Algebra 0-18 geometria ...

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wykład17
3
Podobniejakwprzypadkugeometriinapłaszczy¹nieb¦dziemymówi¢
oukładziewspółrz¦dnych.Układtakipowstajeprzezobraniepunktu0i
wybranietrzechosiwzajemnieprostopadłych0
x,
0
y,
0
z
.Istniej¡dwieklasy
układówwspółrz¦dnychró»ni¡cesi¦skr¦tno±ci¡.
Wprzestrzenitrójwymiarowej,ka»dypunkt
P
mo»eby¢przedstawionyza
pomoc¡trzechwspółrz¦dych(
x,y,z
).Je±lidanes¡dwapunkty
P
1
(
x
1
,y
1
,z
1
)
i
P
2
(
x
2
,y
2
,z
3
)toichodległo±¢wyra»asi¦nast¦puj¡co:
q
|
P
1
P
2
|
=
(
x
1
−
x
2
)
2
+(
y
1
−
y
2
)
2
+(
z
1
−
z
2
)
2
Wektoremnazywamyuporz¡dkowan¡par¦punktów(
P
1
,P
2
)ioznaczamygo
Odległo±¢
P
1
od
P
2
nazywamydługo±ci¡wektoraioznaczamyprzez
|
−−!
P
1
P
2
|
.
Podobniejaknapłaszczy¹nieb¦dziemymówi¢owektorachswobodnych.W
tymprzypadkuuto»samiamywektory,któremaj¡tensamkierunek,tensam
zwrotit¡sam¡długo±¢,awi¦cwprzypadkuwektorówswobodnychpunkt
zaczepienianiemaznaczenia,wa»nes¡tylkojegodługo±¢,zwrotikieru-
nek.Je±liwektorswobodny
−−!
P
1
P
2
jestokre±lonyprzezpunkty
P
1
(
x
1
,y
1
,z
1
)i
P
2
(
x
2
,y
2
,z
2
)towektortenmawspółrz¦dne:
−−!
P
1
P
2
=[
x
2
−
x
1
,y
2
−
y
1
,z
2
−
z
1
]
Wektorymo»emy,wi¦cuto»samia¢ztrójkamiliczbrzeczywistych.Wektory
swobodnemo»nadodawa¢imno»y¢przezliczbyrzeczywiste(skalary).Do-
dawaniewektorówzdefiniowanejestdokładnietaksamojaknapłaszczy¹nie,
podobniedefiniujemymno»enieprzezskalary.Działaniatemo»narównie»
zdefiniowa¢dlatrójekliczbrzeczywistych:
[
x
1
,y
1
,z
1
]+[
x
2
,y
2
,z
2
]=[
x
1
+
x
2
,y
1
+
y
2
,z
1
+
z
2
]
[
x
1
,y
1
,z
1
]=[
x
1
,y
1
,z
1
]
Struktura(
R
,
+)jestgrup¡abelow¡(podobniejakstrukturawektorówswo-
bodnychwrazzdodawaniem).Mno»enieskalarówprzezwektorymanast¦-
puj¡cewłasno±ci:dlaka»dego
a,b
2
R
3
,,
2
R
:
1
Geometriaanalitycznacd.
Geometriaanalitycznawprzestrzeni
R
przez
−−!
P
1
P
2
.Punkt
P
1
nazywamypocz¡tkiemwektora,apunkt
P
2
ko«cem.
(i)
(
a
+
b
)=
a
+
b
,
(ii)(
+
)
a
=
a
+
a
,
(iii)(
)
a
=
(
a
),
(iv)1
a
=
a
.
Długo±¢wektora
Je±liwektor
a
mawspółrz¦dne[
x
a
,y
a
,z
a
]tojegodługo±¢jestwyra»onawzo-
rem:
q
x
2
a
+
y
2
a
+
z
2
a
Własno±cidługo±ciwektoróws¡podobnejakwłasno±cidługo±ciwektorów
napłaszczy¹nie:
(i)
|
a
+
b
|¬|
a
|
+
|
b
|
,
(ii)
|
a
|
=
|
||
a
|
.
Wektor
a
nazywasi¦
wersorem
je±li
|
a
|
=1.Wersory,którys¡poło»one
naosiachnazywamywersoramiosiioznaczamyje
i
dlaosi0
x
,
j
dlaosi0
y
,
k
dlaosi0
z
.Jakłatwozauwa»ywersoryosimaj¡współrz¦dne:
i
=[1
,
0
,
0]
,j
=
[0
,
1
,
0]
,k
=[0
,
0
,
1].Je±li
a,b,c
s¡trzemawektorami,a
,,
skalaramito
a
+
b
+
c
nazywamy
liniow¡kombinacj¡
wektorów
a,b,c
.
Ka»dywektordasi¦jednoznacznieprzedstawi¢jakoliniow¡kombinacj¦wer-
sorów
i,j,k
.Je±liwektor
a
mawspółrz¦dne
x
a
,y
a
,z
a
to
a
=
x
a
i
+
y
a
j
+
z
a
k.
Rzeczywi±cie
a
=[
x
a
,y
a
,z
a
]=
x
a
[1
,
0
,
0]+
y
a
[0
,
1
,
0]+
z
a
[0
,
0
,
1]=
x
a
i
+
y
a
j
+
z
a
k
.
Wektory
a,b,c
nazywamy
komplanarnymi
wtedyitylkowtedygdyistnieje
płaszczyznadoktórejtewektorys¡równoległe.Inaczejmówi¡cwektory
a,b,c
s¡komplanarnewtedyitylkowtedygdyjedenznichjestliniow¡kombinacj¡
pozostałychwektorów,np.
a
=
b
+
c
.
Iloczynskalarny
Iloczynemskalarnymwektorów
a
=[
x
1
,y
1
,z
1
]i
b
=[
x
2
,y
2
,z
2
]nazywamy
liczb¦rzeczywist¡
x
1
x
2
+
y
1
y
2
+
z
1
z
2
ioznaczamyj¡przez
a
b
.
Własno±ciiloczynuskalarnego
Niech
a,b,c
b¦d¡trzemawektorami,iniech
b¦dzieskalarem,wtedy
iloczynskalarnymanast¦puj¡cewłasno±ci:
(i)(
a
+
b
)
c
=
a
c
+
b
c
,
(ii)(
a
)
b
=
(
a
b
)=
a
(
b
),
(iii)
a
b
=
b
a
,
(iv)
a
a
­
0i
a
a
=0
()
a
=0.
|
a
||
b
|
2
|
a
|
=
Ponadtomo»nazauwa»y¢,»e
|
a
|
=
p
a
a
.
K¡temmi¦dzywektorami
a
i
b
nazywamymniejszyzk¡tów,wyznaczonych
przezprzecinaj¡cesi¦prostewyznaczoneprzeztewektory.K¡tmi¦dzywek-
torami
a
i
b
wyznaczonyjestwzorem:
cos(
^
(
a,b
))=
a
b
 Wektory
a
,
b
nazywamy
ortogonalnymi
wtedyitylkowtedygdy
a
b
=0
(inaczejmówi¡cwektorys¡ortogonalnegdyk¡tmi¦dzynimijestrówny
2
).
Zadanie
Wyznaczy¢k¡tmi¦dzywektorami
a
=[2
,
0
,
−
1]
i
b
=[1
,
3
,
0].
R
oz
wi¡zanie
Obliczamy:
a
b
=2,
|
a
|
=
p
2
2
+1
2
=
p
5,
|
b
|
=
p
1
2
+3
2
=
p
10iotrzymujemy:
cos(
^
(
a,b
))=
a
b
|
a
||
b
|
=
2
p
5
p
10
Iloczynwektorowy
Iloczynemwektorowymwektorów
a
=[
x
a
,y
a
,z
a
]i
b
=[
x
b
,y
b
,z
b
]nazywamy
wektor,którymanast¦puj¡cewspółrz¦dne:
[
y
a
z
b
−
y
b
z
a
,x
b
z
a
−
x
a
z
b
,x
a
y
b
−
x
b
y
a
]
ioznaczamygoprzez
a
×
b
.
Sposóbobliczaniailoczynuwektorowego.Iloczynwektorowywektorów
a
=
[
x
a
,y
a
,z
a
]i
b
=[
x
b
,y
b
,z
b
]mo»nawyrazi¢przezwyznacznik:
a
×
b
=
i jk
x
a
y
a
z
a
x
b
y
b
z
b
gdzie
i,j,k
s¡wersoramiosi.Wyznaczniktenformalnieniemasensu(pierw-
szywierszskładasi¦zwektorów)alepozwalałatwozapami¦ta¢sposóbob-
liczaniailoczynuwektorowego.
Mo»nazauwa»y¢,»e:
(i)
|
a
×
b
|
=
|
a
||
b
|
sin(
^
(
a,b
)),
(ii)wektor
a
×
b
jestortogonalnydowektora
a
i
b
,
(iii)zwrotwektora
a
×
b
jestokre±lonyprzeztzw.reguł¦±rubyprawoskr¦tnej
lubtrzechpalcówlewejdłoni.
(iv)
a
×
b
=0wtedyitylkowtedygdy
a
i
b
s¡wektoramikolinearnymi,
(v)
a
×
b
=
−
b
×
a
,
(vi)(
a
+
b
)
×
c
=
a
×
c
+
b
×
c
,
(vii)(
a
)
×
b
=
(
a
×
b
).
Zpunktu(iv)łatwowynika,»ewektory
a
=[
x
a
,y
a
,z
a
]i
b
=[
x
b
,y
b
,z
b
]s¡
kolinearnewtedyitylkowtedygdy:
x
b
=
y
a
y
b
=
z
a
z
b
Zadanie
Obliczy¢poletrójk¡taowierzchołkachwpunktach
P
1
(1
,
2
,
3),
P
2
(0
,
−
1
,
−
1),
P
3
(1
,
0
,
1).
3
x
a
Rozwi¡zanie
Je±liwyznaczymywektory
−−!
P
1
P
2
,
−−!
P
1
P
3
)),zatem
P
4
=
1
2
|
−−!
P
1
P
2
i
−−!
P
1
P
3
topoletrójk¡tajest
P
1
P
2
×
−−!
P
1
P
3
|
.
Obliczmy
i j k
−
1
−
3
−
4
0
−
2
−
2
P
1
P
2
×
−−!
P
1
P
3
=
=[
−
2
,
−
2
,
2]
i
P
1
P
2
×
−−!
q
p
p
P
1
P
3
|
=
(
−
2)
2
+(
−
2)
2
+2
2
=
12=2
3
wi¦c
P
4
=
1
p
p
2
2
3=
3
.
Iloczynmieszany
Niech
a
=[
x
a
,y
a
,z
a
],
b
=[
x
b
,y
b
,z
b
],
c
=[
x
c
,y
c
,z
c
]b¦d¡trzemawektora-
mi,wtedyliczb¦(
a
×
b
)
c
nazywamyiloczynemmieszanymwektorów
a
,
b
i
c
.Iloczynmieszanymo»nawyznaczy¢wnast¦puj¡cysposób:
(
a
×
b
)
c
=
x
a
y
a
z
a
x
b
y
b
z
b
x
c
y
c
z
c
Modułiloczynumieszanegowektorów
a
,
b
i
c
wyra»aobj¦to±¢równoległo-
±cianuzbudowanegonatychwektorach.
Powy»szestwierdzenieoznaczarównie»,»ewektory
a
,
b
i
c
s¡komplanarne
wtedyitylkowtedygdyrównoległo±cianzbudowanynatychwektorachma
obj¦to±¢równ¡zero.Zatemwektory
a
,
b
i
c
s¡komplanarnewtedyitylko
wtedygdy(
a
×
b
)
c
=0.
4
równe
P
4
=
1
2
|
P
1
P
2
||
P
1
P
3
|
sin(
^
(
−−!
−−!
|
−−!
[ Pobierz całość w formacie PDF ]