Algebra 2-11 grupy

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wykład11
Grupy
Grup¡nazywamystruktur¦algebraiczn¡zło»on¡zniepustegozbioru
G
i
działaniabinarnego
,którespełniawłasno±ci:
(i)Działanie
jestł¡czne,czyli
8
a,b,c
2
Ga
(
b
c
)=(
a
b
)
c.
(ii)Działanie
posiadaelementneutralny,toznaczy
9
e
2
G
8
a
2
Ga
e
=
e
a
=
a.
(iii)Ka»dyelementjestodwracalnywzgl¦dem
,toznaczy
8
a
2
G
9
a
0
2
Ga
a
0
=
a
0
a
=
e,
gdzie
e
jestelementemneutralnymtegodziałania.
Je±lidodatkowo
(iv)Działanie
jestprzemienne,toznaczy
8
a,b
2
Ga
b
=
b
a,
togrup¦nazywamygrup¡abelow¡(alboprzemienn¡).
Grup¦b¦dziemyzapisywa¢wpostaciparyzło»onejzezbioruidziałania
(
G,
).
Ka»dyelementgrupyjestodwracalny.Elementodwrotnydo
a
oznacza¢b¦-
dziemyprzez
a
−
1
.
Niepustypodzbiór
H
grupy
G
nazywa¢b¦dziemypodgrup¡tejgrupyje±li:
(i)
8
h
1
,h
2
2
Hh
1
h
2
2
H
.
(ii)
e
2
H
.
(iii)
8
h
2
Hh
−
1
2
H
.
Łatwozauwa»y¢,»eje±li
H
jestpodgrup¡grupy
G
tostruktura(
H,
)jest
grup¡.
Przykładygrup
1.(Z
,
+),(R
,
+)s¡grupamiabelowymi.
2.Je±li(
P,
+
,
·
)jestpier±cieniemto(
P,
+)jestgrup¡abelow¡oraz(
P
,
·
)
jestgrup¡(gdzie
P
oznaczazbiórelementówodwracalnychpier±cienia
P
).
Wszczególno±cizbiórmacierzy
n
×
n
naddanymciałem
K
,owyznaczniku
niezerowymjestgrup¡(dla
n>
1nieabelow¡).Grup¦t¡oznaczamyprzez
Gl
n
(
K
)imamy:
Gl
n
(
K
)=
{
A
2
M
n
(
K
):det
A
6
=0
}
1
Grupatajestnazywana
grup¡liniow¡macierzy
n
×
n
.
3.ZbiórSl
n
(
K
)=
{
A
2
M
n
:det
A
=1
}
jestpodgrup¡grupyGl
n
(
K
)
(nazywan¡specjaln¡grup¡liniow¡).
4.Oznaczmyprzez
S
n
zbiórwszystkichpermutacjizbioru
{
1
,
2
,...,n
}
(czyli
wzajemniejednoznacznychodwzorowa«zbioru
{
1
,
2
,...,n
}
nasiebie).Zbiór
tenwrazzdziałaniemskładaniaprzekształce«
tworzygrup¦(dla
n>
2
nieabelow¡).Jesttoprzykładgrupysko«czonej(toznaczytakiej,wktórej
zbiór
G
masko«czon¡ilo±¢elementów)bo
S
n
madokłanie
n
!elementów.
Naprzykład
S
3
=
{
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
}
gdzie:
123
123
!
123
132
!
123
321
!
0
=
,
1
=
,
2
=
,
!
!
!
123
213
123
312
123
231
3
=
,
4
=
,
5
=
Sprawdzasi¦bezpo±rednio,»epodgrupamigrupy
S
3
s¡podzbiory:
{
0
}
{
0
,
1
}
{
0
,
2
}
{
0
,
3
}
{
0
,
4
,
5
}
S
3
5.Podgrup¡grupy
S
n
jestzbiór
A
n
zło»onyzewszystkichpermutacjiparzy-
stychzbioru
{
1
,
2
,...,n
}
.Naprzykład
(
123
123
!
123
312
!
123
231
!)
A
3
=
,
,
Grupa(
A
n
,
)ma
n
!
2
elementówijestnieabelowadla
n>
3.
6.Przekształceniepłaszczyzny(lubprzestrzeni),którejestbijekcj¡iktórenie
zmieniaodległo±cipunktównazywamyizometri¡płaszczyzny.Przykładami
izometriis¡obrotyorazsymetrie.Przekształceniem,któreniejestizometri¡
jestnaprzykładrzutowanienaprost¡.Zbiórizometriipłaszczyznyzdziała-
niemskładaniaprzekształce«jestgrup¡(nieabelow¡).
7.Niech
F
b¦dziepewn¡figur¡napłaszczy¹nie.Izometri¡własn¡figury
F
nazywamyzbiórwszystkichizometriipłaszczyzny,któreprzekształcaj¡
F
nasiebie.Zbiórizometriiwłasnychfigury
F
wrazzdziałaniemskładania
przekształce«jestgrup¡.
2
Figur¦
F
nazywamy
n
-k¡temforemnymje±lima
n
równychbokówi
n
rów-
nychk¡tów.Naprzykładtrójk¡temforemnymjesttrójk¡trównoboczny,
czworok¡temforemnymjestkwadratitd.Oznaczmyprzez
D
n
grup¦izome-
triiwłasnych
n
-k¡taforemnego.Nietrudnojestzauwa»y¢,»egrupa
D
n
ma
2
n
elementów:
n
symetriiwzgl¦demprostychi
n
obrotówwzgl¦dem±rodka
figury.
Naprzkład
D
4
jestizometriiwłasnychkwadratu.Wprowad¹myoznaczenia
r
0
jestobrotemo0stopni,
r
1
jestobrotemo90stopni,
r
2
obrotemo180stop-
nii
r
3
obrotemo270stopni,
s
1
jestsymetri¡wzgl¦demprostejprzechodz¡c¡
przez±rodekparyrównoległychboków,
s
2
jestsymetri¡wzgl¦demprostej
przechodz¡c¡przez±rodekdrugiejparyrównoległychboków,
s
3
i
s
4
s¡syme-
triamiwzgl¦demprostychprzechodz¡cychprzeznaprzeciwległewierzchołki.
s
3
s
1
s
4
@
1
@
2
@
@
@
@
s
2
@
@
@
@
@
@
4 3
Poponumerowaniuwierzchołkówliczbamiod1do4ka»daizometriakwa-
dratuwyznaczajednoznaczn¡permutacj¦wierzchołków
r
0
=(1)(2)(3)(4),
r
1
=(1
,
2
,
3
,
4),
r
2
=(1
,
3)(2
,
4),
r
3
=(1
,
4
,
3
,
2),
s
1
=(1
,
2)(3
,
4),
s
2
=
(1
,
4)(2
,
3),
s
3
=(2
,
4),
s
4
=(1
,
3).
Własno±cigrup
(1)Ka»dagrupaposiadadokładniejedenelementneutralny.
(2)Ka»dyelementgrupyposiadadokładniejedenelementodwrotny.
(3)Je±liwgrupiezachodzirówno±¢
ax
=
ay
to
x
=
y
.
(4)Ka»derównanie
ax
=
b
mawgrupiejednoznacznerozwi¡zanie
x
=
a
−
1
b
.
(5)Dlaka»degoelementu
a
2
G
mamy(
a
−
1
)
−
1
=
a
.
(6)Dlaka»dejparyelementów
a,b
2
G
mamy(
ab
)
−
1
=
b
−
1
a
−
1
3
Wgrupie(
G,
·
)mo»emyzdefiniowa¢pot¦gowanieelementu
a
2
G
:
a
0
=
e,a
1
=
a,a
n
=
a
·
·
·
a
| {z }
n
je±li
n>
0oraz
a
−
n
=
a
−
1
·
·
·
a
−
1
| {z }
n
Pot¦gowaniemanast¦puj¡cewłasno±ci:
(i)
a
m
a
n
=
a
m
+
n
.
(ii)(
a
m
)
n
=
a
m
n
.
Uwaga
Wgrupiemo»emystosowa¢zapisaddytywny(cz¦stostosujesi¦go
wprzypadkugrupabelowych)(
G,
+).Wtedyelementneutralnyoznaczasi¦
przez0,aelementodwrotnydo
a
oznaczasi¦przez
−
a
.Zamiastpot¦gowania
wykonujesi¦mno»enieprzezliczbycałkowite:
0
a
=0
,na
=
a
+
.
.
.
+
a
| {z }
n
,
(
−
n
)
a
=(
−
a
)+
.
.
.
+(
−
a
)
| {z }
n
Wtedytaoperacjamaanalogicznewłasno±cijakpot¦gowanie:
(i)(
n
+
m
)
a
=
na
+
ma
.
(ii)(
nm
)
a
=
n
(
ma
).
Niech
a
b¦dzieelementemgrupy
G
.Najmniejsz¡niezerow¡liczb¦natu-
raln¡
n
,tak¡»e
a
n
=
e
nazywamyrz¦demelementu
a
.Je±litakaliczbanie
istniejetomówimy,»eelement
a
marz¡dniesko«czony(wprzypadkuzapi-
suaddytywnegorz¦demnazywamynajmniejsz¡liczb¦niezerow¡dlaktórej
na
=0).
Przykłady
!
123
231
1.Permutacja
=(1
,
2
,
3)marz¡d3.
2.Element3grupy(
Z
6
,
+
6
)marz¡d2,bo3+
6
3=0.
3.Elementneutralny
e
marz¡drówny1.
Twierdzenie1
Je±ligrupaGjestsko«czonaimanelementówtoka»dy
elementmasko«czonyrz¡d.
{
1
,a,a
2
,a
3
,...
}
Elementytenale»¡do
G
.Poniewa»
G
jestzbioremsko«czonymtozbiórpot¦g
elementu
a
te»jestsko«czony,atooznacza,»eistniej¡liczbynaturalne
i
6
=
j
,
»e
a
i
=
a
j
ije±li
i<j
to
a
j
−
i
=
e
.Tooznacza,»erz¡delementu
a
jest
sko«czony.
4
Dowód
Niech
a
b¦dzieelementemgrupy
G
.Rozwa»myzbiórpot¦gelementu
a
:
Twierdzenie2
Je±liG
1
iG
2
s¡grupamitozbiórG
1
×
G
2
zdziałaniem
okre±lonymnast¦puj¡co:
(
g
1
,h
1
)(
g
2
,h
2
)=(
g
1
g
2
,h
1
h
2
)
jestgrup¡.
Niech
G
b¦dziedowoln¡grup¡iniech
a
2
G
.Wtedyprzez
<a>
ozna-
czamyzbiórwszystkichpot¦gelementu
a
toznaczy:
<a>
=
{
...,a
−
3
,a
−
2
,a
−
1
,a
0
,a,a
2
,a
3
,...
}
Wtedy
<a>
jestpodgrup¡grupy
G
.Je±liwgrupie
G
istniejeelement
a
,
taki»e:
G
=
<a>
to
G
nazywamygrup¡cykliczn¡.
Twierdzenie3
Je±liGjestgrup¡cykliczn¡toGjestabelowa.
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]