Algebra liniowa z geometri [K. ...

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Algebraliniowazgeometri¡
KrzysztofTartas WitoldBołt
19czerwca2004roku
1Wykład
1.1Poj¦ciegrupy
Definicja1.1(grupa).
ZbiórGwrazzdziałaniemdwuargumentowym
:
G
×
G
!
G
nazywamy
grup¡oiledziałanie
spełnianast¦puj¡cewarunki:
1.Ł¡czno±¢:
8
g
1
,g
2
,g
3
2
G
g
1
(
g
2
g
3
)=(
g
1
g
2
)
g
3
.
2.Istniejeelement
e
2
G
(neutralny)taki,»e:
8
g
2
G
g
e
=
e
g
=
g.
3.Dlaka»degoelementuistniejeelement”odwrotny”:
8
g
2
G
9
g
0
2
G
g
g
0
=
g
0
g
=
e.
Przykład1.2.
Otoprosteprzykładygrup.
A.(R
2
,
+)-wektorywprzestrzenidwu-wymiarowejzdodwaniem(przykładdo±¢oczywisty).
1.Woczywistysposóbzachodził¡czno±¢:
8
v
1
,v
2
,v
3
v
1
+(
v
2
+
v
3
)=(
v
1
+
v
2
)+
v
3
.
2.Isteniejwektorzerowy(0,0)=0,któryjestelementemneutralnymdodwania(
v
+0=
v
).
3.
8
v
2
R
2
v
+(
−
v
)=0
B.(R
\{
0
}
,
·
)-liczbyrzeczywistebezzerazmno»eniem.
1.Ł¡czno±¢:
8
a,b,c
a
·
(
b
·
c
)=(
a
·
b
)
·
c.
2.Istnieje1-elementneutralny(
8
x
2
R
1
·
x
=
x
).
3.Elementodwrotny:
z
−
1
·
z
=1istniejedlaka»dejliczbyrzeczywistejpozazerem,dlatego
wła±nierozpatrujemytuliczbyrzeczywistebezzera.
Uwaga1.3(grupaprzemienna).
Grup¦w,której
8
g
1
,g
2
2
G
g
1
g
2
=
g
2
g
1
nazywasi¦prze-
mienn¡,lubabelow¡.Grupywyst¦puj¡cewpowy»szymprzykładzieoczywi±cies¡przemienne.
1
1.2Poj¦cieciała
Definicja1.4(ciało).
CiałemKb¦dziemynazywalidowolnyzbiórnaktórymzdefiniowali±my
dwadziałania:dodowanie+:
K
×
K
!
K
,orazmno»enie
·
:
K
×
K
!
K
,spełniaj¡cenast¦puj¡ce
warunki:
1.(
K,
+)jestgrup¡abelow¡zelementemneutralnym0,
2.(
K
\{
0
}
,
·
)jestgrup¡abelow¡zelementemneutralnym1,
3.0
6
=1(cowbrewpozoromniejestoczywiste-ijestwa»ne!),
4.
8
a,b,c
2
K
a
·
(
b
+
c
)=
a
·
b
+
a
·
c
-czylirozdzielno±¢dodwaniawzgl¦demmno»enia.
Definicja1.5(podciało).
Podciałotopodzbiórdanegociałazawier¡jacy0i1,posiadaj¡cywła-
sno±cidanegociała.Podciałosamojestciałem.
Przykład1.6(ciała).
Przykładyciał:
1.Ciało2-elementoweZ
2
liczbacałkowitamodulo2,zezdefiniowanymidziałaniami:
+01
001
110
·
01
000
101
2.Ciało
p
-elementowe:Z
p
=
{
0
,
1
,...,p
−
1
}
-działaniapodobniejakwy»ej.
3.Liczbyrzeczywiste:Rz”normalnym”dodawaniemimno»eniemtociało.LiczbywymierneQ
toprzykładpodciałaliczbyrzeczywistych.
4.NatomiastliczbycałkowieZtoprzykładzbioru,któryniejestciałem-zewzgl¦dunato,»e
niematamelementówodwrotnychwmno»eniu.
1.3Liczbyzespolone
Definicja1.7(ciałoalgebraicznedomkni¦te).
Ciałemalgebraicznymdomkni¦tymnazywamy
takieciało,wktórymwszystkiewielomianyowspółczynnikachztegociała,maj¡przynajmniej
jedenpierwiastek.
Przykład1.8(liczbyzespolone).
Jednymznajwa»niejszychprzykładówciałalgebraicznych
domkni¦tych,s¡liczbyzespolone,któreoznaczamyprzezC.Historyczniepowstaływła±niedlatego,
abyrozwi¡za¢problemwielomianów,którewliczbachrzeczywistychniemaj¡pierwiastków(aw
zespolonychmaj¡).Poni»ejprzedstawionopodstawowewłasno±ciifaktyodno±nieliczbzespolonych.
Podstawowewłasno±ciliczbzespolonych.
•
Liczbyrzeczywistezawieraj¡si¦wliczbachzespolonych:C
R.
•
Ka»daliczbazespolona
z
2
Cjestpostaci:
z
=
x
1
+
x
2
·
i
,gdzie:
x
1
,x
2
2
R
,i
=(0
,
1),
cowskróciemo»emyzapisa¢:
z
=(
x
1
,x
2
).Liczb¦
x
1
nazywamycz¦±ci¡rzeczywist¡liczby
zespolonejioznaczamyprzez
Rez
.Liczb¦
i
nazywamyliczb¡urojon¡,zachodzidlaniej:
i
2
=
−
1.Liczb¦
x
2
nazywamycz¦±ci¡urojon¡liczbyzespolonejioznaczamyprzez
Imz
.
•
Definiujesi¦operacj¦sprz¦»enia.Niech
z
2
Ci
z
=
x
1
+
x
2
i
wtedyliczb¦postaci
z
=
x
1
−
x
2
i
nazywamysprz¦»eniemliczby
z
.
jestliczb¡rzeczywist¡iprzyjmujewarto±¢
|
z
|
=
p
x
2
1
+
x
2
2
.
2
•
Definiujesi¦operacj¦modułu.Modułzliczbyzesp
olonej
z
2
Coznaczamyprzez
|
z
|
.Moduł
 Własno±cisprz¦»enia(”kreski”).
•
z
1
+
z
2
=
z
1
+
z
2
•
z
1
·
z
2
=
z
1
·
z
2
•
|
z
|
=
|
z
|
•
z
=
z
•
z
·
z
=(
x
1
+
x
2
i
)(
x
1
−
x
2
i
)=
x
2
1
+
x
2
2
=
|
z
|
2
,acoztymidzie
|
z
·
z
|
=
|
z
|
2
.
Własno±cimodułu.
•
1
z
=
1
z
z
z
=
z
zz
=
z
|
z
|
2
•
|
(
|
z
|
)
|
=
|
z
|
•
|
z
1
||
z
2
|
=
|
z
1
z
2
|
z
1
z
2
=
|
z
1
|
|
z
2
|
•
Posta¢tyrgonometrycznaliczbyzespolonej
Ka»d¡liczb¦zespolon¡
z
mo»emyrównie»przed-
stawi¢wpostacisumyfunkcjitrygonomterycznychsinorazcosliczonychdlawarto±ci
'
zwanej
argumentemliczbyzespolonej
z
(
'
=
argz
).Przedstawienietakiemaposta¢:
z
=
|
z
|
(
cos'
+
isin'
)
cos
'
=
x
1
p
x
2
1
+
x
2
2
sin
'
=
x
2
p
x
2
1
+
x
2
2
Przykład1.9.
Stosuj¡czapistrygonometrycznymamy:
a)
i
=cos
2
+
i
sin
2
,
argi
=
2
,
b)
z
=(1
,
p
3),wtedy
z
=2(cos
3
+
i
sin
3
)=1+
i
p
3,
argz
=
3
.
Stwierdzenie1.10(oiloczynieiilorazieliczbzespolonychwpostacitrygonometrycz-
nej).
Niechz
1
,z
2
2
C
.Wtedyiloczyntychliczbmaposta¢:
z
1
·
z
2
=
|
z
1
||
z
2
|
(
cos
(
'
1
+
'
2
)+
isin
(
'
1
+
'
2
))
.
Natomiastichilorazwyra»awzór(przyzało»eniu,»ez
2
6
=0
):
z
1
z
2
=
z
1
z
2
(
cos
(
'
1
−
'
2
)+
sin
(
'
1
−
'
2
))
2Wykład
2.1Liczbyzespolone-ci¡gdalszy
Stwierdzenie2.1(wzórnaargumentiloczynuliczbzespolonych).
Niech'
1
,'
2
,...,'
k
b¦d¡
argumentamiliczbzespolonychz
1
,z
2
,...,z
k
.Wówczasargumentliczbyzespolonejz
=
z
1
z
2
...z
k
ma
posta¢argz
=
'
1
+
'
2
+
···
+
'
k
.
3
Wniosek:wzórde’Moivre’a.
Niech
z
=
r
(cos
'
+
i
sin
'
),gdzie
r
­
0,
'
2
Roraz
n
2
N.
Wtedy:
z
n
=
r
n
(cos
n'
+
i
sin
n'
)
.
Twierdzenie2.2(wzórEulera).
Zachodziwzór:e
i'
=
cos'
+
isin'.Dajenamto
wykładnicze
przedstawienieliczbyzespolonej
,któremaposta¢:z
=
|
z
|
e
i'
,gdzie'
=
argz.
Uwaga2.3.
TwierdzeniewzórEuleradlaliczbzespolonychpomagaprzydowodzeniutwierdze«
odno±nietrygonometrycznegoprzedstawienialiczbyzespolonej.
2.2Przestrzeniewektorowe
Definicja2.4(przestrze«liniowa).
Niechb¦dziedaneciałoKizbiórwektorówVspełniaj¡ce
nast¦puj¡cewarunki:
1.Istniejedziałaniedodwania+:
V
×
V
!
V
spełniaj¡ceaksjomaty:
•
dodwaniejestł¡czne:
8
v
1
,v
2
,v
3
2
V
(
v
1
+
v
2
)+
v
3
=
v
1
+(
v
2
+
v
3
)
,
•
istniejeelementneutralnydodwaniazwanyzerem:
9
0
2
V
8
v
2
V
0+
v
=
v
+0=
v,
•
istniejeelementprzeciwny:
8
v
2
V
9
v
1
2
V
v
+
v
1
=
v
1
+
v
=0
.
2.Istniejedziałaniemno»enia
·
:
K
×
V
!
V
spełniaj¡ceaksjomaty:
•
rozdzielno±¢dodawaniawzgl¦demmno»eniaprzezsklara:
8
2
k
8
v
1
,v
2
2
V
(
v
1
+
v
2
)=
v
1
+
v
2
,
•
rozdzielo±¢dodawaniaskalarówwzgl¦demmno»eniaprzezwektor:
8
1
,
2
2
k
8
v
2
V
(
1
+
2
)
v
=
1
v
+
2
v,
•
zachodzi:
8
,
2
k
8
v
2
V
(
v
)=(
)
v,
•
istnieje1-elementneutralnymno»enia:
8
v
2
V
1
·
v
=
v.
WówczaszbiórVb¦dziemynazywaliprzestrzeni¡liniow¡(wektorow¡)nadciałemK.
Wyra»enie
1
v
1
+
2
v
2
+
···
+
n
v
n
b¦dziemynazywa¢kombinacj¡liniow¡wektorów(elementów)
v
1
,v
2
,...,v
n
.
Definicja2.5(układuwektorówniezale»nychliniowo).
NiechVb¦dzieprzestrzeni¡liniow¡
nadciałemK.Niech
v
1
,v
2
,...,v
n
2
V
.Wektory
v
1
,v
2
,...,v
n
nazywamyliniowoniezale»nymi
wtedyitylkowtedy,gdydladowolnegoukładuskalarów(
1
,
2
,...,
n
2
k
)równanie
1
v
1
+
2
v
2
+
···
+
n
v
n
=0matylkozerowerozwi¡zanie(tzn.»ejedynymrozwi¡zaniemjest
1
=
2
=
...
=
n
=0).Innymisłowyukładwektorówjestliniowoniezale»nywtedyitylkowtedy,gdyjego
dowolonakombinacjaliniowarównajestzerutylkowprzypadku,gdywszystkieskalaryrównes¡
zeru.
Definicja2.6(układwektorówliniowozale»nych).
Wektoryktórenies¡liniowoniezale»ne
nazywamyliniowozale»nymi.
4
3Wykład
3.1Przestrzeniewektorowe-ci¡gdalszy
Przykład3.1(układywektorówliniowoniezale»nych).
Poni»szeukładywektoróws¡liniowo
niezale»ne.
1.(0
,
1)
,
(1
,
0)
2.(1
,
0
,
0)
,
(0
,
1
,
0)
,
(0
,
0
,
1)
3.Układstandardowywektorówniezale»nychwR
n
e
1
=(1
,
0
,
0
,...,
0
,
0)
e
2
=(0
,
1
,
0
,...,
0
,
0)
.
.
.
e
i
=(0
,...,
0
,
1
,
0
,...,
0)-1na
i
-tejpozycji,
.
.
.
e
n
=(0
,
0
,
0
,...,
0
,
1)
Przykład3.2(układywektorówliniowozale»nych).
Poni»szeukładywektoróws¡liniowo
zale»ne.
1.(0
,
1)
,
(1
,
0)
,
(1
,
1)
2.(0
,
1
,
0)
,
(0
,
2
,
0)
,
(1
,
0
,
0)
3.(0
,
0)
,
(2
,
0)
,
(0
,
3)
Uwaga3.3(układwektorówzawieraj¡cywektorzerowy).
Dowolnyukładsko«czonywek-
torówzawieraj¡cywektorzerowyjestliniowozale»ny.Poniewa»przy
x
i
=0dowolnakombinacja
liniowaz
1
=
2
=
···
=
i
−
1
=0zdowolnym
i
jestzerowa.
Definicja3.4(zbiórgeneratorówprzestrzeniliniowej).
NiechVb¦dzieprzestrzeni¡liniow¡
nadciałemK.Mówimy,»eukładpunktówwprzestrzeniV,
{
y
i
}
i
2
I
V
jestjejzbioremgeneratorów
oiledowolny
z
2
V
jestsko«czon¡kombinacj¡wektorówzezbioru
{
y
i
}
i
2
I
.Codokładnieznaczy,»e
istniejesko«czonaliczba
y
i
1
,y
i
2
,...,y
ik
elementówzbioru
{
y
i
}
i
2
I
taka,»e
z
=
1
y
i
1
+
···
+
k
y
ik
.
Je»elizbiórIjestsko«czonytomówimy,»eprzestrze«Vjestsko«czeniegenerowana.
Przykład3.5(zbiorygeneratorów).
Przestze«R
2
mo»eby¢generowanaprzezdwawektory-
naprzykładtakie:
v
1
=(1
,
0)oraz
v
2
=(0
,
1).Równiedobrze,zbiórgeneratorówmo»eby¢wi¦kszy
-izawiera¢naprzykład3elementy:
v
1
=(1
,
0),
v
2
=(0
,
1),
v
3
=(1
,
1).
Uwaga3.6.
Je»eli
{
y
i
}
i
2
I
jestzbioremgeneratorówprzestrzeniV,todowolnyzbiórpunktów
zawieraj¡cyzbiórpunktów
{
y
i
}
i
2
I
jakoswójpodzbiórjestrównie»zbioremgeneratorówprzestrzeni
V.
Definicja3.7(podprzestrze«liniowa).
NiechVb¦dzieprzestrzeni¡liniow¡nadciałemK.
Podzbiór
V
1
V
b¦dziemynazywalipodprzestrzeni¡liniow¡oile:
1.0
2
V
1
,
2.
8
x
1
,x
2
2
V
1
x
1
+
x
2
2
V
1
,
3.
8
2
K
8
x
2
V
1
x
2
V
1
.
Stwierdzenie3.8.
V
1
Vjestpodprzestrzeni¡liniow¡przestrzeniliniowejVnadciałemKwtedy
itylkowtedy,gdy:
8
,
2
K
8
x,y
2
V
1
x
+
y
2
V
1
.
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]