Algebra 1-05 jądro i obraz ...

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wykład5
Niech
f
:
V
!
W
b¦dzieprzekształceniemliniowymprzestrzeniwektoro-
wych.Wtedyj¡dremprzekształcenianazywamyzbiórtychelementówz
V
,
którychobrazemjestwektorzerowywprzestrzeni
W
.J¡droprzekształcenia
oznaczamyprzezKer(
f
),czylimamy:
Ker(
f
)=
{
v
2
V
;
f
(
v
)=
0
}
Obrazemprzekształcenia
f
nazywamyzbiórwszystkichobrazówwektorówz
przestrzeni
V
ioznaczamygoprzezIm(
f
),awi¦c:
Im(
f
)=
{
f
(
v
);
v
2
V
}
Zgodnieztymcobyłopowiedzianenajednymzpoprzednichwykładów
Ker(
f
)jestpodprzestrzeni¡przestrzeni
V
,aIm(
f
)jestpodprzestrzeni¡prze-
strzeni
W
.Je±li
V
jestpodprzestrzeni¡sko«czonegowymiarutozachodzi
zwi¡zek:
dim
V
=dimKer(
f
)+dimIm(
f
)
Rzeczywi±cieje±li
v
1
,v
2
,...,v
k
jestbaz¡przestrzeniKer(
f
)tomo»naj¡uzu-
pełni¢dobazyprzestrzeni
V
,zatemistniejebazaprzestrzeni
V
opostaci
v
1
,...,v
k
,u
1
,...,u
n
.Wystarczywi¦cudowodni¢,»ewymiarobrazujestrów-
ny
n
.Poka»emy,»ebaz¡obrazus¡wektory
f
(
u
1
)
,...,f
(
u
n
).Je±li
u
nale»y
doobrazutoistniejewektor
v
2
V
,»e
u
=
f
(
v
)element
v
mo»nazapisa¢
jakoliniow¡kombinacj¦wektorówbazowych:
v
=
1
v
1
+
...
+
k
v
k
+
1
u
1
+
...
+
n
u
n
st¡dmamy:
u
=
f
(
v
)=
1
f
(
v
1
)+
...
+
k
f
(
v
k
)+
1
f
(
u
1
)+
...
+
n
f
(
u
n
)
iponiewa»wektory
v
i
nale»¡doj¡drato
f
(
u
i
)=
0
iotrzymujemy
u
=
f
(
v
)=
1
f
(
u
1
)+
...
+
n
f
(
u
n
)
,
atooznacza,»eIm(
f
)=Lin(
f
(
u
1
)
,...,f
(
u
n
)).Musimypokaza¢jeszcze,»e
wektory
f
(
u
1
)
,...,f
(
u
n
)s¡liniowoniezale»ne.Rozpatrzmyrównanie:
k
1
f
(
u
1
)+
...
+
k
n
f
(
u
n
)=
0
zwłasno±ciprzekształcenialiniowegomamy:
f
(
k
1
u
1
+
...
+
k
n
u
n
)=
0
,a
tooznacza,»e
k
1
u
1
+
...
+
k
n
u
n
2
Ker(
f
)poniewa»wektory
u
1
,...,u
n
s¡
1
niezale»neodwektorówgeneruj¡cychj¡drotonaszaliniowakombinacjana-
le»ydoj¡dratylkowtedygdy
k
1
=
...
=
k
n
=0,awi¦cwektorys¡liniowo
niezale»ne.
Poka»emyteraz,»eró»nowarto±ciowo±¢przekształcenialiniowegozale»y
odj¡drategoprzekształcenia.
Twierdzenie1
Niechfb¦dzieprzekształceniemliniowymprzestrzeniwek-
torowych.Przekształceniefjestró»nowarto±ciowewtedyitylkowtedygdy
Ker
(
f
)=
{
0
}
.
Dowód
(
)
)Poniewa»
f
(
0
)=
0
tozró»nowarot±ciowo±ciwynika,»eje±li
f
(
v
)=
0
to
v
=
0
,awi¦cj¡droskładasi¦tylkozwektorazerowego.
(
(
)Musimyudowodni¢,»eje±li
f
(
v
)=
f
(
u
)to
v
=
u
.Rzeczywi±cieje±li
f
(
v
)=
f
(
u
)tozwłasno±ciprzekształcenialiniowegowynika,»e
f
(
u
−
v
)=
0
,
awi¦c
u
−
v
2
Ker(
f
)=
{
0
}
zatem
u
−
v
=
0
imamy
u
=
v
.
Przekształcenielinioweb¦dziemynazywa¢
nieosobliwym
je±liKer(
f
)=
{
0
}
.
Twierdzenie2
NiechVb¦dzieprzestrzeni¡liniow¡osko«czonymwymiarze
iniechfb¦dzieprzekształceniemliniowymprzestrzeniVwsiebie.Wtedy
nast¦puj¡cewarunkis¡równowa»ne:
(i)
fjestbijekcj¡,
(ii)
fjestsuriekcj¡,
(iii)
fjestiniekcj¡.
Dowód
Poniewa»
V
jestsko«czeniewymiarow¡przestrzeni¡liniow¡i
f
prze-
kształca
V
w
V
wi¦cj¡droiobrazs¡podprzestrzeniami
V
ijestspełniona
udowodnionawcze±niejrówno±¢:
dim
V
=dimKer(
f
)+dimIm(
f
)
Oczywi±ciezfaktu,»e
f
jestbijekcj¡wynika,»e
f
jestsuriekcj¡.
Je±li
f
jestsuriekcj¡toIm(
f
)=
V
,awi¦cdimIm(
f
)=dim
V
izpowy»-
szegowzoruotrzymujemy,»edimKer(
f
)=0atooznacza,»eKer(
f
)=
{
0
}
inapodstawiepoprzedniegotwierdzenia
f
jestfunkcj¡ró»nowarto±ciow¡
(=iniekcj¡).
Je±li
f
jestiniekcj¡tonapodstawiepoprzedniegotwierdzeniainapodstawie
powy»szegowzoruotrzymujemydimIm(
f
)=dim
V
,awi¦cIm(
f
)=
V
,czyli
f
jestrównie»suriekcj¡,awi¦cjestbijekcj¡.
2
Twierdzenietooznacza,»eprzekształcenie
f
:
V
!
V
przestrzenisko«-
czeniewymiarowejwsiebiejestnieosobliwewtedyitylkowtedygdyjest
izomorfizmem.
Rz¦dem
przekształcenialiniowego
f
nazywamywymiarobrazutegoprze-
kształceniaioznaczamygoprzez
r
(
f
),awi¦c:
r
(
f
):=dimIm(
f
)
Je±lidziedzin¡
f
jestprzestrze«sko«czonegowymiarutonapodstawiewcze-
±niejudowodnionegowzorumamy:
dim
V
=dimKer(
f
)+
r
(
f
)
Niech
U,V,W
b¦d¡przestrzeniamiliniowyminadtymsamymciałemi
niech
f
:
U
!
V
,
g
:
V
!
W
b¦d¡przekształceniamiliniowymiwtedy
zło»enie:
g
f
:
U
!
W
jestprzekształceniemliniowymprzestrzeni
u
w
przestrze«
W
.
Rzeczywi±cieje±li
u
1
,u
2
2
U
tomamy
g
f
(
u
1
+
u
2
)=
g
(
f
(
u
1
+
u
2
))=
g
(
f
(
u
1
)+
f
(
u
2
))=
g
(
f
(
u
1
))+
g
(
f
(
u
2
))=
g
f
(
u
1
)+
g
f
(
u
2
)
.
Drug¡własno±¢przekształce«liniowychudowadniasi¦podobnie.
Twierdzenie3
Jeslif
:
U
!
Vig
:
V
!
Ws¡przekształceniamilinio-
wymito:
r
(
g
f
)
¬
min(
r
(
f
)
,r
(
g
))
Dowód
Je±li
V
1
V
2
to
g
(
V
1
)
g
(
V
2
)iponiewa»
f
(
U
)
V
tomamy
równie»
g
f
(
U
)=
g
(
f
(
U
))
g
(
V
),azatem
r
(
g
f
)
¬
r
(
g
).
Niechprzekształcenieliniowe
f
:
V
!
W
b¦dziebijekcj¡wtedyistnieje
funkcja
f
−
1
odwrotnado
f
ifunkcja
f
−
1
jestprzekształceniemliniowym
W
!
V
.Rzeczywi±cieniech
w
1
,w
2
nale»¡do
W
.Poniewa»
f
jestsuriekcj¡
toistniej¡
v
1
,v
2
2
V
,»e
w
1
=
f
(
v
1
)i
w
2
=
f
(
v
2
)imamy:
f
−
1
(
w
1
+
w
2
)=
f
−
1
(
f
(
v
1
)+
f
(
v
2
))=
f
−
1
(
f
(
v
1
+
v
2
))=
f
−
1
f
(
v
1
+
v
2
)=
v
1
+
v
2
=
f
−
1
(
w
1
)+
f
−
1
(
w
2
)
ipodobniemo»naudowodni¢drug¡zpotrzebnychwłasno±ci.
OznaczmyprzezAut(
V
)zbiórwszystkichizomorfizmówprzestrzeni
V
na
siebie.Wtedy:
3
Twierdzenie4
ZbiórAut
(
V
)
wrazzdziałaniemskładaniaprzekształce«jest
grup¡.
Niech
V
b¦dzieprzestrzeni¡liniow¡zbaz¡
A
=
{
v
1
,v
2
,...,v
n
}
,a
W
niechb¦dzieprzestrzeni¡liniow¡zbaz¡
B
=
{
w
1
,w
2
,...,w
m
}
iniech
f
b¦dzieprzekształceniemliniowymprzestrzeni
V
w
W
wtedyobrazka»dego
v
i
dasi¦zapisa¢jakokombinacjaliniowabazyprzestrzeni
W
:
f
(
v
1
)=
k
11
w
1
+
k
21
w
2
+
...
+
k
m
1
w
m
f
(
v
2
)=
k
12
w
1
+
k
22
w
2
+
...
+
k
m
2
w
m
.
.
.
f
(
v
n
)=
k
1
n
w
1
+
k
2
n
w
2
+
...
+
k
mn
w
m
mo»emyutworzy¢macierzzło»on¡zewspółczynnikówzprawejstrony:
2
k
11
k
12
...k
1
n
k
21
k
22
...k
2
n
... ... ... ...
k
m
1
k
m
2
...k
mn
3
6
6
6
4
7
7
7
5
Macierzt¡nazywamymacierz¡przekształcenia
f
wbazach
A
i
B
.Macierz
ta(je±limamyustalonebazy)dajenamwszystkiemo»liweinformacjeoprze-
kształceniu.Je±limamydan¡macierzprzekształceniatomo»emywyznaczy¢
obrazdowolnegowektora.
Twierdzenie5
Je±liViWs¡przestrzeniamiliniowyminadciałemK,
dim
V
=
n,
dim
W
=
m,AiBs¡ustalonymibazamitychprzestrzenito
przyporz¡dkowanieka»demuprzekształceniuf
:
V
!
WmacierzyM
f
2
M
m,n
(
K
)
wtychbazachwyznaczaizomorfizmprzestrzeniHom
(
V,W
)
na
przestrze«M
m,n
(
K
)
,toznaczyje±lif,g
2
Hom
(
V,W
)
ik
2
Kto:
M
f
+
g
=
M
f
+
M
g
M
kf
=
kM
f
Danes¡trzyprzestrzenie
V,W,U
ibazytychprzestrzeni
A,B,C
Je±li
f
jestprzekształceniemliniowymprzestrzeni
V
w
W
,a
g
jestprzekształce-
niemliniowym
W
w
U
ije±li
M
f
,
M
g
s¡macierzamitychprzekształce«w
powy»szychbazachtomacierz¡zło»enia
g
f
wbazachodpowiednio
A
i
C
jestiloczynmacierzy
M
g
M
f
,mamyzatem:
M
g
f
=
M
g
M
f
4
Wprzypadkugdyprzestrzenie
W
i
V
s¡równetoprzewa»nieszukaj¡c
macierzyprzekształceniaustalamywdziedzinieiwprzeciwdziedziniet¡sam¡
baz¦.Mówimywtedyomacierzyprzekształceniawbazie.Szczególniepro-
stymprzypadkiemjestgdyprzestrze«
V
nadciałem
K
jestrówna
K
n
igdyja-
kobaz¦wybierzemybaz¦kanoniczn¡:
e
1
=(1
,
0
,...,
0)
,...,e
n
=(0
,
0
,...,
1).
Wtedyje±li
A
jestmacierz¡przekształcenia
f
:
K
n
!
K
n
wbaziekano-
niczneji
v
=(
k
1
,...,k
n
)
2
K
n
jestdowolnymwektoremtoobrazwektora
otrzymujemyprzezmno»enie:
f
(
v
)=
A
2
6
6
4
k
1
.
.
.
k
n
3
7
7
5
Wtedyj¡droprzekształceniaskładasi¦zwektorów
v
=(
k
1
,...,k
n
),które
spełniaj¡równanie:
2
6
6
4
3
7
7
5
=
2
6
6
4
3
7
7
5
k
1
.
.
.
k
n
0
.
.
.
0
f
(
v
)=
A
iwymiarj¡drajestrówny
n
−
r
(
A
),gdzie
r
(
A
)jestrz¦demmacierzy,
r
(
f
)=
r
(
A
).
Macierzzmianybazy
Niech
A
=
{
a
1
,a
2
,...,a
n
}
i
B
=
{
b
1
,b
2
,...,b
n
}
b¦d¡dwiemabazami
przestrzeni
V
.Ka»dyelementbazy
B
mo»nazapisa¢wpostaciliniowych
kombinacjiwektorówzbazy
A
:
b
1
=
k
11
a
1
+
k
21
a
2
+
...
+
k
n
1
a
n
b
2
=
k
12
a
1
+
k
22
a
2
+
...
+
k
n
2
a
n
.
.
.
b
n
=
k
1
n
a
1
+
k
2
n
a
2
+
...
+
k
nn
a
n
wtedymacierz
2
6
6
6
4
k
11
k
12
...k
1
n
k
21
k
22
...k
2
n
... ... ... ...
k
n
1
k
n
2
...k
nn
3
7
7
7
5
nazywamymacierz¡przej±ciaodbazy
A
dobazy
B
.
Zadanie
Wprzestrzeni
R
5
3
wyznaczy¢macierzprzej±ciaodbazy(1
,
1
,
1)
,
(1
,
1
,
0)
,
(1
,
0
,
0)
[ Pobierz całość w formacie PDF ]