
drogą mnożenia wyrazów znajdujących się w odpowiednich wierszach i kolumnach.
2
4 0 5 1 3
2 2 0 0 0
3 2 1 1 2
3 2 2 2 1
2 1 1 1 3
1 0 1 1
−
1
3
B
=
4
5
A
=
2
4
4 2 1 0 1 2
0 0
−
1 1 2 2
1 1
−
2 1 0 3
3
5
2
4
27 7 24 8 15
6 2 5 5 3
6 0 8 4
−
3
3
5
=
C
Rys. D11
WMESczęstymdziałaniemmacierzowymjestobliczeniewgnastępującegoschematu:
K
=
C
T
K
e
C
.
(D117)
Działanianamacierzach
401
Biorąc pod uwagę schemat Falka wykonamy tę operację następująco:
C
K
e
K
e
C
C
T
C
T
K
e
C
=
K
(D118)
Podamy niektóre własności mnożenia macierzy.
Mnożenie macierzy nie jest przemienne:
AB
=
BA
,
(D119)
co ilustrujemy przykładem.
Przykład D1-2
AB
=
1 2
1 4
2 0
1 3
=
4 6
6 12
,
BA
=
2 0
1 3
1 2
1 4
=
2 4
4 14
.
Mnożenie macierzy jest łączne:
(
AB
)
C
=
A
(
BC
)
(D120)
oraz rozłączne względem dodawania:
A
(
B
+
C
)=
AB
+
AC
.
(D121)
D1.2.5. Potęgowanie macierzy. Wielomian macierzy
Mnożyćprzezsiebiemożnatylkomacierzekwadratowe.Potęga
r
ta(
r
0)kwadratowej
macierzy
A
wynosi
A
r
=
AAA...A
r
razy
,
oraz
A
0
=
I
(macierz jednostkowa) (D122)
Słuszna jest równość
A
p
A
q
=
A
p
+
q
.
(D123)
Niech dany jest wielomian:
P
(
x
)=
0
+
1
x
+
2
x
2
+
...
+
k
x
k
.
Wartością tego wielomianu dla
x
=
A
, gdzie
A
– macierz kwadratowa,jest następująca
macierz:
P
(
A
)=
0
I
+
1
A
+
2
A
2
+
...
+
k
A
k
.
(D124)
Jeżeli
P
(
A
) = 0 (macierz zerowa), to macierz
A
nazywa się pierwiastkiem wielomianu
P
(
x
).
[ Pobierz całość w formacie PDF ]