Algebra 0-15 układy równań ...

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wykład15
Układyrówna«liniowych
Niech
K
b¦dzieciałeminiech
1
,
2
,...,
n
,
2
K
.Równanie:
1
x
1
+
2
x
2
+
···
+
n
x
n
=
zniewiadomymi
x
1
,x
2
,...,x
n
nazywamy
równaniemliniowym
.
Układ:
8
>
>
>
<
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
...
+
a
1
n
x
n
=
b
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
...
+
a
2
n
x
n
=
b
2
.................................
a
m
1
x
1
+
a
m
2
x
2
+
...
+
a
mn
x
n
=
b
m
(1)
>
>
>
:
nazywamyukładem
m
równa«liniowychz
n
niewiadomymi.Rozwi¡zaniem
układunazywamyka»dyci¡gelementów(
a
1
,a
2
,...,a
n
)
2
K
n
,którepodsta-
wionezazmienne
x
1
,x
2
,...,x
n
spełniaj¡ka»dezrówna«.Układ(1)mo»emy
zapisa¢winnej,macierzowej,postaci:
2
6
6
6
4
a
11
a
12
...a
1
n
a
21
a
22
...a
2
n
... ... ... ...
a
m
1
a
m
2
...a
mn
3
7
7
7
5
·
2
6
6
6
4
x
1
x
2
...
x
m
3
7
7
7
5
=
2
6
6
6
4
b
1
b
2
...
b
m
3
7
7
7
5
wtedymacierz:
2
6
6
6
4
3
7
7
7
5
A
=
a
11
a
12
...a
1
n
a
21
a
22
...a
2
n
... ... ... ...
a
m
1
a
m
2
...a
mn
nazywamymacierz¡współczynnikówukładu,jejelementynazywamywspół-
czynnikami,amacierz:
2
b
1
b
2
...
b
m
3
B
=
6
6
6
4
7
7
7
5
kolumn¡wyrazówwolnych.Przyjmuj¡c:
2
x
1
x
2
...
x
m
3
X
=
6
6
6
4
7
7
7
5
naszukładzapiszemy,wpostaci:
A
·
X
=
B
1
Zajmiemysi¦najpierwprzypadkiem,gdyukładmatylesamozmiennychco
niewiadomych,toznaczygdymacierzwspółczynników
A
jestkwadratowa.
Układ
n
równa«z
n
niewiadomymi:
8
>
>
>
<
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
...
+
a
1
n
x
n
=
b
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
...
+
a
2
n
x
n
=
b
2
.................................
a
n
1
x
1
+
a
n
2
x
2
+
...
+
a
nn
x
n
=
b
n
(2)
>
>
>
:
nazywamy
układemCramera
1
wtedyitylkowtedygdydet
A
6
=0,gdzie
A
=[
a
ij
]
n
×
n
jestmacierz¡współczynnikówtegoukładu.
Je±li
A
=[
A
1
,...,A
i
,...,A
n
]jestmacierz¡współczynnikówukładu,a
B
jestkolumn¡wyrazówwolnychtoprzez
A
(
i
)
oznacza¢b¦dziemymacierz
[
A
1
,...,B,...,A
n
],czyli
A
(
i
)
oznaczamacierz,którapowstałazmacierzy
A
przezzast¡pienie
i
-tejkolumny,kolumn¡wyrazówwolnych.
Twierdzenie1
UkładCrameramadokładniejednorozwi¡zanie
(
x
1
,x
2
,...,x
n
)
det
A
Dowód
Je±lizapiszemyukład(2)wpostacimacierzowej:
A
·
X
=
B
to,poniewa»det
A
6
=0,tomo»emyrównaniewymno»y¢lewostronnieprzez
A
−
1
.Wtedyotrzymujemy:
det
A
,x
2
=
det
A
(2)
det
A
,...,x
n
=
det
A
(
n
)
X
=
A
−
1
·
B
cooznacza,»erozwi¡zanieistniejeijestjednoznaczne.Poniewa»:
A
−
1
=
1
det
A
(
A
D
)
T
i
A
D
=[
c
ij
],gdzie
c
ij
=(
−
1)
i
+
j
det
A
ij
,tomamy:
x
i
=
1
det
A
(
c
i
1
b
1
+
c
i
2
b
2
+
...
+
c
in
b
n
)=
det
A
((
−
1)
i
+1
det
A
i
1
b
1
+(
−
1)
i
+2
det
A
i
2
b
2
+
...
+(
−
1)
i
+
n
det
A
in
b
n
)
(!)
=
1
a
11
a
12
...b
1
...a
1
n
a
21
a
22
...b
2
...a
2
n
... ... ......... ...
a
n
1
a
n
2
...b
n
...a
nn
1
det
A
=
1
det
A
det
A
(
i
)
1
G.Cramer(1704-1752)-matematykszwajcarski,zajmowałsi¦układamirówna«linio-
wychiteori¡wyznaczników.
2
danewzorami:
x
1
=
det
A
(1)
równo±¢(!)jestprost¡konsekwencj¡TwierdzeniaLaplace’a(jesttorozwi-
ni¦ciewyznacznikamacierzy
A
(
i
)
wzgl¦dem
i
-tejkolumny).
Wzorywyst¦puj¡cewpowy»szymrównaniunosz¡nazw¦
wzorówCra-
mera
.
Przykład
Rozwi¡»emymetod¡Crameraukład:
8
>
>
>
<
2
x
1
+2
x
2
−
x
3
+
x
4
=7
x
1
−
x
2
+
x
3
−
x
4
=
−
2
x
1
+
x
2
+
x
3
+
x
4
=10
4
x
1
+3
x
2
−
2
x
3
−
x
4
=0
>
>
>
:
jesttoukładCramera,poniewa»:
det
A
=
2 2
−
1 1
1
−
1 1
−
1
1 1 1 1
4 3
−
2
−
1
=
2 2
−
11
3 1 00
−
1
−
1 20
6 5
−
30
=
−
3 1 0
−
1
−
1 2
6 5
−
3
=12
Układjednorodny
Układrówna«nazywamy
jednorodnym
je±lika»dywyrazwolnyjest
równyzero(czyli
B
=0).Ka»dyukładjednorodnyposiadaconajmniej
jednorozwi¡zanie
x
1
=0
,x
2
=0
,...,x
n
=0.WzoryCrameramówi¡,»e
je±limacierzwspółczynnikówukładujestkwadratowaiodwracalnatoukład
jednorodnymadokładniejednorozwi¡zaniezerowe.Oznaczmyprzez
S
zbiór
wszystkichrozwi¡za«układujednorodnego
AX
=0,czyli:
8
>
>
>
<
2
6
6
6
4
x
1
x
2
...
x
n
3
7
7
7
5
;
A
·
X
=0
9
>
>
>
=
S
=
X
=
>
>
>
:
>
>
>
;
Stwierdzenie1
Zbiór
S
zdziałaniem
+
jestgrup¡abelow¡.
Dowód
Niech
X,Y
b¦d¡rozwi¡zaniamiukładu
AX
=0,tzn.
AX
=0i
AY
=0,wtedy
A
(
X
+
Y
)=
AX
+
AY
=0+0=0.Podobnie
A
(
−
X
)=
−
AX
=0i
A
0=0.
Niech
AX
=
B
b¦dziepewnymukładem
m
równa«z
n
niewiadomymiiniech
a
1
,a
2
,...,a
m
b¦dziejakimkolwiekrozwi¡zaniemtegoukładu.Oznaczmyprzez
C
macierz
3
2
a
1
a
2
...
a
m
3
kolumnow¡
6
6
6
4
7
7
7
5
.Oznaczamyprzez
C
+
S
zbiórelementówpostaci
C
+
X
,
takich»e
X
2
S
:
C
+
S
=
{
C
+
X
;
X
2
S
}
Stwierdzenie2
NiechAX
=
Bb¦dziepewnymukłademrówna«,niech
C
=[
a
1
,a
2
,...,a
n
]
T
b¦dziedowolnymrozwi¡zanietegoukładuiniech
S
b¦-
dziezbioremrozwi¡za«układujednorodnegoAX
=0
wtedyzbiórrozwi¡za«
układuAX
=
Bjestpostaci:
C
+
S
=
{
C
+
X
;
X
2
S
}
Dowód
Niech
D
b¦dziedowolnymrozwi¡zaniemukładu
AX
=
B
wtedy
mamy
AD
=
B
oraz
AC
=
B
odejmuj¡cterówno±cistronamiotrzymujemy:
A
(
D
−
C
)=0,zatem
D
−
C
2
S
.Tooznacza,»e
D
2
C
+
S
.Je±li
D
2
C
+
S
todlapewnego
X
2
S
mamy:
AD
=
A
(
C
+
X
)=
AC
+
AX
=
B
+0=
B
czyli
C
+
X
jestrozwi¡zaniemnaszegoukładu.
Stwierdzenie3
Niech
S
b¦dziezbioremrozwi¡za«układuAX
=0
wtedyist-
niejedokładnie
r(
A
)
elementówX
1
,X
2
,...,X
r(
A
)
2
S,»eka»dyinnyelement
X
2
S
dasi¦zapisa¢wpostaci:
X
=
t
1
X
1
+
t
2
X
2
+
···
+
t
r(
A
)
X
r(
A
)
dlapewnycht
1
,t
2
,...,t
r(
A
)
2
K.
Ł¡cz¡cdwaostatniestwierdzeniamamy,»eka»derozwi¡zanieukładu
AX
=
B
dasi¦przedstawi¢wpostaci:
X
=
C
+
t
1
X
1
+
t
2
X
2
+
···
+
t
r(
A
)
X
r(
A
)
gdzie
X
1
,X
2
,...,X
r(
A
)
s¡rozwi¡zaniamiukładujednorodnego
AX
=0,a
C
jestjakimkolwiekrozwi¡zaniemukładu
AX
=
B
,
t
i
s¡dowolnymiele-
mentamiciała
K
.Takisposóbprzedstawienianazywamy
fundamentalnym
układemrozwi¡za«
.
Danyjestukład:
8
>
>
>
<
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
...
+
a
1
n
x
n
=
b
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
...
+
a
2
n
x
n
=
b
2
.................................
a
m
1
x
1
+
a
m
2
x
2
+
...
+
a
mn
x
n
=
b
m
>
>
>
:
Zmacierz¡współczynników
A
ikolumn¡wyrazówwolnych
B
.Macierz[
A,B
]
wymiaru
m
×
(
n
+1)nazywamymacierz¡rozszerzon¡.Nast¦puj¡cetwier-
dzenierozstrzygakiedyukładrówna«posiadarozwi¡zanie.
4
Twierdzenie2(Kronecker-Capelli)
(i)
Układrówna«AX
=
Bmaroz-
wi¡zaniewtedyitylkowtedygdy
r(
A
)=r([
A,B
])
.
(ii)
Je±li
r(
A
)=r([
A,B
])=
ntoukładmadokładniejednorozwi¡zanie.
(iii)
Je±li
r(
A
)=r([
A,B
])=
k<ntoukładmaniesko«czenierozwi¡za«.
Wniosek1
Je±liAjestmacierz¡kwadratow¡stopniantoukładjednorodny
AX
=0
maniezerowerozwi¡zaniewtedyitylkowtedygdy
det
A
=0
.
Dowód
(
(
)Je±liukładposiadaniezerowerozwi¡zanietowyznacznikmusiby¢rów-
nyzero,bowprzeciwnymprzypadku
A
jestodwracalnairozwi¡zaniejest
dokładniejedno(zerowe).
(
)
)Je±lidet
A
=0tor(
A
)=r([
A,
0])=
k<n
izTwierdzeniaKroneckera-
Capellegowynika,»eukładmaniesko«czeniewielerozwi¡za«.
WykorzystaniealgorytmuGaussawrozwi¡zywaniuukładówrów-
na«
Danyjestukład:
8
>
>
>
<
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
...
+
a
1
n
x
n
=
b
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
...
+
a
2
n
x
n
=
b
2
.................................
a
m
1
x
1
+
a
m
2
x
2
+
...
+
a
mn
x
n
=
b
m
Mo»nazauwa»y¢,»erozwi¡zanieukładusi¦niezmienije±lidopewnegorów-
naniadodasi¦innepomno»oneprzezpewn¡stał¡.Niezmienisi¦tak»eje-
±lizamienimydwarównaniamiejscamiije±lipewnerównaniewymno»ymy
przezniezerow¡stał¡.Je±lib¦dziemywykonywa¢takieprzekształceniatowy-
konujemyjetylkonawspółczynnikachrówna«,czylinawierszachmacierzy
rozszerzonej:
2
>
>
>
:
a
11
a
12
...a
1
n
b
1
a
21
a
22
...a
2
n
b
2
... ... ... ... ...
a
m
1
a
m
2
...a
mn
b
m
3
6
6
6
4
7
7
7
5
x
1
+2
x
2
−
x
3
=1
−
x
1
−
3
x
2
+
x
3
=0
2
x
1
+3
x
2
−
2
x
3
=5
Przykład
Zbadamyrozwi¡zalno±¢układurówna«:
8
>
<
>
:
2
x
1
+3
x
2
−
x
3
+2
x
4
−
x
5
=4
−
x
1
+2
x
2
+3
x
3
−
3
x
4
+3
x
5
=0
x
1
+
x
2
+2
x
3
−
x
4
+2
x
5
=4
>
:
5
Mo»emywi¦cu»y¢algorytmuGaussadorozwi¡zywaniaukładówrówna«.
Przykład
Rozwi¡»emyukładrówna«:
8
>
<
[ Pobierz całość w formacie PDF ]