Algebra 2-04 pierścienie

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wykład4
Pier±cienie
Pier±cieniemnazywamyniepustyzbiór
P
wrazzdwoma(binarnymi)dzia-
łaniami+i
·
(b¦dziemycz¦stopisa¢(
P,
+
,
·
))wtymzbiorze,którespełniaj¡
nast¦puj¡ceaksjomaty.Dlaka»dych
a,b,c
2
P
:
(1)Je±li
a,b
2
P
wtedy
a
+
b,a
·
b
2
P
.
(2)
a
+(
b
+
c
)=(
a
+
b
)+
c
.
(3)
a
+
b
=
b
+
a
.
(4)Istniejeelement0
P
2
P
,taki»edlaka»dego
a
2
P
mamy
a
+0
P
=
0
P
+
a
=
a
.
(5)Dlaka»degoelementu
a
2
P
równanie
a
+
x
=0
P
marozwi¡zaniew
P
.
(6)
a
(
bc
)=(
ab
)
c
.
(7)
a
(
b
+
c
)=
ab
+
ac
,(
a
+
b
)
c
=
ac
+
bc
.
Element0
P
nazywa¢b¦dziemyelementemneutralnymdodawanialubw
skróciezerempier±cienia.Rozwi¡zanierównania
a
+
x
=0
P
nazywa¢b¦dzie-
myelementemprzeciwnymdo
a
izapisywa¢b¦dziemyjewpostaci
−
a
.
Przykładamipier±cienis¡struktury(Z
,
+
,
·
),(
Z
n
,
+
n
,
·
n
).
B¦dziemymówi¢,»epier±cie«(
P,
+
,
·
)jest
przemienny
je±li:
(8)
ab
=
ba
dlaka»dych
a,b
2
P
.
B¦dziemymówi¢,»epier±cie«(
P,
+
,
·
)jestpier±cieniemzjedynk¡je±li
istniejeelement1
P
taki,»e:
(9)
a
·
1
P
=1
P
·
a
=
a
dlaka»dego
a
2
P
.
Pier±cienie(Z
,
+
,
·
)i(
Z
n
,
+
n
,
·
n
)s¡przykładamipier±cieniprzemiennych
zjedynk¡.Przykładempier±cieniabezjedynkimo»eby¢(2Z
,
+
,
·
)czylizbiór
liczbcałkowitychparzystychzezwykłymidziałaniami.
Mówimy,»eniepustypodzbiór
S
zbioru
P
jestpodpier±cieniemje±listruk-
tura(
S,
+
,
·
)jestpier±cieniem,gdziedziałanias¡takiesamejakwpier±cieniu
P
.Inaczejmówi¡cdlapier±cienia(
S,
+
,
·
)musz¡by¢spełnioneaksjomaty
(1)
−
(7).Nietrudnojestzauwa»y,»e
S
jestpodpier±cieniempier±cienia
P
wtedyitylkowtedygdy:
Je±li
a,b
2
S
to
a
+
b,a
·
b
2
S
.
0
P
2
S
.
Je±li
a
2
S
torozwi¡zanierównania
a
+
x
=0
p
te»nale»ydozbioru
S
.
Przykładamipodpier±cienipier±cienia(Z
,
+
,
·
)s¡(
n
Z
,
+
,
·
).
Przykład
Niech
M
n
(R)oznaczazbiórmacierzy
n
×
n
owspółczynnikach
rzeczywistych.Wtedy
M
n
(R)wrazzdziałaniami+dodawaniamacierzyi
·
1
mno»eniamacierzyjestpier±cieniem.Pier±cie«tenposiadaelementneutralny
mno»enia
I
(awi¦cjesttoprzykładpier±cieniazjedynk¡).Je±li
n>
1to
pier±cie«tenjestnieprzemienny.
Podobniemo»narozpatrywa¢pier±cieniemacierzyowspółczynnikachcał-
kowitych(
M
n
(Z)),wymiernych(
M
n
(Q)),lubowspółczynnikachzpier±cienia
Z
k
czyliopier±cieniu
M
n
(
Z
k
).
Przykład
Niech
C
oznaczazbiórfunkcjici¡głych,któreprzekształcaj¡cych
RwR.Wtedyfunkcjemo»nadodawa¢imno»y¢:
(
f
+
g
)(
x
)=
f
(
x
)+
g
(
x
)
,
(
fg
)(
x
)=
f
(
x
)
g
(
x
)
Mo»naudowodni¢,»esumaiiloczynfunkcjici¡głychjestfunkcj¡ci¡gł¡,
awi¦cstruktura(
C
,
+
,
·
)jestpier±cieniem.Jesttopier±cie«przemiennyz
jedynk¡.Pier±cie«tenjestpodpier±cieniempier±cieniawszystkichfunkcji,
któreprzekształcaj¡RwR.
Mówimy,»eprzemiennypier±cie«zjedynk¡(
P,
+
,
·
)jest
dziedzin¡cał-
kowito±ci
lub
pier±cieniembezdzielnikówzera
je±li0
P
6
=1
P
ispełniony
nast¦puj¡cyaksjomat:
(11)Je±lidla
a,b
2
P
mamy
ab
=0
P
to
a
=0
P
lub
b
=0
P
.
Przykładamipier±cienibezdzielnikówzeras¡(Z
,
+
,
·
),(R
,
+
,
·
)lubpier-
±cie«(
Z
p
,
+
p
,
·
p
),gdzie
p
jestliczb¡pierwsz¡.Pier±cieniem,któryniejest
dziedzin¡jest(
Z
6
,
+
6
,
·
6
),bo2
·
6
3=0.
Element
a
2
P
pier±cieniazjedynk¡(
P,
+
,
·
)nazywamy
odwracalnym
je±li
(12)Równanie
a
·
x
=
x
·
a
=1
P
marozwi¡zanie.
Element,któryjestrozwi¡zaniemtegorównanianazywamyelementemod-
wrotnymdo
a
ioznaczamygoprzez
a
−
1
.
Mówimy,»epier±cie«zjedynk¡(
P,
+
,
·
)jest
pier±cieniemzdzieleniem
je±lika»dyniezerowyelementpier±cienia
P
jestodwracalny.Naprzykład
(Z
,
+
,
·
)niejestpier±cieniemzdzieleniem,a(R
,
+
,
·
)jest.
Przemiennypier±cie«zdzieleniemnazywamy
ciałem
.
Twierdzenie1
Pier±cie«
(
Z
p
,
+
p
,
·
p
)
jestciałemwtedyitylkowtedygdyp
jestliczb¡pierwsz¡.
Zadanie
Udowodni¢,»epodpier±cie«pier±cieniamacierzy
M
2
(R),któryskła-
dasi¦zmacierzyopostaci:
"
ab
−
ba
#
jestciałem.
2
Zadanie
Udowodni¢,»epodpier±cie«pier±cieniamacierzy
M
2
(C),któryskła-
dasi¦zmacierzyopostaci:
"
a
+
bi c
+
di
−
c
+
dia
−
bi
#
jestpier±cieniemzdzielenieminiejestciałem(toznaczyka»dyniezerowy
elementjestodwracalny,alemno»eniejestnieprzemienne).
Poka»emyteraz,»emo»nakonstruowa¢iloczynkartezja«skipier±cieni:
Twierdzenie2
Niech
(
R,
+
,
·
)
,
(
S,
+
,
·
)
b¦d¡dwomapier±cieniami.Wtedy
zbiórR
×
Swrazzdziałaniami:
(
r,s
)+(
r
0
,s
0
)=(
r
+
r
0
,s
+
s
0
)
(
r,s
)
·
(
r
0
,s
0
)=(
r
·
r
0
,s
·
s
0
)
jestpier±cieniem.Je±liRiSs¡pier±cieniamiprzemiennymitoR
×
Ste»,
je±liobapier±cienieposiadaj¡jedynki
1
R
,
1
S
toR
×
Ste»posiadajedynk¦
(1
R
,
1
S
)
.
Dowód
wiczenie.
Zadanie
Skonstruowa¢tabelkidodawaniaimno»eniawpier±cieniu
Z
2
×
Z
3
.
Poka»emyterazkilkawa»nychwłasno±cipier±cieni:
Twierdzenie3
Je±liPjestpier±cieniemtorównaniea
+
x
=0
P
mado-
kładniejednorozwi¡zanie.
Dowód
Przypu±¢my,»erównanietomadwarozwi¡zanie,nazwijmyje
u
i
v
.
Wtedy
a
+
u
=
u
+
a
=0
P
,a
+
v
=
v
+
a
=0
P
imamy:
u
=
u
+0
P
=
u
+(
a
+
v
)=(
u
+
a
)+
v
=0
P
+
v
=
v.
awi¦cudowodnili±my,»e
u
równasi¦
v
.Tooznacza,»erównaniemadokładnie
jedno(istnienierozwi¡zaniawynikazaksjomatykipier±cieni).
Jakpowiedzieli±myju»wcze±niejelementprzeciwnydo
a
(czylirozwi¡-
zanierównania
a
+
x
=0
P
)oznacza¢b¦dziemyprzez
−
a
.Pozwalanamto
nazdefiniowanieodejmowaniawpier±cieniuwnast¦puj¡cysposób:
a
−
b
:=
a
+(
−
b
).
Twierdzenie4
Je±liwpier±cieniuspełnionajestrówno±¢a
+
b
=
a
+
cto
b
=
c.
Dowód
wiczenie.
3
Twierdzenie5
Dlaka»dychelementowa,bpier±cieniaPmamy:
(1)
a
·
0
p
=0
P
·
a
=0
P
.
(2)
a
(
−
b
)=(
−
a
)
b
=
−
(
ab
)
.
(3)
−
(
−
a
)=
a.
(4)
−
(
a
+
b
)=(
−
a
)+(
−
b
)
.
(5)
−
(
a
−
b
)=
−
a
+
b.
Wdowolnympier±cieniumo»nazdefiniowa¢pot¦gowanieelementówja-
ko
a
n
=
a
·
a
·
··
a
.Mo»emyrównie»zdefiniowa¢pot¦g¦
a
0
jako1
P
(je±li
P
posiadajedynk¦).Dokładnietaksamojakwpier±cieniuliczbcałkowitych
pot¦gowaniemanast¦puj¡cewłasno±ci:
(1)
a
n
+
m
=
a
n
·
a
m
.
(2)
a
nm
=(
a
n
)
m
.
4
| {z }
n
×
[ Pobierz całość w formacie PDF ]